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四川省绵阳市2015届高三第三次诊断考试数学(理)试题


绵阳市高中 2015 届第三次诊断性考试 数学(理工类)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 B 卷(非选择题) 。第 I 卷 1 至 2 页,第 B 卷 2 至 4 4 150 120 页.共 页.满分 分考试时间 分钟。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在 本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将答题卡交回。

第 I 卷(选择题,共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第 I 卷共 10 小题。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的 1.已知 i 是虚数单位,则 (A)-l+i 2.已知向量

3?i 等于 2?i
(C) 1+i (D) 1-i 的

(B) -1-i

为非零向量,则

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 3.己知函数 则 ? 的值为 (A) 4 (B) 2 (C) 1 (D) 的图象在同一直角坐标系中对称轴相同,

1 2

4.一机器元件的三视图及尺寸如右图示(单位:dm) ,则该组合体的体积为

(A) 80 dm3 5.若

(B) 88 dm3

(C) 96 dm}3

(D) 112 dm3

则下列不等式成立的是

第 1 页 共 13 页

6.已知 S 为执行如图所示的程序框图愉出的结果,则二项式 数是

的展开式中常数项的系

(A)-20

(B)20

(C)-

20 3

(D)60

7.绵阳市某高中的 5 名高三学生计划在高考结束后到北京、上海、杭州、广州等 4 个城市去旅游, 要求每个城市都到北京,则不同的出行安排有 (A) 180 种 (B) 72 种 (C) 216 种 (D)204 种

8.已知函数

给出如下四个命题:

① f (x)在

上是减函数;



在 R 恒成么

③函数 y=f(x)图象与直线

有两个交点.

其中真命题的个数为 (A)3 个 (B)2 个 (C)1 个 (D)0 个 9.己知四梭锥 P-ABCD 的各条棱长均为 13, M, N 分别是 PA, BD 上的点,且 PM:MA=BN:ND=5: 8,则线段 MN 的长

第 2 页 共 13 页

(A)5

(B)6

(C) 7
2

(D)8

10.已知点

是抛物线 y =4x 上相异两点,且满足

=4,若 AB

的垂直平分线交 x 轴于点 M,则△AMB 的面积的最大值是

第 II 卷(非选择题共 100 分)
注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答.作图题可 先用铂笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 第 n 卷共 11 小题。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长为

12.设变量 x, y 满足

则目标函数 z=2x+y 的最小值为



13 右图是绵阳市某小区 100 户居民 2014 年月平均用水鱼(单位:t)的频率分布直 方图的一部分,则该小区 2014 年的月平均用水 t 的中位数的估计值为

第 3 页 共 13 页

14.已知点 使得

2 2 ,若圆 C:x +y -8x-8y+31=0 上存在一点 P.

,则 m 的最大值为

15.用|S|表示集合 S 的元素个数,由 n 个集合为元素组成的集合称为“n 元集” ,如果集 合 A, B, C 满足 交“三元集” .给出下列命题: ①集合{1,2}的非空子集能组成 6 个目“二元集” ②若集合 M 的子集构成的“三元集”存在最小相交“三元集” ,则 3: 为最小相

③集合(1,2. 3. 4)的子集构成所有“三元集”中,最小相交“三元集”共有 16 个书 ④若集合|M|=n,则它的子集构成所有“三元集”中,最小相交“三元集”共有 2n 个. 其中正确的命题有 . (请演上你认为所有正确的命题序号) 三、解容题:本大皿共 5 4111.共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演 NOW 16.(本小题满分 12 分) 商场决定对某电器商品采用“提价抽奖”方式进行促销,即将该商品的售价提高 100 元,但是购买此商品的顾客可以抽奖.规定购买该商品的顾客有 3 次抽奖的机会:若 中一次奖,则获得数额为 m 元的奖金;若中两次奖,则共获得数额为加元的奖金: 若中 3 次奖,则共获得数额为 6m 元的奖金。假设顾客每次中奖的概率都是 客三次抽奖后所获得的奖金总额为随机变量 ? 。 (1)求 ? 的分布列: (U)若要使促销方案对商场有利,试问商场最高能将奖金数额 m 定为多少元? 17.(本小题满分 12 分) 0 如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是菱形,PA⊥底面 ABCD, ∠ABC=60 ,PA=AB, E, F 分别为 BC, PC 的中点. (I)求证:AE⊥PD; (II)求二面角 E-AF-C 的余弦值.

1 ,设顾 3

18(本小题满分 12 分)
第 4 页 共 13 页

已知函数 (I)求 f(x)在 R 上的单调递增区间; (II)设 是函数 y=f(x)的一个零点,求

的图象如图所示·

的值.

19.(本小题满分 12 分) 在公差不为 0 的等差数列 (I)求数列 的通项公式; 成公比为 a2 的等比数列.

(II)设数列

满足

①求数列

的前 n 项和为 Tn:

②令 20.(本小题满分 13 分)

,求使得

成立的所有·的低

已知△ABC 中,点 A(-1,0),B(1,0),动点 C 满足



C 点轨迹为 . (1)试求曲线 的轨迹方程; (II)当 时,过定点 B (1, 0)的直线与曲线 交于 P,Q 两点,N 是曲线上不

同于 P. Q 的动点,试求△NPQ 面积的最大值. 21. (本小题满分 14 分) 设函数
第 5 页 共 13 页



(I)设

,求 h(x)的单调区间;

(II)若存在

成立,求

取值范围·

绵阳市高 2015 届第三次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DCBCD AABCB 10 .提 示: 当 AB 垂直于 x 轴时 ,显然不符合题意. 设 AB 中点为 P ( 2,t ) ,于 是

k AB

y ? y2 y1 ? y 2 4 2 ? 1 ? 2 ? ? 2 x1 ? x2 y ? y t y1 y 2 1 2 ? 4 4
∴ 可设直线 AB 的方程为 联立方程:



, 2 y ? t ? ( x ? 2) t 消去 x 得:

2 ? ? y ? t ? ( x ? 2), t ? ? y 2 ? 4 x, ?

y 2 ? 2ty ? 2t 2 ? 8 ? 0 ,∴

y1+y2=2t,y1y2=2t2-8,



AB ? (1 ?


t2 4 ? t2 )( 4t 2 ? 8t 2 ? 32) ? (32 ? 4t 2 ) 4 4
, t ,得 t MP:y ? t ? ? ( x ? 2) 2 2

k AB ? k MP ? ?1 ? k MP ? ?

令 y ? 0 时,得 M (4 , 0) , ∴

MP ? (4 ? 2) 2 ? (0 ? t ) 2 ? 4 ? t 2
?



于是 S△MAB 令

. 1 1 AB ? MP ? (4 ? t 2 ) 8 ? t 2 2 2 ,则 , 1 1 S ? (12 ? m 2 ) ? m ? ? m3 ? 6m 2 2

m ? 8?t2

3 3 S ? ? ? m 2 ? 6 ? ? (m ? 2)(m ? 2),S ? ? 0 ? 0 ? m ? 2,S ? ? 0 ? m ? 2, 2 2
∴ 当 m ? 2 时, (S△MAB)max=8,此时 t 2 ? 4 . 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
第 6 页 共 13 页

11.4

12. 7

13.2.02

14.6

15.②③

3
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解:(Ⅰ ) 随机变量 ξ 的可能取值分别是:0,m,3m,6m 元. ∴

2 8 ; 12 ; 11 2 2 P(? ? 0) ? ( ) 3 ? P(? ? m) ? C3 ( ) ? 3 27 3 3 27 6 ; 1 1 ; 2 1 2 2 P(? ? 3m) ? C3 ( ) ? P(? ? 6m) ? ( ) 3 ? 3 3 27 3 27

ξ 的分布列为: ξ A. P 0 m 3m 6m

8 27

12 27

6 27

1 27

???????????????????????????7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ )得:

E? ? 0 ?

8 12 6 1 4m , ????9 分 ? m ? ? 3m ? ? 6m ? ? 27 27 27 27 3 3

若要使促销方案对商场有利,则 4m <100,解得 m<75. 即要使促销方案对商场有利,商场最高能将奖金数额 m 应低于 75 元.?12 分 17.(Ⅰ ) 证明:∵ PA⊥底面 ABCD,AE ? 底面 ABCD, ∴ AE⊥PA. ?????????????1 分 z ∵ 四边形 ABCD 是菱形,且∠ABC=60?,∴ △ABC 为等边三角形, P 又 E 是 BC 中点,则 AE⊥BC,由 BC//AD,得 AE⊥AD.????????3 分 又∵ PA∩AE=A, F ∴ AE⊥平面 PAD,又 PD ? 平面 PAD,∴ AE⊥PD. ?????????????5 分 A D y 所在直线为 x, (Ⅱ)解:由(Ⅰ )可知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,以 AE,AD ,AP y,z 轴建立空间直角坐标系,如图. B E C 设 PA=AB=2,则 A(0,0,0),E( 3 ,0,0),C( 3 ,1,0),F( 3 , 1x,1), 2 2 ∴ AE =( 3 ,0,0), AC =( 3 ,1,0) , AF =( 3 , 1 ,1).????7 分 2 2 设平面 EAF 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),则 即 令 z1=1,可得 ? ? AE ? n1 ? 0, ? 3 x1 ? 0, ? ? ? ? ? AF ? n1 ? 0, ? 3 x ? 1 y ? z ? 0, 1 1 1 2 ? 2

n1=(0,-2,1).?9 分

第 7 页 共 13 页

设平面 ACF 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), 则

即 令 x2= 3 , ? ? AC ? n2 ? 0, ? 3 x2 ? y2 ? 0, ? ? ? ? ? AF ? n2 ? 0, ? 3 x ? 1 y ? z ? 0, 2 2 2 2 ? 2

可得 n2=( 3 ,-3,0). ??????????????????????????11 分 设二面角 E-AF-C 的平面角为 ? ,则 ,

cos ? ?

n1 ? n2 6 15 ? ? n1 ? n2 5 5 ?2 3

又由图可知 ? 为锐角,所以二面角 E-AF-C 的余弦值为 15 .????12 分 5 18.解:(Ⅰ ) 由图象知,

1 5 ,故 ? 1 1 1, 1 b ? ? ? ? 6 6 A? ? 6 2 3 2 2

,解得 ? ? 2 . T 2? ? ? ,即 T ? ? ,于是由 2? ?? ? ? ? ? 2 3 6 2 ∵ 1

2


sin(2 ?

?

?. 1 1 ,且 ? ? ,解得 ?? ? ?) ? ? ? ? (? , ) 6 6 3 6 2 2

1 ? 1 .???????????????????4 分 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 6 3



2k? ?

?≤
2

2x ?

?≤
6

2k? ?

? , k ? Z ,解得
2

k? ?

? ≤x≤
3

k? ?

? ,k ?Z,
6

即 f ( x) 在 R 上的单调递增区间为 (Ⅱ)由条件得:

[k? ? ,k? ? ],k ? Z 3 6

?

?

.??????6 分

,即 1 ? 1 ? 2. f ( x0 ) ? sin(2 x0 ? ) ? ? 0 sin(2 x0 ? ) ? 2 6 3 6 3 且 f ( x) 在



f ( ) ? f (0) ? 0 6

?

(0 , ) 6

? 上是增函数,

? 1 >0, ? 3 1 >0 , f ( x) 在 f( )? f( )? ? 6 6 4 4 3

( , ) 6 4


?

? 上是减函数,

x0 ? (0 , ) 6

? ,∴

2 x0 ?

?

?( , ) 6 6 2

?

? ,?????????????????????? 9

分 ∴

cos(2 x0 ?

?
6

) ? 1 ? sin2 (2 x0 ?

?
6

)?

10 5 , ????????????? 分 3



cos 2 x0 ? cos[(2 x0 ? ) ? ] 6 6
第 8 页 共 13 页

?

?

? cos(2x0 ? ) cos ? sin(2x0 ? ) sin 6 6 6 6
? 15 ? 2 . ??????????????????????12 分 6
2 ?a4 ? a2 ? a8, ? ?a4 ? a2 ? a2,

?

?

?

?

19.解:(Ⅰ )设数列{an}公差为 d,由题设得

????????2 分



2 ? ?( a1 ? 3d ) ? ( a1 ? d ) ? ( a1 ? 7 d ), ? 2 ? ?( a1 ? 3d ) ? ( a1 ? d ) ,

解得

?a1 ? 1, ? ?d ? 1,
????????????4 分 ?????????????5 分

∴ 数列{an}的通项公式为: a ? n (n∈N*). n (Ⅱ) 由(Ⅰ )知:
n * ? ?2 ,n ? 2k,k ?N , bn ? ? * ? ?2n,n ? 2k ? 1,k ?N .

①当 n 为偶数,即 n ? 2k,k ? N* 时,奇数项和偶数项各 n 项,

2


Tn ? [2 ? 6 ? ? ? 2(n ? 1)] ? (22 ? 24 ? 26 ? ? 2n )
n n ; (2 ? 2n ? 2) 2 2 2 2 [1 ? (2 ) ] n 2 2 n?2 4 2 ? ? ? ? ? 2 2 3 3 1 ? 22

?????????7 分

②当 n 为奇数,即 n ? 2k ? 1,k ? N* 时, n ? 1 为偶数. ∴

Tn ? Tn ?1 ? an ?1 ?

(n ? 1) 2 2 n ? 3 ? 4 (n ? 1) 2 2 n ?1 4 . ? ? 2 n ?1 ? ? ? 2 3 2 3 3

综上:

???????????9 分 ? n 2 2n ? 2 4 * ? ? ,n ? 2k,k ? N , ? ?2 3 3 Tn ? ? 2 n ?1 ? (n ? 1) ? 2 ? 4 ,n ? 2k - 1,k ? N*. ? 3 3 ? 2 ,

(Ⅲ)

b 22 n 22 n ?1 c2 n ?1 ? 2 n ? ? b2 n ?1 2(2n ? 1) 2n ? 1

>10 转化为 令 t ? 2 n ? 1 ,由此 c 2 n ?1 ∵

ct ?

, 2t ? 10 t

ct ?1 2t ?1 t 2t ? ? t ? ct t ?1 2 t ?1

≥1(当且仅当 t=1 时“=”号成立),

∴ c ? c ? c ? ??? ? c ? c . t ?1 t t ?1 2 1

第 9 页 共 13 页



c5 ?

, . 25 26 ? 10 c6 ? ? 10 5 6

∴ 2 n ? 1 ≥6,解得 n≥ 7 ,

2
∴ 当 n≥4,n∈N*时, c
2 n ?1

>10.????????????????12 分

20.解:(Ⅰ)在△ABC 中,根据正弦定理得 sin A ? sin B

sin C
即 CB ? CA

?

CB ? CA , AB

AB

??

( ? ? 1 ),

∵ AB=2,∴ CA ? CB ? 2? (定值),且 2? ? 2 , ∴ 动点 C 的轨迹 ? 为椭圆(除去与 A、B 共线的两个点).
2 2 设其标准方程为 x 2 y 2 ,∴ a = ?2 ,b = ?2 -1, ? ?1 a2 b2

??????3 分

∴ 所求曲线的轨迹方程为 x 2

?2

?

. ??????????5 分 y2 ? 1 ( x ? ? ? ) ?2 ? 1

(Ⅱ) ? ? 3 时,椭圆方程为 x 2 y 2 . ? ? 1( x ? ? 3 ) 3 2 ①过定点 B 的直线与 x 轴重合时,△NPQ 面积无最大值.???????6 分 ②过定点 B 的直线不与 x 轴重合时, 设 l 方程为: x ? my ? 1 , P( x ,y ),Q( x ,y ) , 1 1 2 2 若 m=0,因为 x ? ? 3 ,故此时△NPQ 面积无最大值. ????????7 分 根 据 椭 圆 的 几 何 性 质 , 不 妨 设 m ? 0 . 联 立 方 程 : x ? my ? 1, 消 去 x 整 理 得 : ? ? 2 ?x y2 ? 1, ? ? 2 ?3

(2m 2 ? 3) y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,


y1 ? y2 ? ?

, 4m , 4 y y ? ? 1 2 2m 2 ? 3 2m2 ? 3



PQ ? 1 ? m 2 y1 ? y2 ?

4 3 (m 2 ? 1) .???????????????9 分 2m 2 ? 3
, 联 立 消 去

∵ 当直线与 l 平行且与椭圆相切时,此时切点 N 到直线 l 的距离最大, 设 切 线

l?:x ? my ? n(n ? 3)

? x ? my ? n, ? 2 ?x y2 ? ? 1, ? 2 ?3

x

整 理 得 :

第 10 页 共 13 页

(2m2 ? 3) y 2 ? 4mny ? 2n2 ? 6 ? 0 ,


? ? (4mn)2 ? 4(2m2 ? 3)(2n2 ? 6) ? 0 ,解得: n2 ? 2m2 ? 3(n ? ? 3) .
d? n ?1 m2 ? 1
, ,

又点 N 到直线 l 的距离



S ?PMN ?

2 n ?1 1 1 2 3 ( m 2 ? 1) 2 3 n ? 1 m ? 1 ? d ? PQ ? ? ? ? 2 2 2m 2 ? 3 2m 2 ? 3 m2 ? 1

? S 2 ? 12(n ? 1) 2 (m2 ? 1) .???????????????????11 分
(2m2 ? 3) 2
将 n 2 ? 2m2 ? 3 代 入 得 : , 设 函 数 1 1 , 令 1 3 S 2 ? 6(1 ? )2 (1 ? 2 ) t ? ? (? , 0) n n 3 n

f (t ) ? 6(1 ? t )2 (1 ? t 2 ) ,
则 ? f (t ) ? ?12(t ? 1)2 (2t ? 1) , ∵ 当 t∈

(?

时, f ?(t ) <0,∴ f (t ) 在 3 1 时, f ?(t ) >0,当 t∈ 1 3 1 上是 (? , 0) , ? ) (? , ? ) 2 3 2 3 2

增函数,在

上是减函数, 1 (? , 0) 2



1 81 f (t )min ? f (? ) ? 2 8

. 故

m2 ?

1 2

时 , △ NPQ

面 积 最 大 值 是

9 2 .?????????????13 分 4
21.解:(Ⅰ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) = x ln x ? x ln b ? a(a ? 0,b ? 0) ,∴ h?( x) ? ln x ? 1 ? ln b , 由 h?( x) ? 0 解得

x?

1 ,由 h?( x) ? 0 解得 1 , 0? x? be be
( be , ? ?)
,函数 h( x) 的单减区间是

∴ 函数 h( x) 的单增区间是 1

1 . (0 , ) be

?????????????????????3 分 (Ⅱ)由 f ( x ) ≤ g ( x ) 可变为 0 0 令

x0 ln

≤0. x0 ?a b

, x a ? b 3a ? b ,则 x . p( x) ? x ln ? a x ?[ , ] p?( x) ? ln ? 1 b 4 5 b

由 p?( x) ? 0 可得

x?

b ,由 p?( x) ? 0 可得 b, 0? x? e e
第 11 页 共 13 页

所以 p( x) 在

单调递增.?????????6 分 b 单调递减,在 b (0 , ) ( , ? ?) e e

根据题设知: a ? b

4
5


?

. ??????????7 分 3a ? b ,可解得 b ? (0 , 7) a 5

①若 3a ? b ≤ b ,即 b

e

a

?[

时,∵ p( x) 在 a ? b 3a ? b 单调递减, 3e , 7) [ , ] 5?e 4 5

p( x)min ? p(

≤ 0 ,即 ≤0 对 b 恒成 3a ? b 3a ? b 3a ? b 3e b )? ln ?a ?[ , 7) 3? 5 5 5b a 5?e a? 5 ln b b 5? 3? a a

立. 令t ? b

a
是减函数; 则

?[

, ,即 q (t ) 在 3e 上 3e 3?t 5 ≤0,则 8t ? 9 , 7) q(t ) ? ln ? [ , 7 ) q?(t ) ? ? ? 0 5?e 5?e 5t 3?t t (t ? 3) 2

q(t )max ? q(

, 3e 2?e )? ?0 5?e 5 , ≤0 成立.????????10 分 3e b , 7) 3? 5?e a? 5 ln b b 5 3? a a

所以对任意 b

a

?[

②当 a ? b

4

?

即b 当且仅当 ≤0, 即b b 3a ? b , e 3e 时, b b 1 ? ?( , ) p( x)min ? p( ) ? ln ? a a a 4?e 5?e e e e e 5

≥e,此时 b

3e . ?[e , ) a 5?e
????????????????????11 分

③当 a ? b ≥ b 时, 即 b

4

e

e 时, ? (0 , ) a 4?e

∵ p ( x) 在 a ? b

[

3a ? b 上单调递减, , ] 4 5
≤0, a?b a?b a?b )? ln ?a 4 4 4



p( x)min ? p(

令t ? b 因为

e ,即 1? t 4 ≤0 恒成立. ? (0 , ) ? (t ) ? ln ? a 4?e 4t 1 ? t
,所以 ? (t ) 在 e 上是减函数, 5t ? 1 ( 0 , ) ? 0 4?e t (t ? 1) 2

? ?(t ) ? ?

第 12 页 共 13 页

故存在无数个

e ,使得 ? (t0 ) ? 0 , t0 ? (0 , ) 4?e

如取

与 ? (t ) ≤0 恒成立矛盾,此时不成立. 1 t0 ? 1,? (1) ? ln ? 2 ? 0 2

综上所述, b 的取值范围是 [e , 7) .???????????????14

a
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