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椭圆中与焦点三角形顶角有关的问题


课题:椭圆中与焦点三角形有关的问题
研究需要的知识:椭圆定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等。 性质一:若 F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, P 是椭圆 a2 b2

上一点,且 ?F1 PF2 ? ? ,则 S ?F1PF2 ? b 2 tan 证明:略 例 1.若 P 是椭圆

?
2



x2 y2 ? ? 1 上的一点, F1 、 F2 是其焦点,且 ?F1 PF2 ? 60? ,求△ F1 PF2 的面积. 100 64
PF1 ? PF2 x2 y2 1 ? ,则 ? ? 1 上的点, F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点,若 25 9 | PF1 | ? | PF2 | 2


例 2 已知 P 是椭圆

△ F1 PF2 的面积为(

A. 3 3

B. 2 3

C.

3

D.

3 3

例 3(04 湖北)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上. 若 P、 F1 、 F2 是一 16 9
) D.

个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( A.

9 5

B.

9 7 7

C.

9 4

9 9 7 或 7 4

练习 1:P 是椭圆

x2 y2 ? ,则 S ?PF1F2 ? _______。 ? ? 1 上的点,Fl,F2 是椭圆的焦点,若 ?F1 PF2 ? 5 4 6
x2 ? ? y 2 ? 1 上的点,Fl,F2 是椭圆的焦点,若 ?F1 PF2 ? ,则 S ?PF1F2 ? _______。 4 3

练习 2:P 是椭圆

错题:P 是椭圆

x2 y2 ? ? ? 1 上的点,Fl,F2 是椭圆的焦点,若 ?F1 PF2 ? ,则 ?PF1 F2 的面积等于 5 4 3

_______。为什么错? 例 4 设 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P、Q 两 点,当四边 4 3
???? ???? ?
( ) D.4

形 PF1QF2 面积最大时, PF1 ? PF2 的值等于 A.0 B.1 C.2

1

性质二:当点 P 从右至左运动时, ?F1 PF2 由锐角变成直角,又变成钝角,过了 Y 轴之后,对称地由钝角 变成直角再变成锐角,并且发现当点 P 与短轴端点重合时, ?F1 PF2 达到最大。 性质三:已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 两 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 设 焦 点 三 角 形 PF1 F2 中 a2 b2

?F1 PF2 ? ? , 则 cos? ? 1 ? 2e 2 . (当且仅当动点为短轴端点时取等号)
证明:

x2 y2 例 1:椭圆 ? ? 1 的焦点为 Fl、F2,点 P 为其上动点,当 9 4
围是_______。 问题 1. 椭圆

?F1 PF2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范

x2 y2 F 点 当 点 ? ? 1 的焦点为 Fl、2, P 为其上一点, ?F1 PF2 为直角时, P 的横坐标是_______。 9 4

问题 2. 而此题为钝角,究竟钝角和直角有何联系?

例 2: F1 , F2是椭圆C :

x2 y 2 ? ? 1的焦点, 在C上满足PF1 ? PF2的点P的个数为? 8 4

总结:1 如点 P 运动到短轴端点 B1 时, ?F1 PF2 恰为直角,则在椭圆上满足 PF1 ? PF2 的点的个数是 2 如点 P 运动到短轴端点 B1 时, ?F1 PF2 为钝角,则在椭圆上满足 PF1 ? PF2 的点的个数是 3 如点 P 运动到短轴端点 B1 时, ?F1 PF2 为锐角,则在椭圆上满足 PF1 ? PF2 的点的个数是

2

x2 y2 例 3:已知 F1 、 F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,椭圆上一点 P a b
使 ?F1 PF2 ? 90? ,求椭圆离心率 e 的取值范围。 方法一: 方法二: 例 4:已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 若 椭 圆 上 存 在 一 点 P, 使 得 a2 b2

?F1 PF2 ? 120 0 , 求椭圆的离心率 e 的取值范围。

例 5:若椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F1 、 F2 ,试问:椭圆上是否存在点 P , 4 3

使 ?F1 PF2 ? 90? ?存在,求出点 P 的纵坐标;否则说明理由。 方法一: 方法二:

性质四:已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 两 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 设 焦 点 三 角 形 PF1 F2 , a2 b2 sin(? ? ? ) 。 sin ? ? sin ?

?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , 则椭圆的离心率 e ?
证明:

练习 1:P 是椭圆

x2 y2 + =1(a>b>0)上一点, F1、F2 是椭圆的左右焦点,已知?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? 2? , a2 b2 ?F1 PF2 ? 3? , 椭圆的离心率为 e ? ___________.
? ?

练习 2:已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,若 ?PF1 F2 ? 15 , ?PF2 F1 ? 75 ,则椭圆的 离心率为___________.

3

性质五:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为

2b 2 。 a

例 1:已知椭圆 C1 : 椭圆 C1 的方程。

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1,0) ,过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为1 .求 a 2 b2

2 0 0 9 0 4 2 3

4

【课堂测试】

x2 y2 ? ? 1 上的一点, F1、F2 是两个焦点,且 ?F1 PF2 ? 30? ,求 ?PF1 F2 的面积。 25 16 x2 y 2 2.(2009 年上海文)已知 F、F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, p 为椭圆 C 上的一点,且 1 a b PF1 ? PF2 ,若 ?PF1 F2 的面积为 9,则 b ? . 9
1.已知 P 是椭圆 3. 椭圆 A. 20

y2 x2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直,则△ F1 PF2 的面积为( 49 24
B. 22 C. 28 D. 24



4.已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 ( a >1)的两个焦点为 F1 、 F2 ,P 为椭圆上一点,且 ?F1 PF2 ? 60? ,则 2 a
)A.1 B.

| PF1 | ? | PF2 | 的值为(

1 3

C.

4 3

D.

2 3

5. 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 F1 、F2 , P 是椭圆上一点,当△ F1 PF2 的面积最大时, PF1 ? PF2 的 4
) A. 0 B.2 C. 4 D.

值为(

?2

6. 椭圆 值为( 7. 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 F1 、F2 , P 是椭圆上一点,当△ F1 PF2 的面积为 1 时, PF1 ? PF2 的 4
) A. 0 B.1 C. 3 D. 6

x2 1 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 F1 、F2 , P 是椭圆上一点, 当△ F1 PF2 的面积为 时,PF1 ? PF2 的 4 2

值为_______________.

x2 y 2 8. 2003 北京春考: 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上一点,E , F 是两个焦点,O 是椭圆中心, ? POF P 若 a b
是面积为 3 的正三角形,则 b 2 的值为________.

x y2 ? ? 1 上一点, F1、F2 是椭圆的两个焦点,则 cos ?F1 PF2 的最小值是( ) 9 4 1 1 1 A. ? B.-1 C. D. 9 9 2 ???? ????? ? 10.已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围
9.设 P 是椭圆 是( ) A. (0,1) B. (0, ]

2

1 2

C. (0,

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2

11.已知 P 是椭圆上的一点, F1、F2 是椭圆的两个焦点,∠ PF1F2=90°,∠PF2F1=30°,则椭圆的离心率是 __________.
5

x2 y2 12.设 F1、F2 为椭圆 ? ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上的一点.已知 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个 9 4
顶点,且|PF1|>|PF2|,求

| PF1 | 的值. | PF2 |

13. 已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴, F1 、 F2 为焦点,点 P 在椭圆上,直线 PF1 与 PF2 倾斜角 的差为 ?F1 PF 2 ? 90? ,△ F1 PF2 的面积是 20,离心率为

5 ,求椭圆的标准方程. 3
1 ? ? , F1 PF2 的 △ 2 | PF1 | ? | PF2 | PF1 ? PF2

14. 已知椭圆的中心在原点,F1 、F2 为左右焦点, 为椭圆上一点, P 且 面积是 3 ,准线方程为 x ? ?

4 3 ,求椭圆的标准方程. 3

15.(2007 天津 22)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,A 是椭圆上的一点, a 2 b2

1 AF2 ? F1 F2 ,原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 .证明 a ? 2b ; 3

6


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