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年高考数学 冲刺60天解题策略 专题七 选择填空题解题策略 第四节 填空题的解题策略(2)

第四节 二

填空题的解题策略(2) 开放型填空题解法示例

【题型一】多选型 给出若干个 命题或结论,要求从中选出所有满足题意的命题或结论 . 这类题不论多选 还是少选都是不能得分的,相当于多项选择题.它的思维要求不同于一般的演绎推理,而是 要求从结论出发逆向探究条件,且结论不唯一.此类问题多涉及定理、概念、符号语言、图 形语言.因此,要求同学们有扎实的基本功,能够准确的阅读数学材料,读懂题意,根据新 的情景,探究使结论成立的充分条件.判断命题是真命题必须通过推理证明,而判断命题是 假命题,举反例是最有效的方法. 例 1 一个几何体的正视图为一个三角形, 则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入 所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 点拨:此题考查立体图形的三视图,多选题,应逐个验证,由于几何体摆放的位置不同,正 视图不同,验证时应考虑全面.

解:如下图所示,三棱锥、四棱锥、三棱柱、圆锥四种几何体的正视图都可能是三角形,所 以应填①②③⑤. 易错点:忽略三棱柱可以倒置,底面正对视线,易漏选③ 例 2 甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球. 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A 1, A 2和A 3 表示由甲罐取出的球是红球,白球 和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下 列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号). ① P ? B? ?

2 ; 5

② P ? B | A1 ? ?

5 ; 11

③事件 B 与事件 A 1 相互独立;

④ A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件; ⑤ P ? B ? 的值不能确定,因为它与 A1 , A2 , A3 中哪一个发 生有关. 点拨:此题考查概率有关知识,涉及独立事件,互斥事件的概念.题型为多选型,应根据题 意及概念逐个判断. 解:易见 A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件,事件 B 的发生受到事件 A 1 的影响,所以这两事件不 是 相 互 独
用心 爱心 专心





.


1

P( B) ? P ? B | A1 ? ? P ? B | A2 ? ? P ? B | A3 ? ?
所以答案②④.

5 5 2 4 3 4 9 ? ? ? ? ? ? . 10 11 10 11 10 11 22

易错点:容易忽略事件 B 的发生受到事件 A1 , A2 , A3 的影响,在求事件 B 发生的概率时没有 分情况考虑而导致求解错误. 【题型二】探索型 从问题给定的题设中探究其相应的结论, 或从给定题断要求中探究其相应的必须具备的 条件.常见有:规律探索、条件探索、问题探索、结论探索等几个类型.如果是条件探索型命 题,解题时要求学生要善于从所给的题断出发,逆向追索,逐步探寻,推理得出应具备的条 件,进而施行填空;如果是结论探索型命题,解题时要求学生充分利用已知条件或图形的特 征进行大胆猜想、透彻分析、发现规律、获取结论. 例 3 观察下列等式: ① cos 2? ? 2cos ? ? 1 ;
2

② cos 4? ? 8cos ? ? 8cos ? ? 1;
4 2

③ cos 6? ? 32cos ? ? 48cos ? ? 18cos ? ?1 ;
6 4 2

④ cos8? ? 128cos ? ? 256cos ? ? 160cos ? ? 32cos ? ? 1
8 6 4 2

⑤ cos10? ? m cos10 ? ? 1280cos8 ? ? 1120cos6 ? ? n cos4 ? ? p cos2 ? ?1 可以推测, m ? n ? p ? . 点拨:此题给出多个等式,出现的系数存在规律,需对此规律进行探索,猜测,推理得出答 案.
1 3 5 7 解 : 因 为 2 ? 2 , 8 ? 2 , 32 ? 2 ,128? 2 , 所 以 m ? 2 ? 512; 观 察 可 得 n ? ?400 ,
9

p ? 50 ,所以 m ? n ? p ? 962 .
例 4 观察下列等式:

13 ? 23 ? 32, 13 +23 +33 =62, 13 +23 +33 +43 =102, ??? , 根 据 上 述 规 律 , 第 .五 .个 .等 .式 .为
__________ __ .
点拨:此题给出多个等式,需寻找规律,探索答案. 解: (方法一)∵所给等式左边的底数依次分别为 1,2;1,2,3;1,2,3,4?,右边的底数依 次分别为 3,6,10?(注意:这里 3 ? 3 ? 6,6 ? 4 ? 10 ) ,∴由底数内在规律可知:第五个等 式左边的底数为 1,2,3,4,5,6 ,右边的底数为 10 ? 5 ? 6 ? 21 . 又左边为立方和,右边为平方的形式,故第五个等式为

13 ? 2 3 ? 33 ? 4 3 ? 53 ? 6 3 ? 212 .

用心 爱心 专心

2

(方法二) ∵易知第五个等式的左边为 13 ? 2 3 ? 33 ? 4 3 ? 53 ? 63 , 且化简后等于 441 , 而 441 ? 21 ,故易知第五个等式为 13 ? 2 3 ? 33 ? 4 3 ? 53 ? 6 3 ? 212
2

【题型三】新定义型 定义新情景,给出一定容量的新信息(考生 未见过) ,要求考生依据新信息进行解题. 这样必须紧扣新信息的意义, 将所给信息转化成高中所学习的数学模型, 然后再用学过的数 学模型求解,最后回到材料的问题中给出解答.此类问题多涉及给出新定义的运算、新的背 景知识、新的理论体系,要求同学有较强的分析转化能力,不过此类题的求解较为简单. 例 5 对于平面上的点 集 ? ,如果连接 ? 中任意两点的线段必定包含于 ? ,则称 ? 为平面 上的凸集,给出平面上 4 个点集的图形如下(阴影区域及其边界) :

其中为凸集的是 (写出所有凸集相应图形的序号). 点拨:此题给出凸集这样一个新概念,需对此新定义理解,对照定义验证各个选项. 解:在各个图形中任选两点构成线段,看此线段是否包含于此图形,可以在边界上,故选② ③. 易错点: 忽略④是由两个圆构成一个整体图形, 从两个圆上各取一点构成的线段不包含于此 图形,易误选④. 例 6 若数列 ?an ? 满足:对任意的 n ? N ,只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立,记这样的
?

m 的个数为 (an )? ,则得到一个新数列 ?( an )? ? .例如,若数列 ?an ? 是 1, 2,3…,n,… ,则
* ? 数列 ( an ) 是 0,1, 2,…,n ? 1,… .已知对任意的 n ? N , an ? n2 ,则 (a5 )? ?

?

?



((an )? )? ?
. 点拨:此题定义了一个新数列,应透过复杂的符号理解简单的定义,并严格依照定义进行正 确推理,寻找规律,大胆猜想. 解:因为 am ? 5 ,而 an ? n ,所以 m=1,2,所以 (a5 ) ? 2.
2 ?

因为 (a1 ) ? 0, (a2 ) ? 1,(a3 ) ? 1,(a4 ) ? 1,

?

?

?

?

用心 爱心 专心

3

(a5 )? ? 2,(a6 )? ? 2,(a7 )? ? 2,(a8 )? ? 2,(a9 )? ? 2, (a10 )? ? 3,(a11 )? ? 3,(a12 )? ? 3,(a13 )? ? 3,(a14 )? ? 3,(a15 )? ? 3,(a16 )? ? 3,
所以 ((a1 )? )? =1, ((a2 )? )? =4, ((a3 )? )? =9, ((a4 )? )? =16, 猜想 ((an )? )? ? n2 . 易错点:容易对定义不理解导致思路受阻,或理解错误导致解错. 【题型四】组合型 给出若干个论断要求学生将其重新组合,使其构成符合题意的命题.解这类题,就要求 学生对所学的知识点间的关系有透彻的理解和掌握, 通过对题目的阅读、 理解、 分析、 比较、 综合、抽象和概括,用归纳、演绎、类比等推理方法准确地阐述自己的观点,理清思路, 进而完成组合顺序. 例 7 ? , ? 是两个不同的平面,m,n 是平面 ? 及 ? 之外的两条不同直线, 给出下列四个论断: (1) m ? n ,(2) ? ? ? ,(3) n ? ? (4) m ? ? ,若以其中三个论断作为条件,余下 一个论断为结论,写出你认为正确的一个命题:________________________. 点拨:此题是开放性填空题,只需填一个正确的答案,考查的是线面关系. 解:通过线面关系,不难得出正确的命题有: (1) m ? ? , n ? ? , ? ? ? ? m ? n ; (2) m ? ? , n ? ? , m ? n ? ? ? ? . 所以可以填 m ? ? , n ? ? , ? ? ? ? m ? n (或 m ? ? , n ? ? , m ? n ? ? ? ? ).

三 减少填空题失分的检验方法 【方法一】回顾检验:解答之后再回顾,即再审题,避免审题上带来某些明显的错误,这是 最起码的一个环节. 【方法二】赋值检验:若答案是无限的、一般性结论,可赋予一个或几个特殊值进行检验, 以避免知识性错误. 【方法三】估算检验:当解题过程是否等价变形难以把握时,可用估算的方法进行检验,以 避免忽视充要条件而产生逻辑性错误. 【方法四】作图检验:当问题具有几何背景时,可 通过作图进行检验即数形结合,一避免 一些脱离事实而主观臆断导致错误. 【方法五】变法检验:一种方法解答之后,再用其他方法解之,看它们的结果是否一致,从 而可避免方法单一造成的策略性错误. 【方法六】极端检验:当难以确定端点处是否成立时,可直接取其端点进行检验,以避免考 虑不周全的错误. 点评: 填空题是介于选择题和解答题之间的一种题型. 它既有选择题的小、活、广,又有解答 题的推理 运算严谨,考查全面的特点. 因此,在解题过程中可灵活选用选择题、解答题的 有效方法灵活解题,以达到正确、合理、迅速的目的. 因此在平时训练时要注意以下几点: ① 注意对一些特殊题型结构与解法的总结,以找到规律性的东西; ② 注意对知识的联想、迁移、类比、归纳的应用,以快速得到提示与启发;
用心 爱心 专心 4

③ 注意从不同角度、不同方法对题目的“再解答” ,以保证解答的正确性. 习题 7-4
? 1. 已 知 命 题 “ 若 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 , 且 am ? a, an ? b m ? n, m, n ? N , 则

?

?

am ? n ?

bn ? am . ” 现 已 知 数 列 ?bn ? n?m

?b

n

? 0, n ? N ? ? 为 等 比 数 列 , 且

bm ? a, bn ? b ? m ? n, m, n ? N ? ? , 若 类 比 上 述 结 论 , 则 可 得 到 bm?n ?
. 2.设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x, y ? S , 都有 x ? y,x ? y,xy ? S ,则称 S 为封闭集.下列命题: ①集合 S={a+bi|( a,b 为整数, i 为虚数单位)}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0 ? S ; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S ? T ? C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是 (写出所有真命题的序号) 3. a, b, c, d ? R , 有以下三个论断:① ab ? 0 ;② bc ? ad ;③

c d ? .若以其中两个为条 a b
确 的 命 题 :

件 , 余 下 一 个 为 结 论 , 写 出 所 有 正 _______________________________________________________.

4. 若规定 E ? a1, a2 ,..., a10 的子集 ai1 , ai2 ..., ain 为 E 的第 k 个子集,其中

?

?

?

?

k ? 2i1 ?1 ? 2i2 ?1 ? ??? ? 2in ?1 ,则
(1) a1, , a3 是 E 的第_________个子集; (2)E 的第 211 个子集是____________. 5. ①在 ? ABC 中, B ? 90 的充分必要条件是 c ? b cos A ;
?

?

?

②函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值是

5 ; 2

③数列 {an } 的前项和为 Sn ,若 Sn ? n2 ? 1 ,则数列 {an } 是等差数列; ④空间中,垂直于同一直线的两直线平行; ⑤直线 x ? 7 y ? 5 ? 0 分圆 x ? y ? 1所成的两部分弧长之差的绝对值为 ? .
2 2

其中正确的结论的序号为:___________. 6.平面几何中的射影定理为:直角 ?ABC 中, ?A ? 90?, AD ? BC 2 则有 AB ? BD ? BC ,如图 1;将此结论类比到空间:在三棱锥 A ? BCD 中,AB、 AC 、 AD 三边两两互相垂直, A 在面 BCD 的射影为点 O ,则得到的类比的结论中 S?ABC , S?BOC , S?BCD 有怎样的关系 . 【答案】 习题 7-4
用心 爱心 专心 5

? bn ? 1. ? m ? ?a ?

n?m

提 示 :( 新 定 义 型 )( 1 ) 根 据 新 定 义 k ? 2

1?1

? 23?1 =5 . ( 2 ) 要 使 得

k ? 2i1 ?1 ? 2i2 ?1 ? ??? ? 2in ?1 =211 , 需 2i1 ?1 ? 2i2 ?1 ? ??? ? 2in ?1 =1+2+16+64+128 , 即 要 使 得
分别为 1,2,16,64,128,故 i1, i1 ?1 ,i2 ?1 , i3 ?1 , i4 ?1 , i5 ?1 i2 , i3 , i4 , i5 分别为 1, 2,5,7,8. 5.①②⑤.提示: (多选型)①利用正弦定理边化角可证明正确.②不满足均值不等式条件, 考虑对钩函数单调性证明正确.③等差数列前 n 项和为关于 n 的二次式 , 且常数项为 0.④由 正方体从一个定点出发的三条棱两两垂直可知错误⑤圆心到直线的距离 d ?

2 ,半径 2

r ? 1 ,劣弧所对圆心角为
6. S ?ABC ? S BOC ? S ?BCD
2

? . 2

提示: (探索型) 类比猜测答案. 实际上, 延长 DO 交 BC 于 H , 则 DH ⊥ BC , AH ⊥ BC .

1 S?ABC = ? BC ? AH , S?BOC ? 1 ? BC ? OH , S?BCD ? 1 ? BC ? DH 而 2 2 2
2 直角 ?AHD 中, ?DAH ? 90?, AO ? DH 则有 AH ? OH ? DH

A

B H C O

D

故 S ?ABC ? S BOC ? S ?BCD

2

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6


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