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考试要求 A 级要求 了解直线与圆的位置关 B 级要求 C 级要求

直线与圆的 位置关系

系;了解切线的概念, 理解切线与过切点的半 径之间关系;会过圆上 一点画圆的切线

能判定一条直线是否为圆的切线;能 利用直线和圆的位置关系解决简单问 题

能解决与切线有关的 问题

切线长

了解切线长的概念

会根据切线长知识解决简单问题

一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

1、设 ⊙O 的半径为 r ,圆心 O 到直线 l 的距离为 d ,则直线和圆的位置关系如下表:

位置关系

图形
r _ d _ r _ d _ r _ O d _ _ l _ O _ l _ O _ l _

定义

性质及判定
d ? r ? 直线 l 与 ⊙O 相离

相离

直线与圆没有公共点.

相切

直线与圆有唯一公共点,直线叫做 圆的切线,唯一公共点叫做切点. 直线与圆有两个公共点,直线叫做 圆的割线.

d ? r ? 直线 l 与 ⊙O 相切

相交

d ? r ? 直线 l 与 ⊙O 相交

从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示: 直线和圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系 公共点名称 直线名称 相交 相切 相离
0 d ?r

2
d ?r

1
d ?r

交点 割线

切点 切线

无 无

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二、切线的性质及判定
1. 切线的性质: 定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 2. 切线的判定: 定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; 距离法:到圆心距离等于半径的直线是圆的切线; 定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3. 切线长和切线长定理: ⑴ 切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. ⑵ 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角. ①切线的判定定理 设 OA 为⊙O 的半径,过半径外端 A 作 l ⊥OA,则 O 到 l 的距离 d=r,∴ l 与⊙O 相切.因此,我们得 到:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 注: 定理的题设①“经过半径外端”, ②“垂直于半径”, 两个条件缺一不可. 结论是“直线是圆的切线”. 举 例说明:只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线.

O _ l _ A _ A _

O _

O _ l _ l _ A _

证明一直线是圆的切线有两个思路: (1)连接半径,证直线与此半径垂直; (2)作垂线,证垂足在圆 上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 我们分析:这个定理共有三个条件:一条直线满足: (1)垂直于切线(2)过切点 (3)过圆心
A _

定理:①过圆心,过切点 ? 垂直于切线 OA 过圆心, OA 过切点 A ,则 OA ? AT ②经过圆心,垂直于切线 ? 过切点

O _

O _

A _

T _

M _ B _

T _

③ 经过切点,垂直于切线 ? 过圆心

?1? AB过圆心? ? ? ? M 为切点 ? 2? AB ? MT ? ?

?1? AM ? MT ? ? ? ? AM 过圆心 ? 2? M 为切点 ? ?

三、三角形内切圆
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1. 定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形 叫做圆的外切三角形. 2. 多边形内切圆:和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形. 3.直角三角形的内切圆半径与三边关系
A _ c _ b _ b _ a _ C _ C _ a _ A _ c _ D _ O _ B _ B _ B _ E _ F _ C _ A _

(1)

(2)

b, c 分别为 ?ABC 中 ?A , ?B , ?C 的对边,面积为 S 图(1)中,设 a ,

则内切圆半径(1) r ?

s 1 ,其中 p ? ? a ? b ? c ? ; p 2

图(2)中, ?C ? 90? ,则 r ?

1 ?a ? b ? c? 2

四、典例分析:切线的性质及判定
【例1】 如图,AB 是 O 的直径, 点 D 在 AB 的延长线上, 过点 D 作 O 的切线, 切点为 C , 若∠ A ? 25? , 则 ∠D ? ______.
B D C
例1
A B

B

O

A

O

O

D C

A

例2

巩固

【例2】 如图,直线 AB 与 ⊙O 相切于点 A , ⊙O 的半径为 2 ,若 ?OBA ? 30? ,则 OB 的长为( A. 4 3 B. 4 C. 2 3 D. 2

)

【巩固】如图, AB 与 ⊙O 相切于点 B ,线段 OA 与弦 BC 垂直于点 D , ?AOB ? 60? , BC ? 4 cm ,则切线

AB ?

cm .

【例3】 如图,若 O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30 ? ,切线 CD 与 AB 的延长线交于点 D ,且 O 的半 径为 2,则 CD 的长为( A. 2 3 B. 4 3 ) C.2 D.4
A _ Page 3 of 9 O _ C _

D C
B _ D _

E

O

B

A

例2

巩固

【巩固】如图, EB 为半圆 O 的直径,点 A 在 EB 的延长线上, AD 切半圆 O 于点 D , BC ? AD 于点 C ,

AB ? 2 ,半圆 O 的半径为 2 ,则 BC 的长为_______________.
【例4】 如图,已知以直角梯形 ABCD 的腰 CD 为直径的半圆 O 与梯形上底 AD 、下底 BC 以及腰 AB 均相
C ,E .求证:以 AB 为直径的圆与 CD 相切. 切,切点分别是 D ,
A _ D _ A _ D _

O _

O _

B _

C _

例4

B _

C _

巩固

【巩固】如图,已知以直角梯形 ABCD 中,以 AB 为直径的圆与 CD 相切,求证:以 CD 为直径的圆与 AB 相切.

【例5】 已知: 如图, 在 ?ABC 中,AB ? AC , 以 BC 为直径的半圆 O 与边 AB 相交于点 D , 切线 DE ? AC , 垂足为点 E .

1 求证: (1) ?ABC 是等边三角形; (2) AE ? CE . 3

A _ E _

B _

O _

C _

【巩固】如图, MP 切 ⊙O 于点 M ,直线 OP 交 ⊙O 于点 A 、B ,弦 AC ∥ MP ,求证: MO ∥ BC .
M C B O
A

P A

【例6】 如图, ?ABC 中, AB ? AC , O 是 BC 的中点,以 O 为圆心的圆与 AB 相切于点 D 。 求证: AC 是 O 的切线。
D B

O

C

【例7】 如图,已知 AB 是 O 的直径, BC 为 O 的切线,切点为 B , OC 平行于弦 AD , OA ? r 。 (1)求证: CD 是 O 的切线; (2)求 AD ? OC 的值;
D C

9 (3)若 AD ? OC ? r ,求 CD 的长。 2

A

O

B

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【巩固】 如图,已知 AB 是 O 的直径, BC 是和 O 相切于点 B 的切线,过 O 上 A 点的直线 AD ∥ OC , 若 OA ? 2 且 AD ? OC ? 6 ,则 CD ? 。
D C

A

O

B

【巩固】 如图,AB 是半圆(圆心为 O)的直径,OD 是半径,BM 切半圆于 B,OC 与弦 AD 平行且交 BM 于 C。 (1)求证:CD 是半圆的切线; (2)若 AB 长为 4,点 D 在半圆上运动,设 AD 长为 x ,点 A 到直线 CD 的距离为
A O D

M C

B

y ,试求出 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围。

【例8】 如图, AC 为 O 的直径, B 是 O 外一点, AB 交 O 于 E 点,过 E 点作 O 的切线,交 BC 于

D 点, DE ? DC ,作 EF ? AC 于 F 点,交 AD 于 M 点。
(1)求证: BC 是 O 的切线; (2) EM ? FM 。
A

B E M D C

O F

【例9】 如图,割线 ABC 与 O 相交于 B 、 C 两点, D 为 O 上一点, E 为 BC 的中点, OE 交 BC 于 F ,

DE 交 AC 于 G , ?ADG ? ?AGD 。
(1)求证: AD 是 O 的切线; (2)如果 AB ? 2,AD ? 4,EG ? 2 ,求 O 的半径。
E

C F G B A D O

【例10】 如图,已知点 E 在 ?ABC 的边 AB 上,以 AE 为直径的 ⊙O 与 BC 相切于点 D ,且 AD 平分
?BAC .求证: AC ? BC .
O _ A _

【巩固】 AB 是圆的直径, BC 是它的弦,过 C 作圆的切线 CD ,过 B 作 BE ? CD _ 交 CD 于 E ,则 E
?ABC ? ?EBC .
B _ D _
C _ D _ A _ O _ B _

C _
E _

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【例11】 如图,已知 Rt ?ABC 中, ?ABC ? 90? ,以 AB 为直径作 ⊙O 交 AC 于 D ,过 D 作 ⊙O 的切线 DE 交 BC 于 E .求证: BE ? CE .
D A C

E B

O

【巩固】 如图, 已知 ⊙O 的弦 AB 垂直于直径 CD , 垂足为 F , 点 E 在 AB 上, 且 EA ? EC , 延长 EC 到点 P , 连结 PB ,若 PB ? PE ,试判断 PB 与 ⊙O 的位置关系,并说明理由.
P _ C _ F _ E _ A _ O _ B _

D _

【例12】 如图,点 P 在 O 的直径 BA 的延长线上, AB ? 2PA , PC 切 O 于点 C ,连结 BC . (1)求 ?P 的正弦值; (2)若 O 的半径 r ? 2 cm ,求 BC 的长度.
P _ A _ C _

O _

B _

【巩固】在 Rt△ ABC 中, ?ACB ? 90? , D 是 AB 边上一点,以 BD 为直径的 ⊙O 与边 AC 相切于点 E , 连结 DE 并延长,与 BC 的延长线交于点 F . (1)求证: BD ? BF ;
AD ? 4 ,求 ⊙O 的面积. (2)若 BC ? 6 ,
B O C D E F A

【例13】 如图所示,AB 是 ⊙O 直径, OD ⊥ 弦 BC 于点 F ,且交 ⊙O 于点 E ,若 ?AEC ? ?ODB .
D

(1)判断直线 BD 和 ⊙O 的位置关系,并给出证明; (2)当 AB ? 10,BC ? 8 时,求 BD 的长.
A C E F O B

【巩固】已知:如图,⊙O 的直径 AB =8cm, P 是 AB 延长线上的一点,过点 P 作⊙O 的切线,切点为 C , 连接 AC . (1)若 ?ACP ? 120? ,求阴影部分的面积;
?? 4 3 ( 2 )若点 P 在 AB 的 延长线上运动 , ?CPA 的平分线交 AC 于 点 PC ? 4 ? tan 60 ,∠

S阴影 ? S?OPC ? S扇形BOC ? 8 3 ?

8? 1 的大小是否发生变化?若变化, 请说明理由; 若不变, 求出∠ 的 3 2
C

度数.
Page 6 of 9

A

O

B

P

?D ? 60? ,以 AB 为直径作 ⊙O , 【例14】 在平行四边形 ABCD 中, AB ? 10 ,AD ? m ,

(1)求圆心 O 到 CD 的距离(用含 m 的代数式来表示); (2)当 m 取何值时, CD 与 ⊙O 相切.

D

A O C B

【例15】 已知:如图, ⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于 E , BC ? BD , ⊙O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相 交于点 F . (1)求证: CD ∥ BF .
O _ C _ 3 (2)连结 BC ,若 ⊙O 的半径为 4 , cos ?BCD ? ,求线段 AD、CD 的长. 4 E _ B _ D _ F _ A _

【巩固】如图,在 ?ABC 中, ?C ? 90? , AC ? 3 ,BC ? 4 . O 为 BC 边上一点,以 O 为圆心, OB 为半径
E ,连结 DE . 作半圆与 BC 边和 AB 边分别交于点 D ,

(1)当 BD ? 3 时,求线段 DE 的长; (2)过点 E 作半圆 O 的切线,当切线与 AC 边相交时,设交点为 F .求证: ?FAE 是等腰三角
A

形.
E F C D O B

典例分析:切线长定理及切线性质的应用
【例16】 在 Rt ?ABC 中, ?A ? 90? ,点 O 在 BC 上,以 O 为圆心的 O 分别与 AB 、 AC 相切于 E 、 F , 若 AB ? a , AC ? b ,则 O 的半径为( A、 ab )
C O

a?b B、 ab

ab C、 a?b

a?b D、 2

F

【例17】 如图, AB ? BC , DC ? BC , BC 与以 AD 为直径的 O 相切于点 E , AB ? 9 , CD ? 4 ,则四 B 边形 ABCD 的面积为 。
C D
A D O F P E

A

E

E
Page 7 of 9

O

B

【例18】 如图,过 O 外一点 P 作 O 的两条切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B ,连结 AB ,在 AB 、 PB 、 使A 连结 DE 、DF 、EF , 则 ?E D F ?( PA 上分别取一点 D 、E 、F , D? B E ,BD ? AF , )

A、 90?-?P

1 B、 90? ? ?P 2

C、 180? ? ?P

1 D、 45?- ?P 2

【例19】 如图,已知 ?ABC 中, AC ? BC , ?CAB ? ? (定值) , O 的圆心 O 在 AB 上,并分别与 AC 、 BC 相切于点 P 、 Q 。 (1)求 ?POQ ; (2)设 D 是 CA 延长线上的一个动点, DE 与 O 相切于点 M ,点 E 在 CB 的延长线上,试判断 C ?DOE 的大小是否保持不变,并说明理由。
P A O D N Q B

【例20】 如图, O 为 Rt ?ABC 的内切圆,点 D 、 E 、 F 为切点,若 AD ? 6 , BD ? 4 ,则 ?ABC 的面积 D A 为 。 B
D F O C E A
B O E F C

【例21】 正方形 ABCD 中, AE 切以 BC 为直径的半圆于 E ,交 CD 于 F ,则 CF : FD ? ( A、1∶2 B、1∶3 C、1∶4 D、2∶5



【巩固】 如图, 以正方形 ABCD 的边 AB 为直径, 在正方形内部作半圆, 圆心为 O ,CG 切半圆于 E , 交 AD G GA ? 8 于 F ,交 BA 的延长线于 , 。 G (1) 求 ? G 的余弦值; (2)求 AE 的长。
A F E O D

B

C

【例22】 如图, AB 是半 O 的直径,点 M 是半径 OA 的中点,点 P 在线段 AM 上运动(不与点 M 重合) , 点 Q 在半 O 上运动,且总保持 PQ ? PO ,过点 Q 作 O 的切线交 BA 的延长线于点 C 。 (1)当 ?QPA ? 60? 时,请你对 ?QCP 的形状做出猜想,并给予证明; (2)当 QP ? AB 时, ?QCP 的形状是 三角形; (3)则(1) (2)得出的结论,请进一步猜想,当点 P 在线段 AM 上运动到任何位置时, ?QCP
Q
Page 8 of 9

C

A P M O

B

一定是

三角形。

【巩固】 如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 的半径 AO 上运动, PC⊥AB 交⊙O 于 E,PT 切⊙O 于 T, PC=2.5。 (1)当 CE 正好是⊙O 的半径时,PT=2,求⊙O 的半径; (2)设 PT 2 ? y , AC ? x ,求出 y 与 x 之间的函数关系式; (3)△PTC 能不能变为以 PC 为斜边的等腰直角三角形?若能,请求出△PTC 的面积;若不能, 请说明理由。
P

E

T

A

C

O

B

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