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第31届中国数学奥林匹克竞赛题


第 31 届中国数学奥林匹克竞赛题
江西 鹰潭 第一天(2015 年 12 月 16 日 8:00-12:30)
1、设正整数 a1 , a2 ,? ? ? , a31 , b1, b2 ,? ? ? , b31 满足: ⑴ a1 ? a2 ?? ? ? ? a31 ? 2015 , b1 ? b2 ?? ? ? ? b31 ? 2015 ; ⑵ a1 ? a2 ?? ? ? ?a31 ? b1 ? b2 ?? ? ? ?b31 . 求 S ? ? | ai ? bi | 的最大值.
i ?1 31

2、如图,凸四边形 ABCD 中,K、L、M、 N 分别是边 AB、BC、CD、DA 上的点,满 足: AK DA BL AB CM BC ? ? ? , , , KB BC LC CD MD DA DN CD ? . NA AB 延长 AB、CD 交于 E 点,延长 AD、BC 交于 点 F,设 ? AEF 的内切圆在边 AE、AF 上的 ? CEF 的内切圆在边 CE、 切点分别为 S、 T; CF 上的切点分别为 U、V. 证明:若 K、L、M、N 四点共圆,则 S、T、U、V 四点共圆.

3、设 p 是奇素数, a1, a2 ,? ? ? , a p 是整数,证明以下两个命题等价: ⑴存在一个次数不超过
p ?1 的整系数多项式 f ( x) ,使得对每个不超过 p 的正整 2

数 i ,都有 f (i) ? ai (mod p) . ⑵对每个不超过
p p ?1 的正整数 d ,都有 ? (ai ? d ? ai )2 ? 0(mod p) ,这里下标按模 2 i ?1

p 理解,即 a p ?n ? an .

第二天(2015 年 12 月 17 日 8:00-12:30)
4、设整数 n ? 3 ,不超过 n 的素数共有 k 个,设 A 是集合 {2,3,? ? ? , n} 的子集,A 的 元素个数小于 k ,且 A 中任意一个数不是另一个数的倍数. 证明:存在集合 {2,3,? ? ? , n} 的 k 元子集 B,使得 B 中任意一个数也不是另一个数的 倍数,且 B 包含 A.

5、在平面中,对任意给定的凸四边形 ABCD,证明:存在正方形 A ' B ' C ' D ' (其 顶点可以按顺时针或逆时针标记) ,使得 A ' ? A , B ' ? B , C ' ? C , D ' ? D ,且 直线 AA ' , BB ' , CC ' , DD ' 经过同一个点.

6、一项赛事共有 100 位选手参加,对任意两位选手 x, y ,他们之间恰比赛一次 且分出胜负,以 x ? y 表示 x 战胜 y ,如果对任意两位选手 x, y ,均能找到某个 选手序列 u1 , u2 ,? ? ? , uk , k ? 2 ,使得 x ? u1 ? u2 ?? ? ? ? uk ? y ,那么称该赛事结果 是“友好”的. ⑴证明:对任意一个友好的赛事结果,存在正整数 m 满足如下条件: 对任意两位选手 x, y ,均能找到某个长度为 m 的选手序列 z1 , z2 ,? ? ? , zm (可以 有重复) ,使得 x ? z1 ? z2 ?? ? ? ? zm ? y . ⑵对任意一个友好的赛事结果 T,将符合⑴中条件的最小正整数 m 记为 m(T ) , 求 m(T ) 的最小值.


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