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高中数学2.2.1.1圆的标准方程课件苏教版必修


2.2 圆与方程
2.2.1 第1课时
【课标要求】 1.掌握圆的标准方程,并能根据方程写出圆心的坐标和圆的 半径. 2.会用待定系数法求出圆的基本量 a,b,r,从而求出圆的 标准方程.

圆的方程 圆的标准方程

【核心扫描】 1.圆的标准方程的推导步骤;根据具体条件正确写出圆的标 准方程.(重点) 2.运用圆的标准方程解决问题.(难点)

自学导引 1.圆的标准方程 设圆的圆心是 C(a,b),半径为 r,则圆的标准方程是(x-a)2 +(y-b)2=r2,当圆的圆心在坐标原点时,圆的半径为 r,则圆的 标准方程是 x2+y2=r2. 2.点与圆的位置关系 设点 P 到圆心的距离为 d,圆的半径为 r,点 P 在圆外?d>r; 点 P 在圆上?d=r;点 P 在圆内?d<r.

试一试:1.圆心在原点的单位圆的方程是什么?

提示 x2+y2=1
2 2 2 2.若点 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 上,则有 x2 0+y 0=r ,若 x0+ 2 y0 =r2,则点 P(x0,y0)与圆 x2+y2=r2 有什么位置关系?

提示 点 P 在圆 x2+y2=r2 上

名师点睛 1.圆的标准方程的推导 类比确定一条直线的条件(两点、 一点和倾斜角)得出确定一个 圆的最基本要素:圆心和半径.以 A(a,b)为圆心,半径为 r 的圆 就是集合 P={M ||MA |= r}. 由两点间的距离公式, 点 M(x, y)的坐标适合的条件可表示为: ?x-a?2+?y-b?2=r,整理为:(x-a)2+(y-b)2=r2,上述方程即 表示以 A(a,b)为圆心,r 为半径的圆.

2.确定圆的方程的条件

圆的标准方程 (x - a)2 + (y - b)2 = r2 中,有三个参数 a , b ,
r,只要求出a,b,r,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的方 程,需三个独立条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的 定形条件. 3.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有:在圆内、圆上、圆外.其判断方法 是由两点间的距离公式,求出该点到圆心的距离,再与圆的半

径比较大小.

题型一 直接法求圆的标准方程

【例1】 已知圆C的圆心为(5,6),且经过点(3,5).
(1)求圆C的方程; (2)判断点M(6,9)、N(3,3)和G(5,3)与圆C的位置关系. [思路探索] 求圆的标准方程,只要确定圆心坐标和半径即 可,由已知的圆心和圆所过的点,利用两点间距离公式即可确

定半径.

解 (1)圆 C 的半径 r2=(5-3)2+(6-5)2=5, 所以圆 C 的方程为(x-5)2+(y-6)2=5. (2)由(1)得圆 C 的方程为 (x-5)2+(y-6)2=5. 分别将 M(6,9),N(3,3),O(5,3)代入得 (6-5)2+(9-6)2=10>5,∴M 在圆外; (3-5)2+(3-6)2=13>5,∴N 在圆外; (5-5)2+(3-6)2=9>5,∴O 在圆外.

规律方法 点与圆的位置关系,从形的角度来看,设圆心为

O ,半径为 r ,则点 P 在圆内 ?PO<r ;点P 在圆上 ?PO =r ;点 P
在圆外?PO>r.从数的角度上看,设圆的标准方程 (x-a)2+(y- b)2 = r2 ,圆心 A(a , b) ,半径 r ,则点 M(x0 , y0) 在圆上 ? (x0 - a)2 + (y0 - b)2 = r2 ;点 M(x0 , y0) 在圆外 ? (x0 - a)2 + (y0 - b)2>r2 ;点 M(x0,y0)在圆内?(x0-a)2+(y0-b)2<r2.

【训练1】 已知点A(1,2)在以C(a,a)为圆心,半径为a的圆

的内部,求实数a的取值范围.
解 圆 C 的方程为(x-a)2+(y-a)2=2a2(a>0) ∵点 A 在圆 C 的内部,∴(1-a)2+(2-a)2<2a2, 5 解得 a> . 6

题型二 待定系数法求圆的标准方程 【例 2】 一个圆经过 A(10,5),B(-4,7)两点,半径为 10,求 圆的标准方程.
[思路探索] 本题考查圆的标准方程的确定,关键是确定圆心 坐标,可利用待定系数法求解.



法一

设圆心为(a,b),

??a-10?2+?b-5?2=100①, ? ∴? 2 2 ? ? a + 4 ? + ? b - 7 ? =100②. ?

①-②整理得 7a-b-15=0,即 b=7a-15③, 将③代入①得 a2-6a+8=0. ∴a=2 或 a=4,则 b=-1 或 b=13. 故所求圆的标准方程为 (x-2)2+(y+1)2=100 或(x-4)2+(y-13)2=100.

法二 线段 AB 的垂直平分线所在直线的方程为 10+4 y-6=- (x-3), 5-7 即 y=7x-15. 设圆心为(a,b),由于圆心在线段 AB 的垂直平分线上, ∴b=7a-15①,∵(a-10)2+(b-5)2=100②, 将①代入②可得 a=2 或 a=4.(以下同法一)

规律方法 已知圆的半径求圆的方程时,关键是求得圆心坐 标,常用待定系数法求解,法二用到了圆的弦的垂直平分线过圆 心这一性质.

【训练 2】 在平面直角坐标系中,求与 x 轴相交于 A(1,0)和 B(5,0)两点且半径为 5的圆的标准方程.
解 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由于圆过点 A(1,0)和点 B(5,0),且圆的半径为 5,
??1-a?2+?0-b?2=? ? 所以? 2 2 ? ? 5 - a ? + ? 0 - b ? =? ? ? ?a=3, 解得? ? 1, ?b=±

5?2, 5?2,

所以所求的圆的方程为 (x-3)2+(y-1)2=5 或(x-3)2+(y+1)2=5.

题型三 几何法求圆的标准方程 【例 3】 求过点 A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线 x+y- 2=0 上的圆的方程.
审题指导 本题考查求圆的标准方程的常用方法.如果在求圆 的方程时能够结合圆的有关性质来考虑,可以使思路简捷、直观, 计算简单,这就是数形结合思想.常用的几何性质有:圆心与切 点的连线垂直于切线;圆心到切点的距离等于圆的半径;圆的弦 的垂直平分线过圆心;圆中两条弦的垂直平分线的交点为圆心等.

[规范解答] 法一 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2= r2, ??1-a?2+?-1-b?2=r2, ? 2 2 2 由已知条件知,??-1-a? +?1-b? =r , ?a+b-2=0. ? ?a=1, ? 解此方程组,得?b=1, ?r2=4. ? 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2 分)

?7分?

?12分? (14 分)

法二

设点 C 为圆心,

∵点 C 在直线 x+y-2=0 上, ∴可设点 C 的坐标为(a,2-a). 又∵该圆经过 A,B 两点,∴|CA |= |CB |. ∴ ?a-1?2+?2-a+1?2= ?a+1?2+?2-a-1?2, 解得 a=1. ∴圆心坐标为 C(1,1),半径 r= |CA |=2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (6 分) (10 分) (12 分) (14 分) (2 分)

法三

由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0), (2 分)

1-?-1? kAB= =-1, -1 -1 所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k=1, 所以 AB 的垂直平分线的方程为 y-0=1· (x-0), 即 y=x. 则圆心是直线 y=x 与 x+y-2=0 的交点 ,
?y=x, ? 由? ? ?x+y-2=0, ?x=1, ? 得? ? ?y=1.

(6 分) (8 分)

即圆心为(1,1), 圆的半径为 ?1-1?2+[1-?-1?]2=2, 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.

(10 分) (12 分) (14 分)

【题后反思】 确定圆的标准方程就是设法确定圆心 C(a,b) 及半径 r,其求解的方法:一是待定系数法,如法一,建立关于 a, b,r 的方程组,进而求得圆的方程;二是借助圆的几何性质直接 求得圆心坐标和半径,如法二、三中,解析几何中,解决有关圆 的问题时,有时利用圆的几何性质进行转化较为简捷.

【训练 3】 已知一个圆关于直线 2x+3y-6=0 对称,且经过 点 A(3,2),B(1,-4),求圆的方程.

3-1 解 AB 的垂直平分线为 y+1=- (x-2),即 x+3y+1= 2+4 0. ∵圆心在弦 AB 的垂直平分线上,也在对称轴上,
? ?2x+3y-6=0, 则由? ? ?x+3y+1=0, ? 8? 即圆心为?7,-3?. ? ?

?x=7, ? 得? 8 y=- . ? 3 ?

∴半径为 r=

?7-3?
2

2

? 8 ? +?-3-2?2 = ? ?

340 9 .

∴圆的方程为(x-7)

? 8?2 340 +?y+ ? = . 3? 9 ?

误区警示 忽视基本量 r 取值范围出错 【示例】 已知点 P(1,-1)在圆 C:(x+1)2+(y+1)2=2-k 外,求实数 k 的取值范围.
[错解] ∵点 P(1,-1)在圆 C 外, ∴(1+1)2+(1-1)2>2-k,解得 k>-2.
错解忽视了半径 r= 2-k>0 的条件,漏掉 k<2 的 限制.

[正解] 同上,得 k>-2.又由半径 r= 2-k>0,得 k<2,故 k 的取值范围是(-2,2).

若方程(x-a)2+(y-b)2=m 表示圆,则圆的半径 r = m,且 m>0.


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