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2.3等差数列前n项和性质及应用(2)


复习回顾
等差数列的前n项和公式:

n(a1 ? an ) 形式1: Sn ? 2
形式2: n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

n(n ? 1) n(a1 ? an ) ? na ? d ? 1 sn 2 2
n

a

n

a

1

a

1

n

a

1

(n ? 1)d

1.将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数,这个函数 有什么特点?

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2

d d 令 A ? , B ? a1 ? 2 2

d 2 d Sn ? n ? (a1 ? )n 2 2

则 Sn=An2+Bn

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数

sn

2 n d sn ? na1 ? 2 n ?1 d ? 2 n ? a1 ? d n 2 n 我们可以看出它是关于n 的二次函 数,从而等差数列的前n项和可以写 成 a1<0, d>0,最小值 形如: 2

?

?

?

?

sn ? An ? Bn , (其中公差为2 A)
将等差数列的前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和的最值:

sn

n

练习:课本44页例3,例4

a1>0,d<0,最大值

例1、若等差数列{an}前4项和是2,前9 项和是-6,求其前n 项和的公式。
解:设首项为a1,公差为d,则有:
18 1 ? ? a ? 2 ? 4 a ? ? 4 ? 3 d 1 1 ? ? 15 2 , 解之得: ? ? 7 1 ?d ? ? ?? 6 ? 9a1 ? ? 9 ? 8d 15 2 ? ? ∴S ? 18 n ? 1 n(n ? 1) ? ( ? 7 ) ? ? 7 n 2 ? 43 n 。 n 15 2 15 30 30

另解:
设 Sn= an2 + bn,依题意得: S4=2, S9= -6, 解之得:

? 2 ? a?4 ? b?4 即 , ? 2 ?? 6 ? a ? 9 ? b ? 9
2

7 ? ?a ? ? 3 0 , ? 43 ?b ? 30 ?

7 2 43 ? Sn ? ? n ? n。 30 30

等差数列的前n项的最值问题 例2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=-2
1 1 3 ? 13 ? ? 3 ? 2 ? d ? 11 ? 13 ? ? 11 ? 10 ? d 2 2

1 ? Sn ? 13n ? n( n ? 1) ? ( ?2) 2 2 2 ? ? n ? 14n ? ?(n ? 7) ? 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.

等差数列的前n项的最值问题 例2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=-2<0

则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.

Sn

3 ? 11 n? ?7 2

n 3 7 11

等差数列的前n项的最值问题 例2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=-2

∴ an=13+(n-1) ×(-2)=-2n+15 15 ? n? ? ? an ? 0 ? 2 由 ? 得 ? 13 a ? 0 ? ? n?1 n? ? ? 2 ∴当n=7时,Sn取最大值49.

例1的变式题一:等差数列{an}中, 首项a1>0,S3 = S11,问:这个数列 的前几项的和最大?

例1的变式题二:等差数列{an}的首 项a1> 0, 前n项和为Sn,Sm= Sl ,问: n 为何值时,Sn最大?

?an ?的前项n和Sn,且a3 ? 12,S12 ? 0, S13 ? 0 例3.等差数列 ?1?指出S1,S2 ? S12中哪个最大,并说明理 由; ?2?求公差d的取值范围 .
?a6 ? 0 ?a6 ? a7 ? 0 ?? ?1?S12 ? 0, S13 ? 0 ? ? 解: ?a7 ? 0 ?a7 ? a7 ? 0
? S6最大
?12?12 ? 2d ? ? 66d ? 0 ?2? ? ?13?12 ? 2d ? ? 78d ? 0

24 ?? ?d ?3 7

1.?an ?等差数列, S3 ? S8 , 则使取得最值的 n ??
2.?an ?等差数列,S10 ? 0, S11 ? 0, 则使an ? 0
?a 的n的最小值是? ?
5

5或 6

? a6 ? 0

?a6 ? a6 ? 0

? a5 ? 0, a6 ? 0

6

3.已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此 数列的前n项和最大,则n的值为( C )

A.12

B.13
?an ? 0 ? 12 ? n ? 13 ? ?an ?1 ? 0

C.12或13

D.14

方法:
等差数列前n项和的最值问题有两种方法:

d 2 d (1) 由 S n ? n ? (a1 ? )n 利用二次函 2 2 数配方法求得最值时n的值.
(2) 当a1>0,d<0,前n项和有最大值. 可由an≥0,且an+1 ≤ 0,求得n的值; 当a1<0,d>0,前n项和有最小值. 可由an≤0,且an+1 ≥ 0,求得n的值.

2.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也是等差数列, 公差为 n2d

性质2:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m=

0

性质3:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间 两项), S奇 a n 此时有:S偶-S奇= nd , ?

S偶

an ?1

性质3:(1)若项数为奇数2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an (an为中间项),

此时有:S奇-S偶= an ,

S奇 S偶

Sn 性质4: { } 为等差数列. n

n ? n?1

两等差数列前n项和与通项的关系

性质5:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 an S 2 n ?1 ? 前n项的和分别为Sn和Tn,则 bn T2 n ?1

3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B )

A.63

B.45

C.36

D.27

例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( )

A

A.85

B.145

C.110

D.90

等差数列{an}前n项和的性质的应用 例3.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分

Sn 7 n ? 1 别是Sn和Tn,且 ? Tn 4n ? 27
a5 an 求 和 . b5 bn a5 64 ? b5 63

an 14n ? 6 ? bn 8n ? 23

等差数列{an}前n项和的性质的应用 例4.一个等差数列的前12项的和为354, 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数 的项的和之比为32:27,则公差为 5 . 例5.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和 为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则 m= 10 . 例6.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .

?an ?? 例7.若两个等差数列 、 bn ? 的前n项和An与Bn满足
An 7n ? 1 a11 ? ,求 . Bn 4n ? 27 b11

an A2 n ?1 根据公式 ? bn B2 n ?1

1.根据等差数列前n项和,求通项公式.

n?1 ?a1 an ? ? ? S n ? S n ?1 n ? 2
2、结合二次函数图象和性质求 的最值.

d 2 d S n ? n ? ( a1 ? ) n 2 2

练习1
已知等差数列25,21,19, …的前n项和 为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
练习2: 求集合

M ? {m m ? 2n ?1, n ? N , m ? 60}

?

的元素个数,并求这些元素的和.

练习3:已知在等差数列{an}中,a10=23,
a25=-22 ,Sn为其前n项和.
(1)问该数列从第几项开始为负?
(2)求S10

(3)求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值

作业:
1: 等差数列{an}的前n项和Sn满足 S5=95, S8=200,求Sn。

2: 若数列{an}的前n项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。 3、设等差数列{an}的前n项和为Sn, 已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大,

1、 设 Sn

=an2+bn,

?a ? 2 解之得: , ∴Sn=3n2+n。 ? ?b ? 9

?95 ? 25a ? 5b 则有:? 。 ? 200 ? 64a ? 8b

2、是。

? a1 ? S 1 简单提示:利用公式: ? ? a n ? S n ? S n ?1

( n ? 1) ( n ? 2)

3、(1)

24 ? ? d ?, ?3 (2)S6最大。 7


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