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偏微分方程数值解法


(三)偏微分方程的数值离散方法
? 3.1 有限差分法 ? 3.2 有限体积法 ? (有限元,谱方法,谱元,无网格,有限 解析,边界元,特征线)

1

3.1 有限差分法
? ? ? ? ? ? 3.1.1 模型方程的差分逼近 3.1.2 差分格式的构造 3.1.3 差分方程的修正方程 3.1.4 差分方法的理论基础 3.1.5 守恒型差分格式 3.1.6 偏微分方程的全离散方法
2

3.1.1 模型方程的差分逼近

3

3.1.2 差分格式的构造

4

3.1.3 差分方程的修正方程
? ? ? 差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 对于时间发展方程,利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数,只留空间导数。 Warming-Hyett方法:
?u ?u ?c ?0 (1) ?t ?x 1 1 ?1 un ? un ? u j ?1 ? u j ?1 ? ?2 ?u j ?1 ? 2u j ? u j ?1 ? j j ? 2 2 Taylor展开

?

?

(2)

?1 un ? un j j ? ?t ?t ? ?t

?u 1 2 ? 2u 1 3 ? 3u ? ?t ? ?t ?? ?t 2! ?t 2 3! ?t 3

? (e

? 1)u

?u 1 2 ? 2u 1 3 ? 3u u j ?1 ? u j ? ?x ? ?x ? ?x ?? ?x 2! ?x 2 3! ?x 3 ? (e
?x ? ?x

? 1)u
? ?x ? ?x

u j ?1 ? (e

? 1)u

(2)等价于: ? ?u 1 2 ? 3u ? 2 ? 1 ? 2u 1 ? 4u ? ?u 1 ? 2u 1 2 ? 3u ? ? ? ?t ? ? t ? ? ? ? c ? ? x ? ? ? c ?t ? ? ? ?? 2 3 3 2 4 ? ? ? ? (3) ?t 2 6 24 ?x ?t ?t ?x ? ?x 6 ? ? 2 ?x ?

?

差分方程(2)写成算子的形式:

5

3.1.3 差分方程的修正方程 (续)
(e
?t ? ?t

? 1)u ? ? (e (e
?t ?t

? ? ? ? ?x ? ?x ? ?x ? ?x ? 1 1 x ?x ? (e ?x ? e ?x )u ? ?2 ? e ? 2 ? e ? 2 2 ?

? ?u ? ?

(4)

记算子 则

? ?t

? 1) ? ?t

? ?t

? 1) 2
3

3 1 1 ?u ? 2u 3 ? u ? ?t 2 ? ? t ?? ?t 2! 3! ?t 2 ?t 3 3 4 1? 1 1 1? ? 2u ?1 ? 3 ? u 4 ? u ? ?t 2 ? ? ? t ? 2 ? ? ? ? t ?? ? ? ? ? ?t 2 2? 6 2 2? ?t 3 ?t 4 ?2 ? 3 4 1? ? 3u ? 4 ? u ? ?1 ? ? ?t ?? ?t 3 2? ?t 4 ?

(e (e

?t

? ?t

? 1) ? ?t ? 1)
4

?t

? ?t

? ?t

4

? 4u ?? ?t 4

?t ? 可以将?t 表示成(e ?t ? 1) l 的级数 ?t ? ? ?t ? ? 1 1 3 t ? b e ? 1? , b ? 1 , b ? ? , b ? , b ? ? ? l? 1 2 3 3 ? 2 3 8 l ?1 ? ? 最后得到

?

? ?t ? ?t

?

l

? ?t ? ?t 即有 ?u ? ?t
?

? ? ?t ? ? t ? b e ? 1? ? l? ? ? l ?1 ? ? ?

l

? ? 1 ? ?x ? ? ?x ?x ?x ? b ? ? e ? e ? l? 2 ? ? ? ?

? ? ? ?x ? 1 2 ? ?x ? x ?x ? ? ? ?e ? 2 ? e ? 2 ? ? ?

?? ?? ? ? ??

l

? ?k
k ?1

?ku ?x k

?

? ? 2 p ?1
p ?0

?

? ? 2 p ?1u ? 2 pu ? ? ? 2p ?x 2 p ?1 ?x 2 p p ?1

(5)

6

3.1.3 差分方程的修正方程(续)
?u ? ?t

??
k ?1

?

k

?ku ?x k

?

??
p ?0

?

2 p ?1

? ? 2 p ?1u ? 2 pu ? ? ?2 p ?x 2 p ?1 ?x 2 p p ?1

基本解为 e (? ? i? ) t e ikx

? ? ? ?

? (?1)
p ?1 ?

?

p

?2 pk 2 p ? 2 p ?1k 2 p ?1

? (?1)
p ?0

p

格式稳定的充分必要条件是

? ?

? (?1)
p ?1

?

p

? 2 p k 2 p ? 0, ?k
( ?1) p ? 2 p ? 0 1 c (c 2 ?t 2 ? ?x 2 ) 6

偶次项系数 满足 : 对于(2):

?1 ? ?c,? 2 ? 0, ? 3 ? ?4 ? ?

1 2 c ?t (3c 2 ?t 2 ? ?x 2 ) 8 符合War min g ? Hyett 稳定性判别条件. why CFL ? 1 for scheme (2) ?
7

3.1.4 差分方法的理论基础
? 相容性,稳定性,收敛性 ? 等价性定理 ? Fourier稳定性分析

8

3.1.4 差分方法的理论基础(续)
? Fourier (Von Neumann) 稳定性分析
uin?1 ? uin 1 n ? c (ui ?1 ? uin ) ? 0, c ? 0 (1) ?t ?x
设? ? c ?t ?x 误差的基本解 uin ? An e ikxi uin ?1 ? An ?1eikxi uin?1 ? An eikxi?1 代入(1) : u n ?1 ? uin ? ? (uin ? uin?1 ) An ?1eikxi ? An e ikxi ? ? ( An e ikxi ? An e ikxi?1 ) 满足稳定性要求的 amplificat ion factor G An ?1 G ? n ?1 A
9

3.1.4 差分方法的理论基础(续)
? Fourier (Von Neumann) 稳定性分(续)
G ? 1 ? ? ? ?e ?ik?x ? 1 ? ? ? ? (cos k?x ? i sin k?x) ? 1 ? ? (1 ? cos k?x) ? i? sin k?x ? k?x ? 2 G 2 ? ?1 ? ? (1 ? cos k?x)? ? ?2 sin 2 k?x ? 1 ? 4? (1 ? ? ) sin 2 ? ?, ? 2 ? G ? 1 if ? ? 1

?

? ? 1 称为CFL条件

(Courant, Friedrichs, Levy)
10

3.1.5 守恒型差分格式
? 流体力学方程组描述物理量的守恒性;守恒律组:
?u d ?f ?? ?0 ?t i ?1 ?xi

?

定义
对于一维单个守恒律: ?u ?f (u ) ? ?0 ?t ?x 其差分格式如果具有如下形式
?1 ?1 un ? un ? j j

~ ? ?t ? ~ n ? f 1 ? f n1? j? ? ?x ? 2? ? j? 2

则为守恒型差分格式。 ~ 其中 f n 1 称为数值通量,它是2l个变量的多变量函数:
j?

~n ~ n n f 1 ? f (u n j ?l ?1 , u j ?l ? 2 , ? , u j ? l ),
j?

2

~ f 满足相容性条件 : ~ f (u , u ? , u ) ? f (u )

2

11

3.1.5 守恒型差分格式(续)
? 守恒性质:
守恒型差分格式对j求和 :
j ?? J j?J j?J

?u ?u
x J ?1 / 2 j?J

n ?1 j

?x ?

j ?? J

? u ?x ? f
n j j?J 0 j

~n
1 ?J ? 2

~ ?t ? f n 1 ?t
J? 2

再对n求和 :
j ?? J n ?1 j

~ ?x ? ? u ?x ? ? f k
j ?? J k ?0

N

1 ?J ? 2

~ ?t ? ? f k 1 ?t
k ?0 J? 2

N

可以看成是积分

?

x? J ?1 / 2

u ( x, t n ?1 )dx ? ?

x J ?1 / 2

x? J ?1 / 2

u ( x,0)dx ? ? u ( x
0

t n?1

?J ?

u( x 1 , t ) dt ? ?
2 0

t n?1

J?

1 2

, t )dt

该积分代表离散的守恒律。完全对应于连续的守恒律:

? u ( x, t )dx ? f (u ( x, t ))dt ? 0
?

?

非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。
12

3.1.5 守恒型差分格式(续)
? 守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理: 如果守恒型差分格式

u
是和守恒律

n ?1 j

?u

n ?1 j

~n ? ?t ? ~ n ?f 1 ? f 1? ? j? j? ? ?x ? 2 ? ? 2

?u ?f (u ) ? ?0 ?t ?x
相容的,且当时间和空间步长趋于零时,差分解一致有界,几乎处处收敛于 分片连续可微的函数,则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。
推论:守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。 用途: (加上熵条件)可以得到正确的激波,研究中大量使用 例如:Lax-Friedrichs 格式,Lax-Wendroff格式,Mac Cormack格式
13

3.1.6 偏微分方程的全离散方法
? 对差分格式的一般要求:
– 有精度、格式稳定、求解效率高

? 特殊要求
– 物理定律(守恒性)、物理特征(激波、湍 流、旋涡、多介质、化学反应等)、有界性 (正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度 等)

? 主要指非定常方程的时间离散
14

3.1.6偏微分方程的全离散方法(续)
? 两层格式
– Crank-Nicolson格式、P-C格式、LaxWendroff格式、MacCormack 格式 – Runge-Kutta方法 – 时空全守恒:如Godunov格式、centralupwind格式、CESE方法

? 多层格式
– Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后 三点隐格式
15

3.1.6.1 两层格式
? Crank-Nicolson格式
?u ?u ?c ?0 ?t ?x uin ?1 ? uin c ?u n ?u n ?1 ? ( ? )?0 ?t 2 ?x ?x uin ?1 ? uin c 1 n ?1 ? (uin?1 ? uin?1 ? uin?? 1 ? ui ?1 ) ? 0 ?t 4?x ?

?

4 Au n ?1 ? B n

1 n ?1 uin?? ? 1 ? ui

?
4

1 n uin?? 1 ? ui ?

?
4

( uin?1 ? uin?1 ) ? Bin

unconditional stable

? ? ? ?

Predictor-Corrector格式 Lax-Wendroff 格式 Mac Cormack格式 Runge-Kutta方法

16

3.1.6.1 两层格式(cont.)
? Lax-Wendroff 格式
一步LW格式
?u ?u ?c ?0 ?t ?x u 2 ?t 其中? ? c ?x
n ?1 i

?u ?
n i

?

(u

n i ?1

?u )?
n i ?1

?2
2

(uin?1 ? 2uin ? uin?1 ),

O(?t 2 , ?x 2 )

Fourier 稳定性 : ? ? ik?x ?ik?x ?2 ik?x ? A ? A ?1 ? (e ? e ) ? (e ? 2 ? e ?ik?x )? 2 ? 2 ? An ?1 G ? n ? 1 ? i? sin k?x ? ?2 (cos k?x ? 1) A G ?1? ? ?1
n ?1 n

17

3.1.6.1 两层格式(cont.)
? Lax-Wendroff 格式
两步LW格式
?u ?f ? ?0 ?t ?x u
1 2 1 i? 2 n?

? (uin ? uin?1 ) / 2 ?t / 2 ?

1 n n ( fi? 1 ? fi ) ? 0 ?x

1 1 n? n? uin ?1 ? uin 1 2 ? ( f 1 ? f 1 2 ) ? 0, i? ?t ?x i ? 2 2

O(?t 2 , ?x 2 ),

? ?1

常系数Jacobian时与单步LW等价。但计算更简单,不涉及矩阵相 乘。
18

3.1.6.1 两层格式(cont.)
? Mac Cormack 格式 (1969)
两步格式
?u ?f ? ?0 ?t ?x ui* ? uin 1 n n P: ? ( fi? 1 ? fi ) ? 0 ?t ?x 1 uin ?1 ? (uin ? ui* ) 1 2 C: ? ( f i* ? f i* ?1 ) ? 0 ?t ?x c?t O(?t 2 , ?x 2 ), ? ? ?1 ?x

比LW更简单,不需要计算函数在半点上的值。 LW两步格式和MC各式的缺点:定常解的误差依赖于时间步长。
19

Mac Cormack格式的构造
? ?U ?F ? ? ? ? ?0 ? t ? x ? ? ? U * ?U n F n ? F n ? i ?1 i ? ?0? ?P: ? t ? x ? ? * * * * * ? U ?U ? Fi ? Fi ?1 ? ? 0? ?C : ? t ? x ? ? ? n ?1 1 n ? ** U ? ( U ? U ) ? ? 2 ? ? Taylor exp. ? ? ? ? ?U n ?1 n ?U i ? U i ? ( ? ) av ? ?t ? t ? ? n * ? ?U ? 1 ?U ?U ?( ) av ? ( ? ) ? 2 ?t ?t ? ?t ? ? ?U n ? 1 n n ? ? ( Fi ?1 ? Fi ) ? ? ? t ? x ? ? * ? ?U ? 1 * * ? ? ( Fi ? Fi ?1 ) ? ? ?x ? ?t ?

20

3.1.6.2 三层格式
? Leap-Frog格式 ? Adams-Bashforth格式
?u ? f (u ) ?t ?u ?t 2 ? 2 u u ? u ? ?t ? ? ? 2 ? O(?t 3 ) ?t 2 ?t ?t 2 ? n n ? u ? ?t ? f (u ) ? ? ( f (u n )) ? O(?t 3 ) 2 ?t ?t 2 ? 1 ? n n ? u ? ?t ? f (u ) ? ? ? ( f (u n ) ? f (u n ?1 ) ? O(?t )? ? O(?t 3 ) 2 ? ?t ?
n ?1 n

u n?1 ? u n 3 1 n ? f (u ) ? f (u n?1 ) ? O(?t 2 ) ?t 2 2
21

3.2有限体积法
? 出发方程为积分型守恒方程(直角坐标、 柱坐标、球坐标) ? 以控制体为离散量 ? 计算体积分和面积分需要适当的插值公 式和积分公式 (quadrature formula) ? 适用于任意形状的网格,复杂几何形状 ? 缺点:难以构造大于二阶以上的格式
22

3.2.1 定常守恒型方程和控制体
? ??v ? nds ? ? ? grad ? ? nds ? ? qd?
S S ?

23

3.2.2 面积分的逼近
? 面积分用积分点的值表示(quadrature) ? 积分点的值用CV的值表示(interpolation)

? fdS ? ? ? fdS
S k Sk

2nd - order :

Se

? fdS ? f S
e

e

? f e Se

4th ? order : ?

Se

1 fdS ? ? f ne ? 4 f e ? f se ?S e 6

? 对于Simpson公式,对积分点的插值需要四阶精度
24

3.2.4 体积分的逼近
2nd - order : ? qd? ? qP ?? ?q P ??
?

q P 为CV几何中心的值。 q为常值分布或线性分布时,q P ??是精确的积分

? 当被积函数为某种型函数时,可以得到精确的 积分,逼近精度取决于型函数的精度。
25

3.2.4 体积分的逼近
四阶精度:2D

直角坐标网格

最后一式可以四阶精度逼近3D的面积分
26

3.2.5 插值和微分
? 积分点的函数值和其法向梯度 ? 1st UDS: 取上风点的值 ? ? ? ??v ? ndS ? ?ue?e Se
Se

27

插值
? 2nd order: 向积分点线性插值

? 等价于中心差分 (CDS)
28

插值
? 当积分点的函数是线性插值时

? Second order
29

插值
? QUICK (quadratic upwind interpolation for convective kinematics)

? 插值三阶精度,但积分(差分)往往只有二阶精度。
30

插值
? 高精度: ? N阶精度的quadrture需要N-1阶多项式插值公 式。 ? 界面上导数可以用插值公式的微分求出。

31

3.2.5有限体积法的边界条件
? 用边界条件替代面积分
– 入口:通常给定对流通量 (mass, momentum, energy, etc.) – 壁面和对称面:通量为零 – 边界上函数值给定:和内部CV的值共同构建边界 上的导数

32

FV例子

33

3.2.6 守恒律的有限体积方法 Godunov 格式

?u ? ? ? f (u ) ? 0 in ? ? [0,T] ?t 在[x i-1/2 , x i ?1/2 ] ? [t n , t n ?1 ] 积分 :
t n?1 x

tn

?

? ? u ( x , t ) dxdt ? ? ?x ?t x?1 x 1
i? 2 i? 2

i?

1 2

x

i?

1 2

t n?1

tn

? f (u ( x, t ))dtdx ? 0



? u ( x, t )dx ? ? f (u ( x, t ))dt ? 0
? ?

34

得 u
n ?1 i

? ?t ? ? ?u ? ?g 1 ? g 1 ? i? ? ?x ? i ? 2 2?
n i x
i? 1 2

其中 1 u ? u ( x, t n )dx ? ?x x 1
n i
i? 2

g

i?

1 2

1 ? ?t

t n?1

tn

? f (u ( x

i?

1 2

, t ))dt

u ( xi ?1/ 2 , t )的值是由Riemann 问题的精确解给出。
35

3.2.6.1 Godunov方法的思想
把已知的t n时刻的离散分布量{u in }, 看成是 小网格区间 x
i? 1 2

?x?x

i?

1 2

内的常数分布.

考虑初始间断为 ? uL ? un ,x ? x 1 i i? ? 2 u?? n ?u R ? u i ?1 , x ? xi ? 1 2 ? 的Riemann 问题, 并求出该Riemann 问题的精确解 u( x, t ) ? u RP (0; u L , u R ) 取?t , 使得每个小网格内来自相邻的局部Riemann 问题 的精确解 u RP,t n ? t ? t n ? ?t 都互不干扰,这样可将精确解在下一时刻的值 u( x, t n ?1 )在每个小网格区间x
i? 1 2

?x?x

i?

1 2

内进行平均,

得到的平均值u in ?1就构成下一轮循环所需的t n ?1时刻的 离散分布{u in ?1}.
36

一阶迎风格式(CIR格式)
?u ?u ?a ?0 ?t ?x

37

用Godunov思想 说明CIR格式=Godunov格式

38

?xuin?1 ? ?xuin ? a?t (uin?1 ? uin ), a ? 0
39

Riemann解图示

40

41

3.2.6.1 1D Euler方程组的Godunov格式
微分方程组 ?? ? ( ?u ) ? ?0 ?t ?x ? ( ?u ) ? ( ?u 2 ? p ) ? ?0 ?t ?x ? ( ?E ) ?u ( ?E ? p ) ? ?0 ?t ?x 积分方程组

? ?dx ? ?udt ? 0
? 2 ? udx ? ( ? u ? p )dt ? 0 ? ?

? ?Edx ? u ( ?E ? p)dt ? 0
?

Godunov格式是基于 积分形式的方程组, 间断关系自动满足, 不需要另外考虑间断 线上的间断关系
42

移动网格上的积分回路
t n ?1
x
n ?1 j ?1
?1 xn j

x

n ?1 j ?1

?1 xn j ?2

tn

xn j ?1

xn j

xn j ?1

xn j ?2

?
43

移动网格上的Godunov格式
n ?1 n ?1 n n n ? n?1 ( x ? x ) ? ? ( x ? x 1 j ?1 j 1 j ?1 j ) ? ?t ?? j ?1 (u j ?1 ? D j ?1 ) ? ? j (u j ? D j ) ? ? 0 j? 2 j? j? 2 j? j? n ?1 n ?1 n ?1 n n n n ? n?1 u ( x ? x ) ? ? u ( x ? x 1 1 j ?1 j 1 1 j ?1 j)? j?

?t ? ? j ?1u j ?1 (u j ?1 ? D j ?1 ) ? p j ?1 ? ? j u j (u j ? D j ) ? p j ? ? 0
n ?1 n ?1 n ?1 n n n n ? n?1 E ( x ? x ) ? ? E ( x ? x 1 1 j ?1 j 1 1 j ?1 j)? j?

? ?

2

2

2

??
2

2

?

?t ? ? j ?1E j ?1 (u j ?1 ? D j ?1 ) ? u j ?1 p j ?1 ? ? j E j (u j ? D j ) ? u j p j ? ? 0
n ?1 n ?1 在求出? n?1 , u , E 1 1 1 后,p由状态方程p ? p ( ? , e)求出。 j? 2 j? 2 j? 2
44

2

j?

2

j?

2

j?

??

?

固定网格上的Godunov格式
?1 n ?1 n D ? 0, x n ? xn j ?1 ? x j j ?1 ? x j n ? n ?1 ? ? 1 j? 2 j? 1 2

?t
j? j?

?

? j ?1u j ?1 ? ? j u j
?x
j? 1 2 j? 1 2

?0

n ?1 n n ? n ?1 1u 1 ? ? 1u 2 2 j? 2

?t
n ?1 n n ? n ?1 1E 1 ? ? 1E j? 2 j? 2 j? 2 j? 1 2

? ? ?

j ?1

u j ?1u j ?1 ? p j ?1 ? ? j u j u j ? p j ?x
j? 1 2

? ?

??0 ??0

?t

? ? ?

j ?1

E j ?1u j ?1 ? p j ?1u j ?1 ? ? j E j u j ? p j u j ?x
j? 1 2

? ?

(? j , u j , p j )为x j 处局部Riemann 问题的解在斜率w ? 0的射线上的物理量 (Riemann 问题的解在同一条射线上为同一个值)
45

Lagrange网格上的Godunov格式
n ?1 n u j ? Dn ? U , x ? x j j ? U?t j

相邻网格之间的质量输运量为零
n ?1 n ?1 n n n ? n ?1 ( x ? x ) ? ? ( x ? x 1 j ?1 j 1 j ?1 j ) ? ?m j? 2 j? n ?1 u 1 1 ? ?m 2 j? 2 j? j? 2 j? n u 1 1 ? ?t ? p j ?1 ? p j ? ? 0 2 j? 2 1 2

?m ?m

j?

n ?1 E 1 1 ? ?m 2 j? 2

j?

n E 1 1 ? ?t ? p j ?1u j ?1 ? p j u j ? ? 0 2 j? 2

46

Euler方程组的Riemann问题的解 理想气体的5种解
t

x

47

48

二维Euler方程组的Riemann问题

49

50

仅是局部化的1D RP

51


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