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2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义:第一章 1.1 正弦定理和余弦定理


正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理

预习课本 P2~3,思考并完成以下问题 (1)直角三角形中的边角之间有什么关系?

(2)正弦定理的内容是什么?利用它可以解哪两类三角形?

(3)解三角形的含义是什么?

[新知初探] 1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a b c = = . sin A sin B sin C

[点睛] 正弦定理的特点 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式. (3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边 角关系的互化. 2.解三角形 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素,已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( ) ) )

(2)在△ABC 中,等式 bsin A=asin B 总能成立(

(3)在△ABC 中,已知 a,b,A,则此三角形有唯一解( 解析:(1)正确.正弦定理适用于任意三角形. a b (2)正确.由正弦定理知 = ,即 bsin A=asin sin A sin B B.

(3)错误.在△ABC 中,已知 a,b,A,此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情 况,具体情况由 a,b,A 的值来定. 答案:(1)√ (2)√ (3)× )

sin A 2.在△ABC 中,下列式子与 a 的值相等的是( b A.c sin C C. c 解析:选 C 由正弦定理得, sin A sin C 所以 a = c . sin B B. sin A c D. sin C a c = , sin A sin C

3.在△ABC 中,已知 A=30°,B=60°,a=10,则 b 等于( A.5 2 10 3 C. 3 asin B 解析:选 B 由正弦定理得,b= = sin A B.10 3 D.5 6 10× 1 2 3 2

)

=10 3.

π 4.在△ABC 中,A= ,b=2,以下错误的是( 6 A.若 a=1,则 c 有一解 4 C.若 a= ,则 c 无解 5 解析:选 D

)

B.若 a= 3,则 c 有两解 D.若 a=3,则 c 有两解

π a=2 sin =1 时,c 有一解;当 a<1 时,c 无解;当 1<a<2 时,c 有两个 6

解;a>2 时,c 有一解.故选 D.

已知两角及一边解三角形

[典例] 在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,求 A,b,c. [解] A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°, b a asin B 8×sin 60° 由正弦定理 = ,得 b= = = 4 6, sin B sin A sin A sin 45° a c asin C 8×sin 75° = ,得 c= = = sin A sin C sin A sin 45° 8× 2+ 6 4 =4( 3+1). 2 2



已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角. (2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边. [注意] 若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值 (这时应注意角的拆并,即将非

特殊角转化为特殊角的和或差,如 75°=45°+30°),再根据上述思路求解.

[活学活用] 在△ABC 中,若 A=60°,B=45°,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 C. 3 B.2 3 D. 3 2 )

BC AC AC 3 2 3 2 2 解析:选 B 由正弦定理得, = ,即 = ,所以 AC= × = sin A sin B sin 60° sin 45° 2 3 2 2 3,故选 B.

已知两边及其中一边的对角解三角形

[典例] 在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°,求 A,C,c. 3 2 3 [解] 由正弦定理及已知条件,有 = ,得 sin A= . sin A sin 45° 2 ∵a>b,∴A>B=45°.∴A=60°或 120°. 当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c= 2sin 75° 6+ 2 bsin C = = ; sin B 2 sin 45° 2sin 15° 6- 2 bsin C = = . sin B 2 sin 45°

当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c= 综上可知:A=60°,C=75°,c=

6+ 2 6- 2 或 A=120°,C=15°,c= . 2 2

已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判 断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦 值可求两个角,要分类讨论.

[活学活用] 在△ABC 中,c= 6,C=60°,a=2,求 A,B,b. 解:∵ a c asin C 2 = ,∴sin A= = . c sin A sin C 2

∴A=45°或 A=135°. 又∵c>a,∴C>A.∴A=45°. ∴B=75°,b= 6· sin 75° csin B = = 3+1. sin C sin 60° 三角形形状的判断 π ? ?π ? [典例] 在△ABC 中,acos? ?2-A?=bcos?2 -B?,判断△ABC 的形状. 解:[法一 化角为边]

π π -A?=bcos? -B?, ∵acos? 2 ? ? ?2 ?

a b ∴asin A=bsin B.由正弦定理可得:a· =b· , 2R 2R ∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC 为等腰三角形. [法二 化边为角]

π ? ?π ? ∵acos? ?2-A?=bcos?2-B?, ∴asin A=bsin B. 由正弦定理可得:2Rsin2A=2Rsin2B,即 sin A=sin B, ∴A=B.(A+B=π 不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形.

利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径 (1)化角为边. 将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知 ..... 识(分解因式、配方等)得到边的关系,如 a=b,a2+b2=c2 等,进而确定三角形的形状.利 用的公式为:sin A= a b c ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R

(2)化边为角. 将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关 ..... 知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.利用的公式为:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.

[活学活用] 在△ABC 中,已知 acos A=bcos B,试判断△ABC 的形状. 解:由正弦定理, a b c = = =2R,所以 acos A=bcos B 可化为 sin A cos A= sin A sin B sin C

sin Bcos B,sin 2A=sin 2B,又△ABC 中,A,B,C∈(0,π),所以 2A=2B 或 2A+2B=π, π 即 A=B 或 A+B= ,所以△ABC 的形状为等腰或直角三角形. 2

层级一

学业水平达标 )

1.在△ABC 中,a=5,b=3,则 sin A∶sin B 的值是( 5 A. 3 3 C. 7 解析:选 A 根据正弦定理得 3 B. 5 5 D. 7 sin A a 5 = = . sin B b 3

2.在△ABC 中,a=bsin A,则△ABC 一定是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 解析:选 B 由题意有

)

B.直角三角形 D.等腰三角形 a b =b= ,则 sin B=1, sin A sin B

即角 B 为直角,故△ABC 是直角三角形. 3.在△ABC 中,若 A.30° C.60° sin A cos C = ,则 C 的值为( a c B.45° D.90° )

sin A sin C cos C 解析:选 B 由正弦定理得, a = c = c , 则 cos C=sin C,即 C=45°,故选 B. π π 4.△ABC 中,A= ,B= ,b= 2,则 a 等于( 6 4 A.1 C. 3 解析:选 A 由正弦定理得 a B.2 D.2 3 2 = , π π sin sin 6 4 )

∴a=1,故选 A. 5. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 且 a= 3bsin A, 则 sin B=( A. 3 C. 6 3 B. 3 3 6 3 )

D.-

解析:选 B 由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以 sin A= 3sin Bsin A,故 sin B= 3 . 3 6.下列条件判断三角形解的情况,正确的是______(填序号). ①a=8,b=16,A=30°,有两解; ②b=18,c=20,B=60°,有一解; ③a=15,b=2,A=90°,无解; ④a=40,b=30,A=120°,有一解. 解析:①中 a=bsin A,有一解;②中 csin B<b<c,有两解;③中 A=90°且 a>b,有 一解;④中 a>b 且 A=120°,有一解.综上,④正确. 答案:④

7.在△ABC 中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,则△ABC 的形状是________. a b 解析:由已知得 sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知 sin A= ,sin B= ,sin C 2R 2R c = , 2R a ?2 ? b ?2 ? c ?2 所以? ?2R? -?2R? =?2R? , 即 a2-b2=c2,故 b2+c2=a2.所以△ABC 是直角三角形. 答案:直角三角形 8.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则 解析:由正弦定理及已知得 答案:2 9.已知一个三角形的两个内角分别是 45°,60°,它们所夹边的长是 1,求最小边长. 解:设△ABC 中,A=45°,B=60°, 则 C=180°-(A+B)=75°. 因为 C>B>A,所以最小边为 a. 又因为 c=1,由正弦定理得, a= csin A 1×sin 45° = = 3-1, sin C sin 75° AC =________. cos A

AC AC 1 = ,∴ =2. sin A sin 2A cos A

所以最小边长为 3-1. 10.在△ABC 中,已知 a=2 2,A=30°,B=45°,解三角形. 解:∵ a b c = = , sin A sin B sin C 2 2× 1 2 2 2

asin B 2 2sin 45° ∴b= = = sin A sin 30°

=4.

∴C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°, ∴c= asin C 2 2sin 105° 2 2sin 75° = = sin A sin 30° 1 2

=4 2sin(30°+45°)=2+2 3. 层级二 应试能力达标

1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,如果 c= 3a,B=30°,那 么角 C 等于( A.120° ) B.105°

C.90°

D.75°

解析:选 A ∵c= 3a,∴sin C= 3sin A= 3sin(180°-30°-C)= 3sin(30°+C) = 3

? 3sin C+1cos C?,即 sin C=- 3cos C,∴tan C=- 3.又 0°<C<180°, 2 ?2 ?

∴C=120°.故选 A. 2.已知 a,b,c 分别是△ABC 的内角 A,B,C 的对边,若△ABC 的周长为 4( 2+1), 且 sin B+sin C= 2sin A,则 a=( A. 2 C.4 ) B.2 D.2 2

解析:选 C 根据正弦定理,sin B+sin C= 2sin A 可化为 b+c= 2a, ∵△ABC 的周长为 4( 2+1),

?a+b+c=4? 2+1?, ∴? 解得 a=4.故选 C. ?b+c= 2a,
a+b+c 3.在△ABC 中,A=60°,a= 13,则 等于( sin A+sin B+sin C 8 3 A. 3 26 3 C. 3 2 39 B. 3 D.2 3 a+b+c a =2R= sin A sin A+sin B+sin C )

解析: 选 B 由 a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C 得 13 2 39 = = . sin 60° 3

4. 在△ABC 中, 若 A<B<C, 且 A+C=2B, 最大边为最小边的 2 倍, 则三个角 A∶B∶ C=( ) B.2∶3∶4 D.4∶5∶6

A.1∶2∶3 C.3∶4∶5

π 解析:选 A 由 A<B<C,且 A+C=2B,A+B+C=π,可得 B= ,又最大边为最小 3 2π 3 ? 边的 2 倍, 所以 c=2a, 所以 sin C=2sin A, 即 sin? 又 0<A<π, ? 3 -A?=2sin A?tan A= 3 , π π 所以 A= ,从而 C= ,则三个角 A∶B∶C=1∶2∶3,故选 A. 6 2 5.在△ABC 中,A=60°,B=45°,a+b=12,则 a=________. a b a b 解析:因为 = ,所以 = , sin A sin B sin 60° sin 45°

所以

3 2 b= a,① 2 2

又因为 a+b=12,② 由①②可知 a=12(3- 6). 答案:12(3- 6) 6.在△ABC 中,若 A=120°,AB=5,BC=7,则 sin B=_______. AB BC 解析:由正弦定理,得 = ,即 sin C sin A AB· sin A sin C= BC = 5sin 120° 5 3 = . 7 14 11 . 14

可知 C 为锐角,∴cos C= 1-sin2C=

∴sin B=sin(180°-120°-C)=sin(60°-C) =sin 60°· cos C-cos 60°· sin C= 答案: 3 3 14 a c = . sin A 3cos C 3 3 . 14

7.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 (1)求角 C 的大小; (2)如果 CA · CB =4,求△ABC 的面积.

?sin A=sin C, 解:(1)由? a c = ?sin A 3cos C,

a

c

得 sin C= 3cos C,

π 故 tan C= 3,又 C∈(0,π),所以 C= . 3 1 (2)由 CA · CB =| CA || CB |cos C=2ba=4 得 ab=8, 1 1 3 所以 S△ABC= absin C= ×8× =2 3. 2 2 2

8.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 bcos C+ 3bsin C-a-c =0. (1)求 B; (2)若 b= 3,求 a+c 的取值范围.

解:(1)由正弦定理知:sin Bcos C+ 3sin Bsin C-sin A-sin C=0, ∵sin A=sin (B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C 代入上式得: 3sin Bsin C-cos Bsin C-sin C=0. ∵sin C>0,∴ 3sin B-cos B-1=0, π? 1 即 sin ? ?B-6?=2, π ∵B∈(0,π),∴B= . 3 (2)由(1)得:2R= π? =2 3sin? ?C+6?. 2π? ? π? ∵C∈? ?0, 3 ?,∴2 3sin?C+6?∈( 3,2 3], ∴a+c 的取值范围为( 3,2 3]. b =2,a+c=2R(sin A+sin C) sin B

1.1.2 余弦定理

预习课本 P5~6,思考并完成以下问题 (1)余弦定理的内容是什么?

(2)已知三角形的两边及其夹角如何解三角形?

(3)已知三角形的三边如何解三角形?

[新知初探] 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 余弦定理 公式表达 b2=a2+c2-2accos_B, c2=a2+b2-2abcos_C 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍

cos A= 推论 c os B=

b2+c2-a2 2bc

a2+c2-b2 , 2ac a2+b2-c2 2ab

cos C=

[点睛] 余弦定理的特点 (1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. (2)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它 含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适应于任何三角形( (2)在△ABC 中,若 a2>b2+c2,则△ABC 一定为钝角三角形( (3)在△ABC 中,已知两边和其夹角时,△ABC 不唯一( ) ) )

解析:(1)正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形. b2+c2-a2 (2)正确.当 a2>b2+c2 时,cos A= <0. 2bc 因为 0<A<π,故 A 一定为钝角,△ABC 为钝角三角形. (3)错误.当△ABC 已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一,因此△ ABC 唯一确定. 答案:(1)√ (2)√ (3)× )

2.在△ABC 中,已知 a=9,b=2 3,C=150°,则 c 等于( A. 39 C.10 2 解析:选 D 由余弦定理得: c= 92+?2 3?2-2×9×2 3×cos 150° = 147 =7 3. 3.在△ABC 中,已知 a2=b2+c2+bc,则角 A 等于( A.60° C.120° 解析:选 C 由 cos A= B.45° D.30° b2+c2-a2 1 =- ,∴A=120°. 2bc 2 ) B.8 3 D.7 3

4.在△ABC 中,已知 b2=ac 且 c=2a,则 cos B 等于( 1 A. 4 C. 2 4 3 B. 4 D. 2 3

)

解析:选 B 由 b2=ac 且 c=2a 得 cos B= a2+4a2-2a2 3 = = .故选 B. 2a· 2a 4

a2+c2-b2 2ac

已知两边与一角解三角形 π [典例] (1)在△ABC 中,已知 b=60 cm,c=60 3 cm,A= ,则 a=________cm; 6 (2)在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= [解析](1)由余弦定理得: a= 602+?60 3?2-2×60×60 3×cos π 6 9 ,则 BC=________. 10

= 4×602-3×602=60(cm). 9 (2)由余弦定理得:( 5)2=52+BC2-2×5×BC× , 10 所以 BC2-9BC+20=0,解得 BC=4 或 BC=5. [答案] (1)60 (2)4 或 5

已知三角形的两边及一角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边,其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求 出其余角;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解. 若用正弦定理求解, 需对角的取值进行取舍, 而用余弦定理就不存在这些问题(在(0, π) 上,余弦值所对角的值是唯一的),故用余弦定理求解较好.

[活学活用] 在△ABC 中,a=2 3,c= 6+ 2,B=45°,解这个三角形. 解:根据余弦定理得, b2=a2+c2-2accos B=(2 3)2+( 6+ 2)2-2×2 3×( 6+ 2)×cos 45°=8,

∴b=2 2. b2+c2-a2 8+? 6+ 2?2-?2 3?2 1 又∵cos A= = = , 2bc 2 2×2 2×? 6+ 2? ∴A=60°,C=180°-(A+B)=75°.

已知三角形的三边解三角形

[典例] 在△ABC 中,已知 a=2 3,b= 6,c=3+ 3,解此三角形. [解] 法一:由余弦定理的推论得 cos A= b2+c2-a2 ? 6?2+?3+ 3?2-?2 3?2 2 = = , 2bc 2 2× 6×?3+ 3?

∴A=45°.同理可求 B=30°,故 C=180°-A-B=180°-45°-30°=105°. 法二:由余弦定理的推论得 cos A= b2+c2-a2 ? 6?2+?3+ 3?2-?2 3?2 2 = = ,∴A=45°. 2bc 2 2× 6×?3+ 3?

a b 2 3 6 由正弦定理 = 知 = , sin A sin B sin 45° sin B 得 sin B= 6· sin 45° 1 = . 2 2 3

由 a>b 知 A>B,∴B=30°. 故 C=180°-A-B=180°-45°-30°=105°.

(1)已知三边求角的基本思路是:利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值,值为正, 角为锐角;值为负,角为钝角,其思路清晰,结果唯一. (2)若已知三角形的三边的关系或比例关系,常根据边的关系直接代入化简或利用比例 性质,转化为已知三边求解.

[活学活用] 已知 a,b,c 是△ABC 三边之长,若满足等式(a+b-c)· (a+b+c)=ab,则 C 的大小为 ( ) A.60° C.120° B.90° D.150°

解析:选 C ∵(a+b-c)(a+b+c)=ab, ∴c2=a2+b2+ab,

由余弦定理可得,cos C= =

a2+b2-c2 2ab

a2+b2-?a2+b2+ab? ab 1 =- =- , 2ab 2ab 2

∵0°<C<180°,∴C=120°,故选 C. 利用余弦定理判断三角形形状

[典例] 在△ABC 中,若 b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断△ABC 的形状. 解:[法一 化角为边]

将已知等式变形为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C. 由余弦定理并整理,得 a2+b2-c2?2 2?a2+c2-b2?2 b2+c2-b2? ? 2ab ? -c ? 2ac ? =2bc×
2

a2+c2-b2 a2+b2-c2 × , 2ac 2ab

[?a2+b2-c2?+?a2+c2-b2?]2 4a4 ∴b +c = = 2=a2. 4a2 4a
2

∴A=90°.∴△ABC 是直角三角形. [法二 化边为角]

由正弦定理,已知条件可化为 sin2Csin2B+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C. 又 sin Bsin C≠0, ∴sin Bsin C=cos Bcos C,即 cos(B+C)=0. 又∵0°<B+C<180°,∴B+C=90°,∴A=90°. ∴△ABC 是直角三角形.

利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 (1)化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再变形条件判断. (2)化角的关系:将条件转化为角与角之间关系,通过三角变换得出关系进行判断.

[活学活用] 在△ABC 中,acos A+bcos B=ccos C,试判断△ABC 的形状. b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2 解:由余弦定理知 cos A= ,cos B= ,cos C= ,代入已 2bc 2ca 2ab

知条件得 b2+c2-a2 c2+a2-b2 c2-a2-b2 a· +b· +c· =0, 2bc 2ca 2ab 通分得 a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0, 展开整理得(a2-b2)2=c4.∴a2-b2=± c2,即 a2=b2+c2 或 b2=a2+c2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形. 正、余弦定理的综合应用

题点一:利用正、余弦定理解三角形 1.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1)求角 B 的大小;(2)若 A=75°,b=2,求 a,c. 解:(1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B. 故 cos B= 2 ,因此 B=45°. 2

(2)sin A=sin (30°+45°) =sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°= sin A 故由正弦定理得 a=b· =1+ 3. sin B 由已知得,C=180°-45°-75°=60°, sin 60° sin C c=b· =2× = 6. sin B sin 45° 题点二:利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 2.在△ABC 中,求证 a2sin 2B+b2sin 2A=2absin C. 证明:法一:(化为角的关系式) a2sin 2B+b2sin 2A=(2R· sin A)2· 2sin B· cos B+(2R· sin B)2· 2sin A· cos A=8R2sin A· sin B(sin A· cos B+cos Asin B)=8R2sin Asin Bsin C=2· 2Rsin A· 2Rsin B· sin C=2absin C. ∴原式得证. 法二:(化为边的关系式)
2 2 2 2 2 2 2b a +c -b 2a b +c -a ab 2 左边=a2· 2sin Bcos B+b2· 2sin Acos A=a2· · +b2· · = (a + 2R 2ac 2R 2bc 2Rc

2+ 6 . 4

c2-b2+b2+c2-a2)= ∴原式得证.

ab c · 2c2=2ab· =2absin C=右边, 2Rc 2R

题点三:正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用 3.已知△ABC 的周长为 4( 2+1),角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且有 sin B +sin C= 2sin A. (1)求边长 a 的值; (2)若△ABC 的面积为 S=3sin A,求 AB ·AC 的值. 解:(1)由正弦定理,得 b+c= 2a.① 又 a+b+c=4( 2+1),② 联立①②,解得 a=4. (2)∵S△ABC=3sin A, 1 ∴ bcsin A=3sin A,即 bc=6. 2 又∵b+c= 2a=4 2, ∴由余弦定理得 cos A= b2+c2-a2 ?b+c?2-2bc-a2 1 = = . 2bc 2bc 3

∴ AB ·AC =bccos A=2.

正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具,这类题目往往结合基本的三角恒等 变换,同时注意三角形中的一些重要性质,如内角和为 180° 、大边对大角等.

层级一

学业水平达标 )

1.在△ABC 中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角 A 等于( A.30° C.120° B.60° D.150°

解析:选 B ∵(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc, ∴b2+c2-a2=bc, ∴cos A= b2+c2-a2 1 = ,∴A=60°. 2bc 2 13 ,则最大角的余弦值是( 14 1 D.- 8 )

2.在△ABC 中,若 a=8,b=7,cos C= A.- 1 5 B.- 1 6 C.- 1 7

解析:选 C 由余弦定理,得

13 c2=a2+b2-2abcos C=82+72-2×8×7× =9, 14 所以 c=3,故 a 最大, 所以最大角的余弦值为 cos A= b2+c2-a2 72+32-82 1 = =- . 2bc 7 2×7×3 )

c2-a2-b2 3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 >0,则△ABC( 2ab A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 c2-a2-b2 解析:选 C 由 >0 得-cos C>0, 2ab 所以 cos C<0,从而 C 为钝角,因此△ABC 一定是钝角三角形.

4.若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60°,则 ab 的值为( 4 A. 3 C.1 ) B.8-4 3 2 D. 3

解析:选 A 由(a+b)2-c2=4,得 a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得 a2+b2-c2= 4 2abcos C=2abcos 60°=ab,则 ab+2ab=4,∴ab= . 3 5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B= 3ac,则 角 B 的值为( π A. 6 π C. 3 ) π 2π B. 或 3 3 π 5π D. 或 6 6

解析:选 B 因为(a2+c2-b2)tan B= 3ac, 所以 2accos Btan B= 3ac,即 sin B= π 2π 所以 B= 或 B= ,故选 B. 3 3 6.已知 a,b,c 为△ABC 的三边,B=120°,则 a2+c2+ac-b2=________. 解析:∵b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120° =a2+c2+ac, ∴a2+c2+ac-b2=0. 答案:0 3 , 2

7.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C= 解析:∵c2=a2+b2-2abcos C, ∴( 3)2=a2+12-2a×1×cos 2π , 3

2π ,则 a=________. 3

∴a2+a-2=0,即(a+2)(a-1)=0, ∴a=1,或 a=-2(舍去).∴a=1. 答案:1 1 8.在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4 解析:因为 b+c=7,所以 c=7-b. 由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B, 1 - ?, 即 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×? ? 4? 解得 b=4. 答案:4 9.在△ABC 中,A+C=2B,a+c=8,ac=15,求 b. 解:在△ABC 中,∵A+C=2B,A+B+C=180°, ∴B=60°. 由余弦定理, 得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B 1 =82-2×15-2×15× =19. 2 ∴b= 19. 10.在△ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,求最大角和 sin C. 解:∵a>c>b,∴A 为最大角. 由余弦定理的推论,得 cos A= b2+c2-a2 32+52-72 1 = =- . 2bc 2 2×3×5

又∵0°<A<180°, ∴A=120°, ∴sin A=sin 120°= 3 . 2 5× 7 3 2 5 3 . 14

csin A 由正弦定理,得 sin C= a = ∴最大角 A 为 120°,sin C=



5 3 . 14

层级二 1.在△ABC 中,有下列关系式:

应试能力达标

①asin B=bsin A; ②a=bcos C+ccos B; ③a2+b2-c2=2abcos C; ④b=csin A+asin C. 一定成立的有( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个

解析:选 C 对于①③,由正弦、余弦定理,知一定成立.对于②,由正弦定理及 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B,知显然成立.对于④,利用正弦定理,变形得 sin B =sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C,又 sin B=sin(A+C)=cos Csin A+cos Asin C,与上 式不一定相等,所以④不一定成立.故选 C. 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 C=120°,c= 2a,则 a, b 的大小关系为( A.a>b C.a=b ) B.a<b D.不能确定

解析:选 A 在△ABC 中,c2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab.∵c= 2a,∴2a2 =a2+b2+ab,∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b. B a+c 3.在△ABC 中,cos2 = ,则△ABC 是( 2 2c A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 cos B+1 a+c B a+c 解析:选 B ∵cos2 = ,∴ = , 2 2c 2 2c a2+c2-b2 a a ∴cos B= ,∴ = ,∴a2+c2-b2=2a2, c c 2ac 即 a2+b2=c2,∴△ABC 为直角三角形. asin ?30° -C? 4. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.若 b2+c2+bc-a2=0, 则 b-c =( ) 1 A. 2 C.- 1 2 B. 3 2 3 2 )

D.-

b2+c2-a2 1 解析:选 A 由余弦定理得 cos A= ,又 b2+c2+bc-a2=0,则 cos A=- , 2bc 2

又 0°<A<180°,则 A=120°,有 B=60°-C,所以 3 3 cos C- sin C 4 4 1 = .故选 A. 2 3 3 cos C- sin C 2 2

asin ?30° -C? sin Asin?30° -C? = = b-c sin?60° -C?-sin C

5.在△ABC 中,AB=2,AC= 6,BC=1+ 3,AD 为边 BC 上的高,则 AD 的长是 ________. 解析:∵cos C= BC2+AC2-AB2 2 2 = ,∴sin C= , 2BC· AC 2 2

∴AD=ACsin C= 3. 答案: 3 sin B 6.在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 的值为________. sin C 解析:由余弦定理可得 49=AC2+25-2×5×AC×cos 120°,整理得: AC2+5· AC-24=0, 解得 AC=3 或 AC=-8(舍去), sin B AC 3 再由正弦定理可得 = = . sin C AB 5 答案: 3 5 cos A-2cos C 2c-a = . b cos B

7.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求 sin C 的值; sin A

1 (2)若 cos B= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 a b c 解:(1)由正弦定理可设 = = =k, sin A sin B sin C 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 b = = , ksin B sin B 所以 cos A-2cos C 2sin C-sin A = , cos B sin B

即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A, 因此 sin C =2. sin A sin C =2,得 c=2a. sin A

(2)由

1 由余弦定理及 cos B= , 4 1 得 b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2× =4a2, 4 所以 b=2a. 又 a+b+c=5,所以 a=1,因此 b=2.

8.如图,D 是直角三角形△ABC 斜边 BC 上一点,AC= 3DC. (1)若∠DAC=30°,求 B; (2)若 BD=2DC,且 AD=2 2,求 DC. 解:(1)在△ADC 中,根据正弦定理, 有 AC DC = , sin∠ADC sin∠DAC 3 , 2

∵AC= 3DC,所以 sin∠ADC= 3sin∠DAC= 又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°>60°, ∴∠ADC=120°,

∴∠C=180°-120°-30°=30°,∴∠B=60°. (2)设 DC=x,则 BD=2x,BC=3x,AC= 3x, ∴sin B= AC 3 6 = ,cos B= ,AB= 6x, BC 3 3

在△ABD 中,AD2=AB2+BD2-2AB· BD· cos B, 即(2 2)2=6x2+4x2-2× 6x×2x× 得 x=2.故 DC=2. 6 =2x2, 3


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