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陕西省西安市第一中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


西安市第一中学 2014-2015 学年度第二学期期末考试 高一数学试题
一、选择题 (每小题 3 分,共 36 分,只有一个选项符合题意) 1.若向量 a=(1,2),b=(-3,1),则 2a-b=( A.(5,3) B.(5,1) C.(-1,3) )

D.(-5,-3) )

2. 已知向量 a=(2,1), b=(-1, k), a· (2a-b)=0, 则 k=( A.-12 B.-6 C.6 D.12

3.已知平面向量 a=(1,-3),b=(4,-2),λ a+b 与 a 垂直, 则λ 是( ) B.1 C.-2 D.2

A.-1

4.若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等 于( ) π A.- 4 π B. 6 π C. 4 3 D. π 4 )

5.sin45°cos15°+cos225°sin15°的值为( A.- 3 2 B. 3 2 1 C.- 2 ) 1 D . 2

6.y=(sinx-cosx)2-1 是(

A.最小正周期为 2π 的偶函数 奇函数 C.最小正周期为π 的偶函数 函数

B.最小正周期为 2π 的

D.最小正周期为π 的奇

2sinα cosα 7.若 tanα =3,则 2 的值为( sin α +2cos2α 6 A. 11 3 B. 11 11 C. 3

) 11 D. 6

8.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B=( 2 2 A.- 3 2 2 B. 3 C.- 6 3 D. 6 3

)

9.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为 的长为( A. ) 3 2 B. 3 C.2 3 )

3 ,则 BC 2

D.2

π 3 10.已知 sin( +x)= ,则 sin 2x 的值为( 4 5 24 A.- 25 24 B. 25 7 C.- 25

7 D. 25

11.若α ,β 为钝角,且 sinα = β 的值为 ) 5 B. π 4

5 3 10 ,cosβ =- ,则α + 5 10

3 A. π 4 7 π 4

7 C. π 4

5 D. π 或 4

12.在下列函数中,最小值是 2 的函数是( 1 A. y=x+

)

x

1 π B. y=cosx+ (0<x< ) cos x 2 4 D.y=ex+ x-2 e

x2+3 C.y= 2 x +2
二、填空题( 每小题4分,共16分)

13. 已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3),若 a -2b 与 c 共线,则 k=________.

14.函数 y=

3 sin 2x+cos2x 的最小正周期为________. 2

15. 设 0<x<2,则函数 y= x(4 ? 2x) 的最大值为________. π π 16.关于函数 f(x)=cos(2x- )+cos(2x+ ),有下列说法: 3 6 ①f(x)的最大值为 2; ②y=f(x)是以π 为最小正周期的周期函数; π 13 ③y=f(x)在区间[ , π ]上单调递减; 24 24 π ④将函数 y= 2cos2x 的图像向左平移 个单位后,将与已知函 24 数的图像重合. 其中正确说法的序号是________. 三、解答题(共 48 分) 17. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.
? π? 18.(12 分)已知函数 f(x)=4cosxsin?x+ ?-1, 6? ?

(1)求 f(x)的最小正周期;
? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. 4? ? 6

19.(12 分)已知函数

f(x)= 3sin?ω x+ π ?-cos?ω x+ π ?(ω >0)的最小正周期为
? ?

?

2 ? 3 ?

?

2 ? 3 ?

π,

(1)求ω 的值; (2)将 y=f(x)的图像向右平移 像,求 g(x)的单调递减区间. 20.(12 分)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的 矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过点 π 个单位后,得到 y=g(x)的图 6

C,已知 AB=3 米,AD=2 米.

(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米, 则 DN 的长应在什么范 围内? (2)当 DN 的长度为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出 最小值.

高一数学答案
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 题号 1 答案 A 2 D 3 A 4 C 5 D 6 D 7 A 8 D 9 B 10 C 11 C 12 D

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 15. 1 2 14. 16. π ①②③

三、解答题(共 48 分) 17. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.角

A,B,C 成等差数列.
(1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值. 解 分) 1 所以 cos B= .(6 分) 2 1 (2)法一:由已知 b2=ac,及 cos B= , 2 根据正弦定理得 sin2B=sin Asin C,(9 分) (1)由已知 2B=A+C,A+B+C=180°,解得 B=60°,(4

3 所以 sin Asin C=1-cos 2B= .(12 分) 4
? π? 18. (12 分)已知函数 f(x)=4cosxsin?x+ ?-1, 6? ?

(1)求 f(x)的最小正周期;
? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. 4? ? 6 ? 3 ? ? π? 1 ? ? ? x + 解: (1)∵f(x)=4cosxsin -1=4cosx? sinx+ cosx? ?- 6? 2 ? ? 2 ?

1
? π? = 3sin2x+cos2x=2sin?2x+ ?, 6? ?

2π ∴T= =π ,即函数 f(x)的最小正周期为π . 2 π π π π 2 (2)∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ π , 6 4 6 6 3 π π π ∴当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)max=2; 6 2 6 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)min=-1. 6 6 6
? ? 2 ? 2 ? 19.(12 分)已知函数 f(x)= 3sin?ω x+ π ?-cos?ω x+ π ? 3 ? 3 ? ? ?

(ω >0)的最小正周期为π , (1)求ω 的值; (2)将 y=f(x)的图像向右平移 像,求 g(x)的单调递减区间.
? ? 2 ? 2 ? 解:(1)∵f(x)= 3sin?ω x+ π ?-cos?ω x+ π ? 3 ? 3 ? ? ?

π 个单位后,得到 y=g(x)的图 6

=2? ?

? 3

? 2 ? 1 ? 2 sin?ω x+ π ?- cos?ω x+ π 3 ? 2 ? 3 ? ? 2

?? ?? ?? ?

? 2 π? =2sin?ω x+ π - ?=2cosω x. 3 6? ?

2π 由周期 T= =π ,得ω =2. ω (2)由(1)知 f(x)=2cos2x,
? ? ? π? π? π? 故 g(x)=f?x- ?=2cos2?x- ?=2cos?2x- ?. 6? 6? 3? ? ? ?

π 由 2kπ ≤2x- ≤2kπ +π (k∈Z), 3 π 2 得 kπ + ≤x≤kπ + π (k∈Z), 6 3
? π 2 ? ∴函数 g(x)的单调减区间为?kπ + ,kπ + π ? 6 3 ? ?

20.(12 分)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的 矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过点

C,已知 AB=3 米,AD=2 米.

(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米, 则 DN 的长应在什么范 围内? (2)当 DN 的长度为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出 最小值. [解] (1)设 DN 的长为 x(x>0)米,则|AN|=(x+2)米. ∵ |DN| |DC| 3?x+2? = ,∴|AM|= ,∴S |AN| |AM| x
矩形 AMPN

=|AN|·|AM|=

3?x+2?2 .

x

3?x+2?2 由 S 矩形 AMPN>32 得 >32.又 x>0 得 3x2-20x+12>0,解得

x

2 0<x< 或 x>6, 3 2 即 DN 长的取值范围是(0, )∪(6,+∞).(单位:米) 3 3?x+2?2 3x2+12x+12 12 (2)矩形花坛的面积为 y= = =3x+ +

x

x

x

12(x>0)≥2

12 3x· +12=24

x

12 当且仅当 3x= 即 x=2 时,矩形花坛的面积最小为 24 平方米

x


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