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2011-2012学年高一上学期期末考试数学试卷


北京师大附中 2012-2013 学年高一上学期期末考试数学试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. 如果角 θ 的终边经过点 (?

3 1 , ) ,则 cos θ ? ( 2 2



A.

1 2

B. ?

3 2

C.

3

D. ?

3 3
) D. 第四象限

2. 若 ?

π ? α ? 0 ,则点 (tanα, cosα) 位于( 2
B. 第二象限
? ? ?

A. 第一象限
?

C. 第三象限 )

3. sin 15 cos75 ? cos15 sin 105 等于( A. 0 B.

1 2

C.

3 2

D. 1 )

4. 若向量 a=(2,1) ,b=(4,x+1) ,a∥b,则 x 的值为( A. 1 B. 7 C. -10 D. -9

5. 把函数 y ? cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变) ,然后把图象向左平移

π 个单位,则所得图象对应的函数解析式为( 4
A. y ? cos( C. y ? cos(



1 π x? ) 2 4 1 π x? ) 2 8

B. y ? cos( 2 x ? D. y ? cos( 2 x ?

π ) 4 π ) 2


6. 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2) ,B(?1,?2) ,C (3,1) , 且 BC ? 2 AD , 则顶点 D 的坐标为 ( A. (2, )

7 2

B. ( 2,? )

1 2

C. (3,2)

D. (1,3) )

7. 函数 y ? x ? sin | x | , x ? [?π , π ] 的大致图象是(

8. 如图,在△ABC 中,设 AB ? a , AC ? b ,AP 的中点为 Q,BQ 的中点为 R,CR 的中点为 P,若

AP ? ma ? nb ,则 m ? n ? (
A.

) D. 1

1 2

B.

2 3

C.

6 7

-1-

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 9. 求值 sin( ?

23 13 13 π ) ? cos π tan 4π ? cos π ? 6 7 3

。 。 。 。

10. 已知向量 a= (cosθ , sin θ ) ,向量 b= ( 3,1) ,且 a⊥b,则 tan θ 的值是 11. 函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是 12. 已知 sin α ? ,最大值是

3 π 1 ( ? α ? π ) , tan( π ? β ) ? ,则 tan( α ? 2 β ) 的值等于 5 2 2 π π ) 的图象关于点 (? ,0) 对称; 3 6

13. 给出下列命题: (1)函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ? (2)函数 g ( x) ? ?3 sin( 2 x ? (3)函数 h( x) ? sin(

π π 5π ) 在区间 ( ? , ) 内是增函数; 3 12 12

2 7π x ? ) 是偶函数; 3 2 π 。其中正确的命题的序号是 3


(4)存在实数 x ,使 sin x ? cos x ? 三、解答题:本大题共 3 小题,共 35 分

14. 已知 | a | =1, | b | =2, a 与 b 的夹角为 60°。 (1)求: a ? b , (a ? b ) · (a ? b ) ; (2)求: | a ? b | 。

15. 已知函数 f ( x) ? A sin(ωx ? φ) ( A ? 0, ω ? 0,? 数 f ( x) 的表达式; (2)若 f ( A) ? f ( A ?

π π ? φ ? ) 一个周期的图象如图所示。 (1)求函 2 2

π 24 )? ,且 A 为△ABC 的一个内角,求: sin A ? cos A 的值。 3 25

16. 已知 0 ? α ? π ,0 ? β ? 求: y ?

π 2π ,且 α ? β ? 。 4 3

1 ? cos 2α π ? cos2 ( ? β ) 的最大值,并求出相应的 α 、 β 的值。 α α 4 cot ? tan 2 2
-2-

第Ⅱ卷(综合卷) 四、填空题:本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分。 17. 函数 f ( x) ? (sin x ? 1) 0 的定义域是

π ? 3π 15π ?cos x(? ? x ? 0) )的 18. 设 f ( x) 是定义域为 R,最小正周期为 的函数,若 f ( x) ? ? ,则 f (? 2 2 4 ? ?sin x(0 ? x ? π )
值等于 19. 已知 0 ? b ? 1 , 0 ? α ? 小关系(由小到大排列)是

π log sin α log cos α log cos α , x ? (sin α) b , y ? (cosα) b , z ? (sin α) b 则三数的大 4

五、解答题:本大题共 3 小题,共 38 分。 20. 已知 f ( x) ? sin x ? sin x cos x, x ? [0, ]
2

π 2

(1)求 f ( x) 的值域; (2)若 f (α ) ?

5 ,求 sin 2α 的值。 6

2 21. 设函数 f ( x) ? ax ? 2x ? 2 ,对于满足 1 ? x ? 4 的一切 x 值都有 f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围。

22. 函数 f ( x) 的定义域关于原点对称, 但不包括数 0, 对定义域中的任意实数 x , 在定义域中存在 x1 , x 2 使

x ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且满足以下 3 个条件。
(1) x1 , x 2 是 f ( x) 定义域中的数, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ? (2) f (a) ? 1, ( a 是一个正的常数) (3)当 0 ? x ? 2a 时, f ( x) ? 0 。 证明: (1) f ( x) 是奇函数; (2) f ( x) 是周期函数,并求出其周期; (3) f ( x) 在 (0,4a) 内为减函数。

f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 f ( x2 ) ? f ( x1 )

-3-

【试题答案】
一、选择题 1-5 BBDAD 6-8 ACC 二、填空题 9. 0 10. ? 3 11.

π 1 , 2 2

12.

7 24

13. (1) (3 ) (4)

三、解答题 14. 1,?3, 3 15. 解: (1)从图知,函数的最大值为 1, 则A ?1 又x ? ? 函数 f ( x) 的周期为 T ? 4 ? (

π π 2π ? ) ? π ,而 T ? ,则 ω ? 2 , 12 6 ω

π π π π π 时, y ? 0,? sin( 2 ? (? ) ? φ) ? 0 ,而 ? ? φ ? ,则 φ ? , 6 6 2 2 3 π ) 3

∴函数 f ( x) 的表达式为 f ( x ) ? sin( 2 x ? (2)由 f ( A) ? f ( A ? 化简得: sin 2 A ?
2

π 24 π π 24 )? 得: sin( 2 A ? ) ? sin( 2 A ? ) ? 3 25 3 3 25

24 , 25 49 25
由于 0 ? A ? π ,则 0 ? 2 A ? 2π ,但 sin 2 A ? 因此 sin A ? cos A ?

∴ (sin A ? cos A) ? 1 ? sin 2 A ?

24 ? 0 ,则 25

0 ? 2 A ? π ,即 A 为锐角,从而 sin A ? cos A ? 0

7 。 5

1 ? cos 2α ? 16. 解: y ? α α cos sin 2? 2 α α sin cos 2 2

π 1 ? cos( ? 2 β ) 2 ? 2

2 cos2 α 1 ? sin 2 β ? α α 2 cos2 ? sin 2 2 2 α α sin cos 2 2

?
=

sin α cos2 α 1 ? sin 2 β sin 2α sin 2 β 1 ? ? ? ? cosα 2 2 2 2

sin[( α ? β ) ? (α ? β )] sin[( α ? β ) ? (α ? β )] 1 ? ? 2 2 2 1 2

= cos( α ? β ) sin( α ? β ) ? ∵α ? β ?

2π 2π 1 ? β , cos( α ? β ) ? ? , ,∴ α ? 3 3 2

-4-

1 2π 1 π π 2π 2π y ? ? sin( ? 2 β ) ? ;∵ 0 ? β ? ,∴ ? ? 2β ? , 2 3 2 4 6 3 3 1 2π 2π 1 1 1 1 3 ? sin( ? 2 β ) ? 1 ;当 sin( ? 2 β ) ? 时, y 取最大值 ? ? ? ? ? , 2 3 3 2 2 2 2 4

π ? 2π ? 2β ? ? 5π π 5π π 3 ?3 6 这时 ? ,得 α ? , β ? ;即当 α ? , β ? 时, y max ? 。 12 4 12 4 4 ?α ? β ? 2π ? 3 ?
四、填空题: 17. {x | x ? 2kπ ?

π , k ? Z} ; 2

18.

2 ; 2

19. x ? z ? y

五、解答题:

1 ? cos2 x sin 2 x 20. 解: (1) f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? ? ? 2 2
∵ x ? [0, ] 当 2x ?

π 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 2

π 2

∴ 2x ?

π π 3π ? [? , ] 4 4 4

π π π π 2 ?1 ? ? ,即 x ? 0 时, f ( x) 有最小值 0。当 2 x ? ? 时 f ( x) 有最大值 。 f ( x) 值 4 4 4 2 2

域: [0,

2 ?1 ] 2

π 2 sin(2α ? ) ? 1 π 2 5 4 (2) f (a) ? ? ,得 sin(2α ? ) ? 4 3 2 6
∵ α ? [0, ], 2α ?

π 2

π π 3π ? [? , ] 4 4 4

又 0 ? sin(2α ?

π 2 2 )? ? 4 3 2

∴ 2α ?

π π π 2 7 ? (0, ) ,得 cos(2α ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? 4 4 4 3 3

sin 2α ? sin(2α ?
21. a ?

π π 2 π π 2 ? 14 ? )? [sin(2α ? ) ? cos(2α ? )] ? 4 4 2 4 4 6

1 2

22. 证: (1)对定义域中的 x ,由题设知在定义域中存在 x1 , x 2 使 x ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

-5-

则 f ( x) ? f ( x1 ? x2 ) ? ∴ f ( x) 为奇函数

f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ? ? f ( x2 ? x1 ) ? ? f (? x) f ( x2 ) ? f ( x1 )

(2)因 f (a) ? 1,∴ f (?a) ? ? f (a) ? ?1 ,于是

f (?2a) ? f (?a ? a) ?

f (?a ) f (a) ? 1 ?0 f (a) ? f (?a) f ( x) f (?2a) ? 1 1 ?? f (?2a) ? f ( x) f ( x)

若 f ( x) ? 0 ,则 f ( x ? 2a) ? f [ x ? (?2a)] ?

f ( x ? 4a) ? f [(x ? 2a) ? 2a] ? ?
若 f ( x) ? 0 ,则

1 ? f ( x) f ( x ? 2a )

f ( x ? a) ? f [ x ? (?a)] ?

f ( x) f ( ?a ) ? 1 ? ?1 f ( ?a ) ? f ( x) 1 ?1 ? f ( x ? a) f ( x ? 3a) f (?a) ? 1 ?0 f (?a) ? f ( x ? 3a)

f ( x ? 3a) ? f [(x ? a) ? 2a] ?

f ( x ? 4a) ? f [(x ? 3a) ? (?a)] ?
仍有 f ( x ? 4a) ? f ( x) 。

∴ f ( x) 为周期函数, 4 a 是它的一个周期。 (3)先证在 (0,2a) 内 f ( x) 为减函数,事实上,设 0 ? x1 ? x2 ? 2a , 则 0 ? x2 ? x1 ? 2a ,则 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 (当 x2 ? 2a 时, f ( x2 ) ? ? f (?2a) ? 0 ) 。

f ( x2 ) f ( x1 ) ? 1 ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 f ( x1 ) ? f ( x2 )
所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 当 2a ? x1 ? x2 ? 4a 时,

0 ? x1 ? 2a ? x2 ? 2a ? 2a, f ( x1 ? 2a) ? f ( x2 ? 2a) ? 0 ,于是
f ( x) ? f [(x ? 2a) ? 2a] ? ? 1 f ( x ? 2a )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

1 1 ? ?0 f ( x1 ? 2a) f ( x2 ? 2a)

即在 (2a,4a) 内, f ( x) 也是减函数,从而命题得证。

-6-


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