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21[1].3.2实际问题与一元二次方程(增长率下降率问题)


课前热身1:八中小明学习非常认真,学习成绩直线上升 第一次月考数学成绩是a分,第二次月考增长了10%, 第三次月考又增长了10%,问他第三次数学成绩是多少?
分析: 第一次

a

aX10% 第二次 a(1+10%)X10% 第三次

a+aX10%= a(1+10%)

a(1+10%)+ a(1+10%) X10% = a(1+10%)2

课前热身2:已知小明第一次月考成绩为65分,第三次 的月考成绩为90分。若小明第二次月考和第三次月考增 长的百分率均为x.你能列出方程吗?

第一次

第二次

第三次

65

65(1+x)

65(1+x) 2

65(1+x) 2 =90

类似地 这种增长率的问题在 实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或 降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是 b, 则它们的数量关系可表示为

a(1 ? x) ? b
n
其中增长取“+”,降低取“-”

试一试
1.某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到35吨. 设这两年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x,根据题意, 列出方程为 __________________ . 2.某电视机厂1999年生产一种彩色电视机,每台成本 3000元,由于该厂不断进行技术革新,连续两年降低成本, 至2001年这种彩电每台成本仅为1920元,设平均每年降 低成本的百分数为x,可列方程_____________. 3.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季 度总产值175亿元,设二月、三月平均每月增长的百分率 为x,根据题意得方程为( )

两年前生产1 吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙 种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生 产1 吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的 成本是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大?

分析(1) 甲种药品成本的年平均下降额为:
(5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为:

(6000-3600)÷2=1200(元) 乙种药品成本的年平均下降额较大,但是年平均下降额 (元)不等于年平均下降率(百分数)

两年前生产1 吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙 种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生 产1 吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的 成本是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大?

分析: (2)你是如何理解下降额与下降率的?
①成本的年平均下降额为=(前一年成本— 本年成本 ) ÷2
②成本的年下降率=(前一年成本—

本年成本)÷前一年成本;

(3)在该题中,若设甲种药品成本的年平均下降率为x, 5000(1-x ) 那么一年后甲种药品成本为____ __ 元,两年后甲种药 2 5000(1-x) 成本为____ __ 元,于是有等量关系: 5000(1-x)2_ =3000。 ___________

两年前生产1 吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙 种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生 产1 吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的 成本是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大?

分析: (4)算一算乙种药品的年平均下降率是多少?
若设乙种药品成本的年平均下降率为y, 那么一年后乙种药品成本为____ __ 元,两年后乙种药 6000(1-y ) 6000(1-y) 成本为____ __2 元,于是有等量关系: 6000(1-y)2_ =3600。 ___________

两年前生产1 吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙 种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生 产1 吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的 成本是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大?

分析: (5)比较两种药品的年平均下降率,你能得出什么结论?
经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较 大,应比较降前及降后的价格成本.下降额表示绝对变化量,成 本下降率表示相对变化量,两者兼顾才能全面比较对象的变化 状况。 a:增长前 x:增长(降低)的百分率 复利公式 a(1±x)n=b n:期数 b:增长后

第二课时:面积问题

要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周 的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽, 左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两 边之比也为9:7 解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm, 7xcm 3 9x ? 7x ? ? 27 ? 21 依题意得 4 27
解得

探究3:

3 3 x2 ? ? ( 舍去) 2 故上下边衬的宽度为: (27 ? 9 ? 2.6) ? 0.5 ? 1.8 左右边衬的宽度为: (21? 7 ? 2.6) ? 0.5 ? 1.4

3 3 x1 ? 2

要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是 一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边 衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、 右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也 为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为 9:7
解法二:设上下边衬的宽为9xcm,左右边衬宽为7xcm依题意得

3 (27 ? 18 x)( 21 ? 14 x) ? ? 27 ? 21 4 6?3 3 解方程得 x? 4
故上下边衬的宽度为: 1.8 CM 左右边衬的宽度为:1.4 CM

27

例1、如图甲,有一张长40cm,宽25cm的长方形硬纸片, 裁去角上四个小正方形之后,折成如图乙所示的无盖纸 盒。若纸盒的底面积是450cm2,那么纸盒的高是多少?
40cm 25cm

解:设高为xcm,可列方程为 (40-2x)(25 -2x)=450





解得x1=5, x2=27.5
经检验:x=27.5不符合实际,舍去。

答:纸盒的高为5cm。

在长方形钢片上冲去一个长方形,制成一个四 周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm,宽 2 为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ,求这个 长方形框的边宽。 分析: 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25x+100=0

变式

X X 30cm

得 x1=20, x2=5
当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10 答:这个长方形框的边宽为5cm

试一试
取一张长与宽之比为5:2的长方形纸板,剪去四个边 长为5cm的小正方形,并用它做一个无盖的长方体形状 的包装盒。要使包装盒的容积为200cm3(纸板的厚度略

去不计),问这张长方形纸板的长与宽分别为多少cm?

设长为5x,宽为2x,得:

5cm

5(5x-10)(2x-10)=200

例2、某中学为美化校园,准备在长32m,宽20m的长方

形场地上,修筑若干条笔直等宽道路,余下部分作草坪, 求出设计方案中道路的宽分别为多少米?
1、若设计方案图纸为如图,草坪总面积540m2

下面请同学们共同参与图纸设计,要求草坪面积为 540m2,

长方形面积=长×宽
解:设道路宽为
20

(32 ? 2 х) m,宽为 (20 ? 2 х) m,由
题意得:

х m,则草坪的长为

32

(32 ? 2 х)(20 ? 2 х) ? 540
解得 (不合题意舍去) х1 ? 1 х2 ? 25

答:道路宽为1米。

2、设计方案图纸为如图,草坪总面积540m2 分析:利用“图形经过平移”,它的面积大小不会

改变的道理,把纵横两条路平移一下
解:设道路的宽为

x米,根据题意得,
(32 ? x) (20 ? x)

(32 ? x)(20 ? x) ? 540
化简,得
解得
1

x ? 52 x ? 100 ? 0
2
2

2 0 3 2

x =2, x =50(不合题意舍去)

答:道路宽为2米。

3、设计方案图纸为如图,草坪总面积 540m2
20

32

解:设道路宽为

х

m,则草坪的长为

(32 ? 2 х) m,宽为 (20 ? х)m,由题意得:

(32 ? 2 х)(20 ? х) ? 540

探究4
一辆汽车以 20m s 的速度行驶,司机发现前方有 情况,紧急刹车后又滑行了25m 后停车。 (1)从刹车到停车用了多次时间? (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少? (3)刹车后汽车滑行到15米时约用了多少时间? (精确到0.1S) 分析:汽车滑行到停止的过程可视为匀减速直 线运动,受摩擦力的影响

探究5

如图4所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC =8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动, 点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. (1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积 为8平方厘米? (2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得 △PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运 动的时间;若不存在,说明理由.
B

Q A C P 图4 www.czsx.com.cn

解 因为∠C=90°,所以AB===10(cm). (1)设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以 AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm. 1 根据题意,(6-x)· 2x=8.整理,得x2-6x+8=0, 2 解这个方程,得x1=2,x2=4.所以P、Q同时出 发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
(2)设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于 △ABC面积的一半.

探究6:读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时
的年龄). 大江东去浪淘尽,千古风流数人物; 而立之年督东吴,早逝英年两位数; 十位恰小个位三,个位平方与寿符; 哪位学子算得快,多少年华属周瑜?

解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数 字为x-3. 则根据题意,得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0, 解这个方程,得x=5或x=6. 当x=5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题 意,舍去; 当x=6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意. 答 周瑜去世的年龄为36岁.

探究7
一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距 墙角6m. (1)若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑 动多少米? (2)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端 滑动多少米? (3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑 动的距离,那么滑动的距离是多少米?
解 依题意,梯子的顶端距墙角=8(m).

(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底 端滑动xm. 则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2=102,整理,得 x2+12x-15=0, 解这个方程,得x1≈1.14,x2≈-13.14(舍去), 所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m. (2)当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向 下滑动xm. 则根据勾股定理,列方程(8-x)2+(6+1)2=100.整理, 得x2-16x+13=0. 解这个方程,得x1≈0.86,x2≈15.14(舍去). 所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约 0.86m.

(3)设梯子顶端向下滑动xm时,底端向外也滑动 xm. 则根据勾股定理,列方程 (8-x)2+(6+x)2=102, 整理,得2x2-4x=0, 解这个方程,得x1=0(舍去),x2=2. 所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m. 说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动, 梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.

如图,已知A、B、C、D为矩 A 形的四个顶点,AB=16㎝,AD=6㎝,动 P 点P、Q分别从点A、C同时出发,点P 以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点 B为止,点Q以2㎝/s的速度向点D移动. B 问:P、Q两点从出发开始几秒时,四边形 PBCQ的面积是33c㎡



D

Q C

A P 问(1)P、Q两点从出发开始几秒时, 四边形PBCQ的面积是33c㎡ B

D

Q C

分析:四边形PBCQ的形状是梯形,上下底,高 各是多少?

? .如图,ΔABC中,∠B=90? ,点P从点A开始
沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点 B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动. ? (1)如果点P、Q分别从点A、B同时出发, 经过几秒钟,ΔPBQ的面积等于8cm2?

C

Q A B

P

? (2)如果点P、Q分别从点A、B同时出发, 并且点P到点B后又继续在BC边上前进,点 Q到点C后又继续在CA边上前进,经过几 秒钟,ΔPCQ的面积等于12.6cm2?
C

Q A B

P

? 2.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm, BC=6cm.点P沿AB边从点A开始向点B以 2cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始 向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时 出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6). 那么当t为何值时,ΔQAP的面积等于8cm2?
D Q A P B C


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