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安庆一中2013届四模数学试题(理科)

安徽师大附中、安庆一中 2013 届高三联考 数 学 试 题(理工类)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 1.复数 A. 0

2 ? ai ( a ? R ) 是纯虚数,则 a ? 1? i B. 1 C. 2

( D. 3 (

)

2. 若双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的一个焦点为(2,0),则它的离心率为 2 a
B.

)

A.

2 5 5

2 3 3

C.

3 2

D. 2 ( B. ?x ? R,2 ? x
x 2

3. 下列命题中,是真命题的是 A. ?x0 ? R, e
x0

)

?0
a ? ?1 b

C. a ? b ? 0 的充要条件是 4. 已知△ ABC 中, a ? A. 135 或 45
0 0

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件 ( D. 45
0

2 , b ? 3, B ? 600 ,则角 A 等于
0 0

)

B. 150 或 30

C. 90

0

5. 若 f ( x) ? 2 cos(?x ? ? ) ? m ,对任意实数 t 都有 f (t ?

?

) ? f ( ?t ), f ( ) ? ?1 ,则实数 m 4 8

?

的值为 ( ) A. ? 1 B. ? 3 C. ? 3 或 1 D. ? 1 或 3 6. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该几 何体的外接球的表面积是 ( ) A. 12 3? B. 12? C. 4 3? D.

3?

(第 6 题图) (第题 7 图)

第 1 页 共 4 页

7. 如 图 , 函数 y ? f (x) 的 图 像 是中 心 在 原 点 ,焦 点 在 x 轴 上的 椭 圆 的 两段 弧 , 则不 等式

f ( x) ? f (? x) ? x 的解集为
A. (? 2 ,0) ? ( 2 ,2] C. [ ?2,? B. [?2,? 2 ) ? ( 2 ,2] D. (? 2 ,0) ? (0, 2 )

(

)

2 2 )?( ,2] 2 2

8. 已知集合 M ? ? ,2,3? N ? ? ,2,3,4?.定义函数 f : M ? N ,若点 A(1, f (1)), B(2, f (2)) , 1 , 1

C (3, f (3)) ,△ ABC 的外接圆圆心为 D ,且 DA ? DC ? ? DB(? ? R) ,则满足条件的函数 f (x ) 的个数有
A. 6 个 B. 10 个 C. 12 个 D.16 个 ( ) ( )

9. 设两圆 C1 ,C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离 C1C2 ? A. 4 B. 4 2 C. 8 D. 8 2

10. 设函数 y ? f (x) 在 R 上有定义.对于给定的正数 K ,定义函数 f K ( x ) ? ? 取函数 f ( x) ? 2 ? x ? x 2 .若对于任意的 x ? R 恒有 f K ( x ) ? f ( x ) ,则 ( A. K 的最小值为 C. K 的最小值为 2

? f ( x ), f ( x) ? K , ? K , f ( x) ? K
)

9 4

B. K 的最大值为

9 4

D. K 的最大值为 2

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 设函数 f ( x) ? ax ? 1 ,若
2

? f ( x)dx ? 2 ,
0

1

则a ? . 12. 如图所示的程序框图,输出 b 的结果是

.
(第 12 题图)

13.设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 8, a5 ? 10, 则 S6 的最小值为 .

14.如图,半径为 1 的⊙ O 上有一定点 P 和两个动点 A, B ,且 AB ? 1 , 则 PA? PB 的最大值是 .
(第 14 题图)

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15.设 M ( x1, y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 为不同的两点,直线 l : ax ? by ? c ? 0 , ? ? 命题中正确的序号为 . ①不论 ? 为何值,点 N 都不在直线 l 上; ②若 ? ? 1 ,则过 M , N 的直线与直线 l 平行;

ax1 ? by1 ? c ,以下 ax2 ? by2 ? c

③若 ? ? ?1 ,则直线 l 经过 MN 的中点; ④若 ? ? 1 ,则点 M 、 N 在直线 l 的同侧且直线 l 与线段 MN 相交; ⑤若 ? ? ?1 ,则点 M 、 N 在直线 l 的异侧且直线 l 与线段 MN 的延长线相交. 三、解答题(共 75 分) 16.(12 分) 若函数 f ( x) ? sin 2 ax ? sin ax cosax(a ? 0) 的图像与直线 y ? m( m 为实常数)相 切,并且从左到右切点的横坐标依次成公差为 (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)若点 A( x0 , y0 ) 是 y ? f (x) 的图像的对称中心,且 x 0 ? [0,

? 的等差数列. 2

?
2

] ,求点 A 的坐标.

17. (12 分)某地发生特大地震和海啸,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后,决 定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为 m 的药剂后,经过 x 天该药剂在水中释

?x ?4 ? 2 ? 放的浓度 y (毫克/升) 满足 y ? mf ?x ? ,其中 f ? x ? ? ? ? 6 ?x ? 2 ?

?0 ? x ? 4? ?x ? 4?
,当药剂在水中释放

的浓度不低于 4 (毫克/升)时称为有效净化; 当药剂在水中释放的浓度不低于 4 (毫克/升) 且 不高于 10(毫克/升)时称为最佳净化. (Ⅰ)如果投放的药剂质量为 m ? 4 ,试问自来水达到有效净化一共可持续几天? (Ⅱ)如果投放的药剂质量为 m ,为了使在 7 天之内(从投放药剂算起包括 7 天)的自来 水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量 m 的值. 18. (12 分)如图,已知多面体 ABCDEF 中, AB ⊥平面 ACDF , DE ⊥平面 ACDF , △ ACD 是正三角形,且 AD ? DE ? 2, AB ? AF ? 1, DF ? 3 . (Ⅰ)求证: DF ? 平面 CDE ; (Ⅱ)求多面体 ABCDEF 的体积.

(第 18 题图)

第 3 页 共 4 页

19. (12)已知函数 f ( x) ? ln(e x ? a)(a 为常数, e ? 2.71828 ? ? ? )是 R 上的奇函数. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个. f ( x)

20.(13 分 ) 点 A, B, C , D 在 抛 物 线 x 2 ? 4 y 上 , A, D 关 于 抛 物 线 对 称 轴 对 称 . 过 点 D 到

AB, AC 距离分别为 d1 , d 2 ,且 d1 ? d 2 ? 2 AD . (Ⅰ)试判断△ ABC 的形状(锐角三角形,直角三角形,钝角三角形),并说明理由; (Ⅱ)若△ ABC 的面积为 240,求点 A 的坐标和 BC 的方程.

21. (14 分)对于数列 { xn } ,如果存在一个正整数 m ,使得对任意的 n ( n ? N )都有 xn ? m ? xn 成立,那么就把这样一类数列 { xn } 称作周期为 m 的周期数列, m 的最小值称作数列 { xn } 的最 小正周期,以下简称周期.例如当 xn ? 2 时 { xn } 是周期为 1 的周期数列,当 yn ? sin(

?

?
2

n) 时

{ yn } 是周期为 4 的周期数列.
(Ⅰ)设数列 { an } 满足 an ? 2 ? an ?1 ? an ( n ? N ), a1 ? a, a2 ? b ( a, b 不同时为 0),求证: 数列 { an } 是周期为 6 的周期数列,并求数列 { an } 的前 2013 项的和 S2013 ; (Ⅱ)设数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ,且 4Sn ? (an ? 1)2 . ①若 an ? 0 ,试判断数列 { an } 是否为周期数列,并说明理由; ②若 an an ?1 ? 0 ,试判断数列 { an } 是否为周期数列,并说明理由; (Ⅲ)设数列 { an } 满足 an ? 2 ? an ?1 ? an ? 1 ( n ? N ), a1 ? 2 , a2 ? 3 ,数列 { an } 的前 n 项和为
?
?

Sn ,试问是否存在 p, q ,使对任意的 n ? N ? 都有 p ? (?1) n
取值范围;不存在,说明理由.

Sn ? q 成立,若存在,求出 p, q 的 n

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