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北师大版高中数学必修4三角恒等变形单元检测

高一年级数学必修四三角恒等变换质量检测试题
1.

7 7 2? ? sin 的值为( 16 8 12



A.

7 16

B.

7 32

C.

7 3 32

D.

7 3 16


2.若 sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? m ,且 ? 为第三象限角,则 cos ? 的值为(

A. 1 ? m2

B. ? 1 ? m2

C. m2 ?1

D. ? m2 ?1
) D.正三角形

3.在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,则△ABC 一定是 ( A.直角三角形 B.等腰三角形 ) D. 2 )

C.等腰直角三角形

2cos10°-sin20° 4. 的值是 ( sin70° 1 A. 2 B. 3 2 C. 3

π 4 5.已知 x∈(- ,0),cosx= ,则 tan2x 等于 ( 2 5 7 A. 24 7 24 B.- C. 24 7 24 D.- 7

6.若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

2 ,则 sin A ? cos A ? ( 3
D. ?

)

A.

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

5 3
)

4m-6 7.等式 sinα + 3cosα = 有意义,则 m 的取值范围是 ( 4-m 7 A.(-1, ) 3 7 B.[-1, ] 3 7 C.[-1, ] 3 7 D.[― ,―1] 3

A+B 8.在△ABC 中,已知 tan =sinC,则以下四个命题中正确的是 ( 2
2 2

)
2 2 2

(1)tanA· cotB=1. (2)1<sinA+sinB≤ 2. (3)sin A+cos B=1. (4)cos A+cos B=sin C. A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ )

1 9.已知α ∈(0,π ),且 sinα +cosα = ,则 tanα 的值为 ( 5 4 A.- 3 4 3 B.- 或- 3 4 3 C.- 4 4 3 D. 或- 3 4 )

10.函数 y ? 2 sin x(sin x ? cos x) 的最大值为( A. 1 ? 2 B. 2 ? 1 C. 2 D.2

11.将函数 y ?

3 1 sin 2 x ? sin 2 x ? 的图象进行下列哪一种变换就变为一个奇函数的图象 2 2

A.向左平移

?
12

个单位

B.向左平移

C.向右平移

?

个单位

12

? 个单位 6 ? D.向右平移 个单位 6


12.

3sin x ? cos x ? 2a ? 3 中,a 的取值范围是(
1 5 A. ? a ? 2 2 B.a ? 1 2 C.a ? 5 2

D. ?

5 1 ?a?? 2 2

13.已知 sin x ? cos x ? m, 求 sin x cos x 14.函数 f ( x) ? sin(

──────

2 ? 2 x ? ) ? sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是 3 2 3


π 15.若 x= 是方程 2cos(x+α )=1 的解,α ∈(0,2π ),则α = 3 16.给出下面的 3 个命题: (1)函数 y ?| sin(2 x ?

? ; (2)函数 3 2 5? 3? 5? 3? ) 的图 (3)x ? 是函数 y ? sin( 2 x ? ) 上单调递增; y ? sin(x ? ) 在区间 [? , 2 2 2 4
) | 的最小正周期是
. ,△ABC 的面积为 2 ,AC=2,AB=3,则 tanA= 2

?

象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 17.在△ABC 中,sinA+cosA= 18.已知 cos α ?

12 , 求 sin α 和 tan α 13

β 1 α 2 π π 19.设 cos(α - )=- ,sin( -β )= ,且 <α <π ,0<β < ,求 cos(α +β ) . 2 9 2 3 2 2 π π 2 2 20.已知 6sin α +sinα cosα -2cos α =0,α ∈[ ,π ],求 sin(2α + )的值. 2 3 21.在矩形 ABCD 中,AB=a,BC=2a,在 BC 上取一点 P,使得 AB+BP=PD,求 tan∠APD 的值. 22.已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x
2

(1)求

f ( ) 值的;求 f ( x) 的最大值和最小值。 3

?

三角恒等变换测试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1 C 2 B 3 B 4 C 5 D 6 A 7 C 8 B 9 A 10 A 11 A 12 A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
13.

1 ? m2 2

4π 14. 3

15. [

?
3

,

5? ] 6

16.[解析]①②.③中 x ?

5 5 ? 是 y ? sin(2 x ? ? ) 的对称中心. 4 2
2 1 , ∴cos(A-45°)= . 2 2

17.[解析]sinA+cosA= 2cos(A-45°)=

∵0°<A<180°,∴A-45°=60°,A=105°, ∴tanA=tan(60°+45°)=―2― 3, sinA=sin(60°+45°)= 1 1 6+ 2 3 ∴S△ABC= AC·AB.s5inA= ×2×3× = ( 6+ 2). 2 2 4 4 三.解答题本题共小题(,每小题 12 分,满分 60 分,解答应写出文字说明,证明 6+ 2 , 4

过程或演算步骤)
18.[解析]因为 cos α ?

12 >0,且 cosα ≠1,所以α 是第一或第四象限的角. 13

当 α 是第一象限的角时, sin α >0.

5 ? 12 ? sin α ? sin 1 ? cos α ? 1 ? ? ? ? , ? 13 ? 13 sin α 5 13 5 tan α ? ? ? ? . cos α 13 12 12
2

2

当 α 是第四象限角时, sin α ? 0.

sin ?? α tan α ?

? 1

c 2oαs ? ?

5 13

,

sin α 5 ?? . cos α 12

(参考评分说明:写对角所在象限得 2 分,分两中情况每种得 6 分.)
α +β β α π π π β 19.[解析]: ∵ =(α ― )―( -β ). ∵α ∈( ,π )β ∈(0, ). ∴ <α - < 2 2 2 2 2 4 2

π α π β 1 β 4 5 α π ,- < -β < .∴由 cos(α - )=- 得 sin(α - )= ,由 sin( -β )= 4 2 2 2 9 2 9 2 2 α 5 α +β β α 7 5 .得 cos( -β )= .∴cos =cos[(α ― )―( ―β )]=?= .∴cos(α 3 2 3 2 2 2 27 7 5 2 239 +β )=2×( ) -1=- . 27 729

(参考评分说明:把角分解得 2 分,求出角的范围的 2 分,求出三角函数值的 6 分,求出数值的 2 分)
π 2 2 20.[解析]:依题知α ≠ ,cosα ≠0.方程可化为 6tan α +tanα -2=0. ? tanα =- 2 3 1 π π π 3 2 2 或 (舍). ∴sin(2α + )=sin2α cos +cos2α · sin =sinα cosα + (cos α -sin 2 3 3 3 2 α ) sinα cosα 3 cos α -sin α tanα 3 1-tan α 6 5 3 = 2 + · = + × =- + . 2 2 2 2 2 sin α +cos α 2 cos α +sin α 1+tan α 2 1+tan α 13 26
2 2 2

(参考评分说明:求出正切值得 5 分,两角和公式求值共 7 分,可按步骤给分)
2a 2 2 21.[解析]:如图作 PE⊥AD 于 E.设 BP=X. 则 x+a= (2a-x) +a ,∴x= , 3 A 2 4 + 3 3 2a 4 ∴AE=BP= ,DE=PC= a,∴tan∠APD=tan(∠1+∠2)= =18. 3 3 2 4 1- × 3 3 B

E

D

12

(参考评分说明:作出辅助线的 1 分,设出未知角得 1 分,列方程得 3 分,求出未知角得 2 分, 求出正切值得 5 分.)
22.[解析](1) f ( ) ? 2 cos

P

C

?

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4 cos ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 3 3 4 4

(2)

f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1 ? cos2 x) ? 4cos x

2 7 ? 3(cos x ? )2 ? , x ? R, 3 3

? 3 c o2sx ?

4 cx ? os

1
2 时, f ? x ? 取最小值 3

因为 cos x ? [?1,1], 所以当 cos x ? ?1 时, f ? x ? 取最大值 6;当 cos x ?

?

7 3

(参考评分说明:第一问 5 分; 第二问 7 分解析式 5 分,,最值 2 分.)

知识点与分值统计表

知识要点 章节 知识点 求值 同角 三角 函数 角符号

题 号
13 18 15 18 2

题目类别与分值 基础 5 12 5 12 5 5 5 5 5 5 12 5 5 12 5 5 5 5 5 5 5 中 等 较 高 分 值 5 12 5 12 5 5 5 5 5 5 12 5 5 12 5 5 5 5 5 5 5 P.115B1 改编 P112 例 2 自拟 P112 例 2 P133 复习题三 A4 原题 P126 习题 A 组 5 改编 P134 习题 B 组 6 题改编 P134 复习题三 B3 改编 P134 复习题三 B3 原题 P123 例 5 自编 自拟 5.P122 例题改编 自拟 2010 年高考 15 题 P133 复习题三 A4 改编 P1273-3B1 改编 P133 复习题三 A5 改编 P134 复习题三 A 11 改编 自拟 自拟 自拟 P121 页习题 3-2 B3改 任意角三角函数值 象限确定角的符号 三角函数的计算能力 同角的三角函数. 两角和正弦同角正余弦 两角和正弦公式三角形 两角差余弦、角转化技巧 两角和差公式。 两角和的正余弦公式字和 母的取值范围的综合。 正切二倍角三角形。 两角和正切公式 两角和正切正余弦互化。 两角和差正余弦正切公式 三角恒等变换等知识 二倍角公式知识。 二倍角公式和同角的三角 函数基本公式的综合计算 正弦、正切二倍角公式 二倍角公式三角函数求值 二倍角奇偶性平移变换等 三角恒等变形图象综合。 三角函数的图象性质 正余弦的互化,角的转化 技巧、两角差的正弦公式 二倍角。 ,三角恒等变换函数与二 次函数的综合应用。 题目 相关说明

两角和 与差的 正(余 两角 和与 差的 三角 函数 两角和 差正切 弦)

3 4 7 12 8 21 5

综合

17 22

二倍 角的 三角 函数

二倍角 二倍角 同角三 角函数

1 6 9 10 11 14

综合 应用

16

19

12

12



20

12

12

自拟

合计

80

46

24

一、命题意图 恒等变形能力是数学学习和应用中的一项重要的基本功。基本的三角恒等变形公式是 实践中经常使用的工具。在力学、物理、电气工程、机械制造、图象处理以及其他科学研究

和工程实践中经常会用到这些公式。 基本三角恒等变形公式及简单应用, 提高了学生理解和 运用三角恒等变形公式的能力, 培养学生数形结合的思想能力。 本章内容一直是高考的热点、 重点,新课改下仍立于不败之地。 本套试题紧扣教学大纲,依据往届高考要求,注重基础知识、基本技能考察,体现了新 课程标准数学的基本理念,考察了学生的运用能力和基础知识的掌握情况,难度适中,对新 课程标准要求下的三角恒等变形知识的有很好的检测作用。 二、试卷结构特点 本章试题是对高一数学必修 4 第三章“三角恒等变换”的单元检测,满分 150 分, 时间 90 分钟,分为Ⅰ卷和Ⅱ卷,共有试题 22 道,其中 12 道选择题,共 60 分;5 道填空题, 共 30 分;5 道解答题,共 60 分。难度为中等水平,既有基础题,也有拔高题。用基础题考 察学生对基本知识技能的掌握情况, 也同时用拔高题来提高学生的灵活应用能力, 为培养学 生的数学意识和数学知识的实践与应用能力打基础。

三、典型试题例说
以 18 题为例:18.已知 cos α ?

12 , 求 sin α 和 tan α 13

[分析]本题易错,学生看到题目只考虑角在第一象限的情况,或忽视了第四象限这一种情况 造成结果不全。 [解析]因为 cos α ?

12 >0,且 cosα ≠1,所以α 是第一或第四象限的角. 13

当 α 是第一象限的角时, sin α >0.

5 ? 12 ? sin α ? sin 1 ? cos α ? 1 ? ? ? ? , ? 13 ? 13 sin α 5 13 5 tan α ? ? ? ? . cos α 13 12 12
2

2

当 α 是第四象限角时, sin α ? 0.

sin ?? α tan α ?

? 1

c 2oαs ? ?

5 13

,

sin α 5 ?? . cos α 12

(参考评分说明:写对角所在象限得 2 分,分两中情况每种得 6 分.)

β 1 α 2 π π 以 19 题为例: 设 cos(α - )=- , 19. sin( -β )= , 且 <α <π , 0<β < , 2 9 2 3 2 2 求 cos(α +β ) . [分析]讲求做题技巧和方法,培养学生的创新意识是新课标理念,对本题学生易受惯性思维 的影响,拿到题容易直接展开做,结果南辕北辙。 α +β β α π π π β 19.[解析]: ∵ =(α ― )―( -β ). ∵α ∈( ,π )β ∈(0, ). ∴ <α - < 2 2 2 2 2 4 2 π α π β 1 β 4 5 α π ,- < -β < .∴由 cos(α - )=- 得 sin(α - )= ,由 sin( -β )= 4 2 2 2 9 2 9 2 2 α 5 α +β β α 7 5 .得 cos( -β )= .∴cos =cos[(α ― )―( ―β )]=?= .∴cos(α 3 2 3 2 2 2 27 7 5 2 239 +β )=2×( ) -1=- . 27 729

(参考评分说明:把角分解得 2 分,求出角的范围的 2 分,求出三角函数值的 6 分,求出数值的 2 分)


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