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7893w73.com:2016_2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程本章高效整合课件北师大版选修2_1_图文

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第三 章

圆锥曲线与方程

知能整合提升

本章要解决的主要问题是:在采用坐标法探究圆锥曲 线几何特征的基础上,建立它们的方程,掌握圆锥曲 线的定义和基本性质,并用坐标法解决一些与圆锥曲 线有关的简单几何问题和实际问题,感受它们在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用.结合已学过的曲 线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进 一步体会数形结合的基本思想. 解决上述问题的关键是:要掌握圆锥曲线的定义、标 准方程、几何图形及简单性质;以及坐标法的灵活运 用.特别要注意以下几点:

1.对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线 定义解题的意识,“回归定义”是一种重要的解题 策略.如:(1)在求轨迹时,若所求轨迹符合某种 圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程,写出所 求的轨迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两 个焦点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角 形的知识来解决;(3)在求有关拋物线的最值问题 时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距 离,结合几何图形利用几何意义去解决.

2.直线与圆锥曲线的位置关系:(1)有关直线与圆 锥曲线的公共点的个数问题,应注意数形结合;(2) 有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的 关系;(3)有关垂直问题,要注意运用斜率关系及根 与系数的关系,设而不求,简化运算. 3.在求曲线方程时,有些轨迹问题中,含有隐含 条件,也就是曲线上点的坐标的取值范围,要认真 审题,充分挖掘隐含条件.

4.求椭圆、双曲线、拋物线的标准方程主要是求 a、 b、c或p,基本方法是利用其定义或利用待定系数法 来求. 5.五点重视:(1)重视定义在解题中的作用;(2)重视 平面几何知识在解题中的简化功能;(3)重视根与系 数的关系在解题中“设而不求”的意义;(4)重视曲 线的几何特征与方程的代数特征的统一;(5)重视设 点法、参数及参数方程在解题中的作用.

热点考点例析

圆锥曲线定义的应用 圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的 “源”,对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲 线定义解题的意识.利用圆锥曲线定义解题,可避免 复杂的运算,提高解题效率,达到事半功倍的效果.

(1)在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线 的定义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹 方程; (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角 形问题时,常用定义结合三角形的知识来解决; (3)在求有关拋物线的最值问题时,常利用定义把到 焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形, 利用几何意义去解决,而有关椭圆、双曲线的距离 的最值问题,则常用定义把曲线上的点到焦点的距 离转化为到另一焦点的距离.

已知三点A(-7,0),B(7,0),C(2,-12).若椭圆过 A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点F的轨迹 方程; [思路导引] 题目中的条件涉及到椭圆上的两点和 一个焦点坐标,求另一个焦点的轨迹,考虑用椭圆 的定义求解.

[ 规范解答 ]

依题意得 |AC| = 15 , |BC| = 13 , |AB|

=14,由椭圆定义知, |AF|+|AC|=|BF|+|BC|. 即|BF|-|AF|=|AC|-|BC|=2, 故点 F 的轨迹为以 A(-7,0),B(7,0)为焦点,实轴 长为 2 的双曲线的右支,又 c=7,a=1,则 b2=c2 y -a =48, 故求另一焦点 F 的轨迹方程为 x - = 48
2 2 2

1(x≥1).

1. 已知双曲线的焦点在 x 轴上, 离心率为 2, F1、 F2 为左、右焦点.P 为双曲线上一点,且∠F1PF2 =60° ,S△PF1F2=12 3,求双曲线的标准方程.

解析:

如图,设双曲线方程为

x2 y2 2- 2=1(a>0,b>0). a b c ∵e= =2, a ∴c=2a. 由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=c, 在△PF1F2 中,

由余弦定理, 得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|· cos 60° =(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|· (1-cos 60° ), 即 4c2=c2+|PF1||PF2|. 又 S△PF1F2=12 3 1 所以 |PF1|· |PF2|sin 60° =12 3, 2 得|PF1||PF2|=48, 由以上几式得 c2=16,c=4, 则 a=2,b2=c2-a2=12. x2 y2 故所求双曲线方程为 - =1. 4 12

圆锥曲线的方程及性质的应用 圆锥曲线的方程和性质的应用主要体现在已知方 程求几何性质,已知圆锥曲线的性质求圆锥曲线 的方程,重在考查基础知识,基本思想方法,属 容易题,其中对离心率的考查是重点.

x y 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F a b 作双曲线的渐近线的垂线 l,若直线 l 与双曲线的 左、右两支相交于 A,B 两点,求双曲线的离心率 e 的取值范围.
[思路导引] 利用l与双曲线的两支分别相交,建 立关于a、b、c的不等式,结合c2=a2+b2转化为 离心率e的不等式求解.

2

2

[规范解答]

b 设右焦点 F(c,0), 不妨取渐近线 y=ax,

a 则直线 l 的方程为 y=-b(x-c).
? ?y=-a?x-c? ? b 由? 2 2 y ?x 2- 2=1 ? b ?a
4 4 2 4 2 2 2

,得(b -a )x +2a cx-a (a c +

b4)=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2).∵A,B 两点分别在双曲 线的左、右两支上,b4-a4≠0, -a2?a2c2+b4? 2 2 ∴ x 1· x2<0,即 <0,化简得 b >a , b4-a4 c 即 c -a >a ,故离心率 e=a> 2.
2 2 2

→ → 2. (1)已知 F1、 F2 是椭圆的两个焦点, 满足MF1· MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部, 则椭圆离心率的取值范 围是________. x2 y2 (2)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别 a b 是 F1、F2, 过 F1 作倾斜角为 30° 的直线交双曲线右 支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心 率为________.

解析: +y2=c2.

→ → (1)∵MF1· MF2=0,

∴点 M 的轨迹是以 F1F2 为直径的圆,其方程为 x2 由题意知椭圆上的点在该圆的外部, 设椭圆上任意一点 P(x,y),到|OP|min=b, c 2 ∴c<b,即 c <a -c .解得 e=a< . 2
2 2 2

2 ∵0<e<1,∴0<e< . 2

(2)如图, 在 Rt△MF1F2 中, ∠MF1F2 =30° ,F1F2=2c, 2c 4 ∴ |MF1| = = 3 c , |MF2| = cos 30° 3 2 2c· tan 30° = 3c. 3 4 2 2 ∴2a=|MF1|-|MF2|= 3c- 3c= 3c. 3 3 3 c ∴e=a= 3.

答案:

2 (1)0<e< (2) 3 2

直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系, 主要涉及判定直线与 圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题,它是 圆锥曲线的定义, 性质与直线的基础知识的综合应 用,涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学 思想方法.直线与圆锥曲线的位置关系主要有:

(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题,应注 意数形结合; (2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系 数的关系; (3)有关垂直问题,要注意运用斜率关系及根与系 数的关系,设而不求,简化运算.

已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m, 直线 与椭圆有公共点时: (1)求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

[思路导引] (2)

(1) 联立方程组 ?

消y得关于x的一元二次方程 ? Δ≥0 ? m范围 设直线与椭圆相交时交点为M?x1,y1?,N?x2,y2? x1+x2及x1· x2的值 |MN|= 1+k2|x1-x2|= 2· ?x1+x2?2-4x1x2 求出结果 ?

[规范解答]

?4x2+y2=1 联立方程组? 消去 y, 整理 ?y=x+m

得 5x2+2mx+m2-1=0, Δ=4m2-20(m2-1)=20-16m2 5 5 (1)由 Δ≥0 得 20-16m ≥0,解得- ≤m≤ . 2 2
2

(2)设直线与椭圆交点为 M(x1,y1),N(x2,y2).
? ?x +x =-2m 2 5 ? 1 由根与系数的关系得? 2 m -1 ? x1x2= ? 5 ?



所以弦长为:|MN|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] =
2 2 ? ? 4 ? m - 1 ? 2 4 m ? ? 2? - ?= 5 5 ? 25 ?

10-8m2,

2 10 当 m=0 时,弦长取得最大值 ,此时直线的方 5 程为 y=x.

3. 椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、 B 两点,C 是 AB 的中点,若|AB|=2 2,OC 所在 2 直线的斜率为 ,求椭圆的方程. 2

解析:

?ax2+by2=1, 联立方程组? ?x+y-1=0.

消去 y,得(a+b)x2-2bx+b-1=0. 因为由题意知 a+b≠0,所以由根与系数的关系,
? 2b ?x1+x2= a+ b ? 得? b- 1 ? ?x1x2=a+b ?

,设 AB 中点 C(x0,y0),

b b a 则 x0= ,y0=1-x0=1- = . a+ b a+ b a+ b

所以 AB 中点为

? b ? a ? , C? ? ?,从而得到 a + b a + b ? ?

a 2 kOC=b= ① 2

由条件|AB|=2 2,得 1+k2 AB|x1-x2|=2 2,
2 2 2 所以(1+k2 )( x - x ) = (1 + k )[( x + x ) AB 1 2 AB 1 2 -4x1x2]=8,又 ? ?? 2 b b-1? ? ?2 由 kAB=-1,所以 2×??a+b? -4· ?=8, a+b? ? ??

所以 a2+b2+3ab-a-b=0② 1 2 1 2 2 2 由①②解得 a= ,b= .所以椭圆方程为 x + y =1. 3 3 3 3

求轨迹方程的基本方法 求轨迹问题时, 如果已知所求轨迹的类型, 则用待 定系数法; 如果所求轨迹的类型未知, 则采用轨迹 方程求解的常规方法: 直接法、 定义法、 相关点法、 参数法等. 一般步骤为: 建系→设点→列式→化简 →证明,要注意完备性和纯粹性的检验.

拋物线 x2=4y 的焦点为 F,过点(0,-1) 作直线交拋物线于不同两点 A、B,以 AF、BF 为 邻边作平行四边形 FARB,求顶点 R 的轨迹方程.
[思路导引] 设出直线AB的方程,联立直线与拋 物线的方程,利用韦达定理,表示出AB中点的坐 标,由平行四边形对角线互相平分,寻找R与AB 中点坐标之间的关系,再利用消参数法求轨迹方 程.

[规范解答]

设直线 AB:y=kx-1,A(x1,y1)、

B(x2,y2)、R(x,y),由题意 F(0,1).
?y=kx-1 由? 2 ,可得 x2-4kx+4=0. ?x =4y

∴x1+x2=4k. 又 AB 和 RF 是平行四边形 FARB 的对角线, ∴x1+x2=x,y1+y2=y+1. ∴y1+y2=k(x1+x2)-2=4k2-2.

?x=4k 2 由? ,消去 k 得 x =4(y+3). 2 ?y=4k -3

由于直线和拋物线交于不同两点, ∴Δ=16k2-16>0,∴k>1 或 k<-1. ∴x>4 或 x<-4. ∴顶点 R 的轨迹方程为 x2=4(y+3),且|x|>4.

x2 y2 4.已知椭圆 + =1 及点 D(2,1),过点 D 任意引 9 4 直线交椭圆于 A、B 两点,求线段 AB 中点 M 的轨 迹方程.

解析:

设 M(x , y) 、 A(x1 , y1) 、 B(x2 , y2) ,则

2 ?4x2 + 9 y ① 1 1=36, ? 2 2 4 x + 9 y ② ? 2 2=36.

①-②,得 4(x1-x2)(x1+x2)+9(y1-y2)(y1+y2)=0, ∵M(x,y)为 AB 中点, ∴x1+x2=2x,y1+y2=2y. ∴4×2x(x1-x2)+9×2y(y1-y2)=0. y1-y2 4x 当 x1≠x2 时,k= =- . 9y x1-x2

y-1 y-1 4x 又 k= ,∴ =- . 9y x- 2 x- 2 化简得 4x2+9y2-8x-9y=0. ∵当 x1=x2 时,中点 M(2,0)满足上述方程, ∴点 M 的轨迹方程为 4x2+9y2-8x-9y=0.

[跟踪训练] 1.方程2x2-5x+2=0的两个根可分别作为( A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率

)

解析:

1 方程 2x -5x+2=0 的两根分别为 2, , 2
2

1 ∵0< <1,2>1, 2 ∴可分别作为一椭圆和一双曲线的离心率.

答案: A

y2 x· |x| 2.直线 y=x+3 与曲线 - =1 交点的个数为 9 4 ( A.0 C.2 ) B.1 D.3

y2 x2 y2 解析: x>0,曲线为 - =1;x<0,曲线为 9 4 9 x2 + =1,画图可知,直线与曲线的交点个数为 3 4 个.

答案: D

x2 y2 x2 3.曲线 + = 1(m < 6) 与 曲线 + 10-m 6-m 5- m y2 =1(5<m<9)的( 9- m A.焦距相等 C.焦点相同 ) B.离心率相等 D.准线相同

x2 y2 解析: 由 + =1(m<6),知该方程表示 10-m 6-m x2 y2 焦点在 x 轴上的椭圆, 由 + =1(5<m<9), 5- m 9- m 知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线,故只能选择 答案 A.
答案: A

x2 y2 4.(2011· 山东卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b> a b 0)的两条渐近线均和圆 C: x2+y2-6x+5=0 相切, 且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的 方程为( x y A. - =1 5 4 x2 y2 C. - =1 3 6
2 2

) x y B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 6 3
2 2

解析:

x2 y2 由题意得, 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线 a b

b 方程为 y=± ay=0,又圆 C 的标准方程为(x- ax,即 bx± 3)2+y2=4,半径为 2,圆心坐标为(3,0). |3b| 2 2 ∴a +b =3 =9,且 2 = 2 ,解得 a = 5 , b =4. 2 a +b
2 2 2

x2 y2 ∴该双曲线的方程为 - =1. 5 4 答案: A

5.(2011· 课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离 2 心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ 2 ABF2 的 周 长 为 16 , 那 么 C 的 方 程 为 ______________.

解析:

由椭圆的第一定义可知△ABF2 的周长为

4a=16,得 a=4, 2 c 2 又知离心率为 ,即a= , 2 2 所以 c=2 2,故 a2=16,b2=a2-c2=16-8=8, x2 y2 则 C 的方程为 + =1. 16 8

答案:

x2 y2 + =1 16 8

x2 y2 6.(2011· 辽宁卷)已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2= a b 1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则它的离心率为 ________.
4 9 2 2 解析: 2- 2=1 与 a +b =4 联立, 求得 a=1, a b c 所以 e=a=2.

答案: 2

x2 7. 已知抛物线的顶点在原点, 它的准线过双曲线 2 a y2 - 2=1 的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个 b 焦点连线互相垂直 .又抛物线与双曲线交于点
?3 ? ? , ?2 ? ? 6?,求抛物线和双曲线的方程. ?

解析:

设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),
? 6? ?在抛物线上可得( ?

?3 根据点? ? , ?2

3 6) =2p× . 2
2

解之,得 p=2. 故所求抛物线方程为 y2=4x. 抛物线准线方程为 x=-1. 又双曲线的左焦点在抛物线的准线上, ∴c=1,即 a2+b2=1.

x2 y2 故双曲线方程为 2- 2=1. a 1- a
?3 ? 又点?2, ? ? 6? ?在双曲线上, ?

9 6 1 2 ∴ 2- 2=1,解得 a = . 4 a 1- a 4 3 4 2 2 同时 b = .故所求双曲线方程为 4x - y =1 4 3
2

8.(2011· 陕西卷)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一 4 点,且|MD|= |PD|. 5 (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的 5 长度.

解析:

(1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xp,yp),

?xp=x, ? 由已知得? 5 ?yp= y, 4 ?

∵P

?5 ? ?2 2 y 在圆上,∴x +? ? ? =25,即 ?4 ?

x y C 的方程为 + =1. 25 16

2

2

4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3), 5 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5 x2 ?x-3? + =1,即 x2-3x-8=0. 25 25
2

3- 41 3+ 41 ∴x1= ,x2= , 2 2 ∴线段 AB 的长度为 |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2= = 41 41 ×41= . 25 5
? ? 16 ? ? 2 1 + ? x - x ? ? 1 2 25? ? ?


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