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2015-2016学年高中数学 第一章 立体几何初步章末归纳总结课件 新人教B版必修2_图文

成才之路 ·数学
人教B版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
立体几何初步

第一章
章末归纳总结

1

知 识 结 构

3

专 题 研 究

2

学 后 反 思

4

课 时 作 业

知 识 结 构

学 后 反 思

数学研究的对象有两大块 —— 数量关系和空间形式.其中
“空间形式”主要是由几何研究的.中学数学有三大能力——计 算能力、逻辑推理能力和空间想象能力.立体几何正是训练逻 辑推理能力和空间想象能力的好素材.在训练发展思维能力和 空间想象能力上,具有其它内容不可替代的作用.

本章内容的学习,从对空间几何体的整体观察入手,遵循
从整体到局部,具体到抽象的原则,认识空间图形,通过直观 感知认识空间图形,逐步形成和发展几何直观能力和空间想象

能力,以及运用几何语言、图形语言进行交流的能力.

立体几何在中学数学中的重要地位还表现在它与平面几
何、集合、函数、方程的联系上.贯穿于立体几何中的化归思 想、分类讨论思想、数形结合思想以及立体几何特有的平移 法、正投影法、体积法、展开法、翻折法、割补法等都极大地 丰富了中学数学的思想和方法.

本章内容由两大部分构成,前一部分主要介绍了常见的多
面体和旋转体的结构特征,以对几何体的直观认识为主.后一 部分在学生丰富的直观形象基础上系统讨论了空间点、线、面 的位置关系,着重从理论上研究线线、线面、面面的平行与垂 直的位置关系.从而发展空间想象能力.

专 题 研 究

空间几何体的直观图与三视图 画空间几何体的直观图与三视图主要依据它们的概念及画

法规则.
[例1] 如图所示的是一个空间几何体的三视图,试用斜二 测画法画出它的直观图.

[ 分析 ]

由几何体三视图可知,它是一个正六棱台,上、

下底边长与高可以根据三视图比例确定,我们可以先画出下底

正六边形,再画出上底正六边形,然后连接侧棱.
[解析] 如图所示.

画法:(1)画轴:如图(1)所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy

=45°,∠xOz=90°.

(2)画两底面:由三视图知该几何体为正六棱台,用斜二测 画法画出底面 ABCDEF ,在 z 轴上截取 OO′ ,使 OO′ 等于三视图 中的相应高度.过 O′ 作 Ox 的平行线 O′x′ , Oy 的平行线 O′y′ ,利 用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′E′F′.

(3)成图:连接A′A、B′B、C′C、D′D、E′E、F′F,整理得到
三视图表示的几何体的直观图,如图(2)所示.

[ 例2]
23 A. 3 47 B. 6 C.6 D.7

(2014·安徽文,8) 一个多面体的三视图如图所示,
)

则该多面体的体积是(

[ 解析]

由三视图知,几何体的直观图如图所示.该几何

体是正方体去掉两个角所形成的多面体, 其体积为 V=2×2×2 1 1 23 -2×3×2×1×1×1= 3 .

[ 答案]

A

表面积和体积的计算
空间几何体的表面积和体积是立体几何中的重要知识,与 实际问题联系密切,求解时,要熟练掌握几何的表面积和体积

公式,注意分割与补形的思想,并要把握住几何体的特点,适
当时候可借助轴截面或其他平面图形处理几何体中的数量关 系.

[ 例 3]

如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长

为 1 的正方形,且△ADE、△BCF 均为正三角形,EF∥AB, EF=2,则该多面体的体积为( 2 A. 3 4 C.3 ) 3 B. 3 3 D.2

[ 解析]

本题主要考查多面体体积的求法.

解法一:可取 EF 中点 G,连接 AG、DG,

可知 GD FC,AG BF, ∴四面体 ADGE 是正四面体,而 BDF-ADG 是斜三棱柱, 且其体积是正四面体体积的 3 倍. 3 6 1 2 ∴V=4×VA-DEG=4× 4 × 3 ×3= 3 .

解法二:在几何体的左端补上一个四棱柱 E-ANMD,使 其成为斜三棱柱. 可知 AN=AD=MD=MN=1.且 NE=EM=1. ∴四棱锥 E-ANMD 是正四棱锥.

1 2 2 则 VE-ANMD=3×1× 2 = 6 .

3 3 2 而 VBCF-NEM=2VE-BNMC=2×2×VE-ANMD= 2 . 2 2 2 ∴VABCDEF=VBCF-NEM-VE-ANMD= 2 - 6 = 3 . [答案] A
[ 点评 ] 对于不规则几何体的体积,求解时常利用分割或 补形的方法转化为规则几何体求解.

[ 例 4]

(2014· 山东文,13)一个六棱锥的体积为 2 3,其底

面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面 积为________.

[ 解析]

由题意可知,该六棱锥为正六棱锥,设正六棱锥

的高为 h,侧面的斜高为 h′. 1 1 由题意,得3×6×2×2× 3×h=2 3,∴h=1, 1 ∴斜高 h′= 1 +? 3? =2,∴S 侧=6×2×2×2=12.
2 2

[ 答案]

12

空间中的平行、垂直问题 [例5] 如图,平面PAC⊥平面ABC,AB=BC,E、F、O分

别为PA、PB、AC的中点,AC=10,PA=6,PC=8. (1)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE;

(2)证明:PA⊥平面BOE.

[ 解析]

(1)如图,

取 BC 的中点 H,连接 FH、 GH, ∵G 是 OC 的中点,∴GH∥ OB,FH∥PC, 又 EO∥PC,∴FH∥EO. ∴平面 FGH∥平面 EOB, ∴FG∥平面 BOE.

(2)∵AB=BC,O为AC的中点,∴BO⊥AC, ∵平面PAC⊥平面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC, ∴BO⊥平面PAC,∴BO⊥PA.

又∵AC=10,PA=6,PC=8,
∴AC2=PA2+PC2, ∴PC⊥PA, 又EO∥PC,∴EO⊥PA.OE∩BO=O.∴PA⊥平面BOE.

[例6]

(2015·辽宁大连二十中学高一期末测试)如图,在四

面体ABCD 中, CB=CD, AD⊥BD,点 E、 F分别是AB、 BD的

中点.
(1)求证:直线EF∥平面ACD; (2)求证:平面EFC⊥平面BCD.

[解析] (1)∵E、F分别为AB、BD的中点, ∴EF∥AD.又AD?平面ACD, EF?平面ACD,∴EF∥平面ACD. (2)∵CB=CD,F为BD的中点,

∴CF⊥BD.又∵AD⊥BD,EF∥AD,
∴EF⊥BD,又EF∩CF=F, ∴BD⊥平面CEF. 又BD?平面BCD,∴平面EFC⊥平面BCD.

探索性问题 立体几何中的探索性问题在近几年高考中经常出现,这种 题型主要以平行、垂直、距离和角的问题等为背景,有利于空 间想象能力、分析判断能力的考查,也有利于创新意识的培

养,因此应注意高考中立体几何探索性命题的考查趋势.立体
几何探索性命题的类型主要有:一、探索条件,即探索能使结 论成立的条件是什么;二、探索结论,即在给定的条件下命题 的结论是什么.

[例7]

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2.

(1)证明:平面BDD1B1⊥平面ACD1; (2)若E是BC1的中点,P是AC的中点,A1C1∩B1D1=Q,F是

A1C1上的点,C1F=mFA1,试求m的值,使得EF∥D1P.

[分析] 可先确定特殊点,再对一般性情况进行证明.
[ 解析] (1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=2. 故四边形 ABCD 是正方形, AP⊥DP. 又∵D1D⊥平面 ABCD,AP ?平面 ABCD, ∴D1D⊥AP,D1D∩DP=D, ∴AP⊥平面 BDD1B1. ∵AP?平面 AD1C, ∴平面 BDD1B1⊥平面 AD1C.

(2)∵P 是 AC 的中点, ∴D1P∥BQ. 要使得 EF∥D1P,则必有 EF∥BQ. 在△QBC1 中,E 是 BC1 的中点,F 是 QC1 上的点,EF∥ BQ, ∴F 是 QC1 的中点,即 3C1F=FA1. 1 故所求 m 的值是3.

[例8]

(2014·四川文,18)在如图所示的多面体中,四边形

ABB1A1和ACC1A1都为矩形.

(1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1; (2)设D、E分别是线段BC、CC1 的中点,在线段AB 上是否

存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.

[解析] (1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形, 所以AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为AB、AC为平面ABC内两条相交直线, 所以AA1⊥平面ABC.

因为直线BC?平面ABC,所以AA1⊥BC.
又由已知, AC⊥BC , AA1 、 AC 为平面 ACC1A1 内两条相交 直线, 所以BC⊥平面ACC1A1.

(2)取线段 AB 的中点 M,连接 A1M、MC、A1C、AC1,设 O 为 A1C、AC1 的交点. 由已知,O 为 AC1 的中点.

连接 MD、OE,则 MD、OE 分别为△ABC、△ACC1 的中 位线, 1 1 所以,MD 2AC,OE 2AC, 因此 MD OE. 连接 OM, 从而四边形 MDEO 为平行四边形, 则 DE∥MO. 因为直线 DE?平面 A1MC,MO?平面 A1MC. 所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点),使直线 DE∥ 平面 A1MC.

转化与化归的思想

转化与化归思想的主要目的是将未知问题转化为已知问
题,复杂问题转化为简单问题,空间几何问题转化为平面几何 问题.本章中涉及到转化与化归思想的知识有:(1)位置关系的

转化,即平行与平行的转化、垂直与垂直的转化、平行与垂直
的转化; (2) 量的转化,如点到面距离的转化; (3) 几何体的转 化,即几何体补形与分割.

[ 例 9]
[ 解析]

已知三棱锥的侧棱两两垂直,并且侧棱长分别为
如图,三棱锥 P-ABC,PA=a,PB=b,PC=c,

a、b、c,则三棱锥的外接球的半径R=________.
由球的对称性可知,以 PA、PB、PC 为棱,可以将三棱锥 P- ABC 补成一个球的内接长方体 BEFD-PCGA, 长方体的外接球 即是三棱锥的外接球,而长方体的外接球的直径就是长方体的 1 2 体对角线.所以 2R=PF= a +b +c ,即 R=2 a +b2+c2.
2 2 2

[ 答案]

1 2 2 2 a + b + c 2

[ 点评 ]

在解决空间几何问题时,经常转化成平面几何问

题来解决,因此熟练掌握平面几何的定理性质以及重要结论,
显得尤为重要.

[ 例 10]

(2015· 山东文, 18) 如图,三棱台 DEF - ABC 中,

AB=2DE,G、H分别为AC、BC的中点. (1)求证:BD∥平面FGH; (2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.

MH.在三棱台 DEF-ABC中,AB= 2DE,G 为AC的中点,可得 DF∥GC,DF=GC, ∴四边形DFCG是平行四边形, 则M为CD的中点,又H是BC的中点,∴HM∥BD, 又HM?平面FGH,BD?平面FGH,∴BD∥平面FGH.

[ 解析 ]

(1) 证法一:连接 DG 、 CD. 设 CD∩GF = M ,连接

证法二:在三棱台 DEF-ABC 中, 由 BC=2EF,H 为 BC 的中点, 可得 BH∥EF,BH=EF, ∴四边形 HBEF 为平行四边形,可得 BE∥HF. 在△ABC 中, G、 H 分别为 AC、 BC 的中点, ∴GH∥AB, 又 GH∩HF=H, ∴平面 FGH∥平面 ABED, ∵BD?平面 ABED, ∴BD∥平面 FGH.

(2)连接HE. ∵G,H分别为AC、BC的中点, ∴GH∥AB. 由AB⊥BC,得GH⊥BC,

又H为BC的中点,
∴EF∥HC,EF=HC, 因此四边形EFCH是平行四边形, ∴CF∥HE.

又CF⊥BC,∴HE⊥BC. 又HE,GH?平面EGH,HE∩GH=H, ∴BC⊥平面EGH,

又BC?平面BCD,
∴平面BCD⊥平面EGH.


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