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平面向量基本定理

2.3.1平面向量的基本定理

设e1、e2 是同一平面内的两个不共

线的向量,a 是这一平面内的任一向量,

e2之间的关系。 我们研究 a 与 e1 、
e1
研究 a

e2

OC = OM + ON =

即 a=

?1OA + ?2OB ?1e1+ ?2e2 .
M

e1

C

a

A

e2
O

e1

a N
e2

B

平面向量基本定理

e2是同一平面内的两个不 如果 e1 、 共线向量,那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数?1、 ?2 使 a = ?1 e1 + ?2e2 e2叫做表 我们把不共线的向量e1 、 示这一平面内所有向量的一组基底。

思考 (1)一组平面向量的基底有多少对? (有无数对) C F M M C A O a N B O a N E

思考
(2)若基底选取不同,则表示同一

向量的实数?1 、 是否相同? ?2
(可以不同,也可以相同) M F OC = OF + OE OC = 2OA + OE A B a OC = 2OB + ON C

O

N

E

特别的,若 a = 0 ,则有且只有 :

?1 = ?2 = 0
可使 0 =

?若 ?1与 ?2 中只
有一个为零,情 况会是怎样?

?1e1 + ?2e2 .

特别的,若a与 e( )共线,则有 1 e2

?2=0(?1 =0),使得: a = ?1e1 + ?2e2 .

例1:
已知向量 e1、e2 求做向量-2.5 e1 +3 e2 C
e2

B

A
e1 ? 2.5e
1

3e2

· O

例5、 如图,已知梯形ABCD, AB//CD,且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点. 请大家动手, D 在图中确定一组 基底,将其他向 量用这组基底表 A 示出来。

M

C

N

B

解析: 设AB = e1,AD =
1 1 DC = 2 AB = 2e1

e2,则有:

BC = BD + DC =(AD–AB)+DC 1 1 = e2 - e1+ 2 e1 = - 2 e1 + e2 MN = DN-DM D M 1 =(AN-AD)- 2 DC
1 = 2 e1 - e2 1 = 4 e1 - e2
1 - 4 e1

C

.

A

N

B

评析

能够在具体问题中适当地选取
基底,使其他向量能够用基底来表 示,再利用有关知识解决问题。

思考
设 a、b是两个不共线的向量, 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线, 求k的值。 解: ? A、B、D三点共线

?AB与BD共线,则存在实数
λ使得AB = λBD.

由于BD = CD – CB

?k =

=(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = ? (a – 4b ) 2 = ? 由向量相等的条件得 k = 4?
8.

此处可另解:

则需 2a + kb = ?(a – 4b )

即(2 - ? )a +(k - 4? )b = 0

?

k – 4? = 0 8.

2 -? = 0

?k =

评析 本题在解决过程中用到了两向量 共线的充要条件这一定理,并借助平 面向量的基本定理减少变量,除此之 外,还用待定系数法列方程,通过消 元解方程组。这些知识和考虑问题的 方法都必须切实掌握好。

2. 在实际问题中的指导意义在于 找到表示一个平面所有向量的一组基

e1 与 e2 ),从而将 问题转化为关于 e 、 的相应运算。 e 1 2
底(不共线向量

总结: 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 (1)实数对λ1、 λ2的存在性和唯一性 (2)基底的不唯一性 (3)定理的拓展性 3、平面向量基本定理的应用 求作向量、解(证)向量问题、解(证) 平面几何问题

课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解,它说明在

同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合,该定理是平面向量

坐标表示的基础,其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。

思考

在梯形ABCD中,E、F分别时AB、CD
的中点,用向量的方法证明: EF//AD//BC,且EF =
1 2

(AD+BC)

谢谢同学们
再 见


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