当前位置:首页 >> 高三数学 >>

江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考数学试题及详细解析

江苏省淮阴中学、海门中学、 江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学 2012 届高三联考数学试题 数 学 试 题I
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ 【解析】设 z=a+bi ,由 a+bi= ( 2-a-bi ) i 得 a=b=1∴ z=1 + i .

1 .若复数 z 满足 z = (2 ? z )i ( i 是虚数单位) ,则 z =

.

2 .已知全集 U = {1, 3, 5} ,集合 A = { x | x 2 ? 3 x + 2 = 0} , B = {x | x = 2a,a ∈ A} ,则 2, 4,
【解析】Q A = {1, 2} ∴ B = {2, 4} ∴ A U B = {1, 2, 4} ∴ ?U ( A U B ) = {3,5} 集合 ?U ( A U B ) = .

3 .在圆 x 2 +y 2 =4 所围成的区域内随机取一个点 P(x,y) ,则
【解析】

x + y ≤ 2 的概率为
2 2

.

x + y ≤ 2 表示的图形是正方形及其内部,用正方形的面积除以圆 x +y =4 的
2
面积易得概率为

4 π π 4 .已知 cos α = ? 且 α ∈ ( , π ) ,则 tan(α + ) = 5 2 4

π

.
开始
k ←1, s ←0

4 π 【解析】Q cos α = ? 且 α ∈ ( , π ) , 2 5 tan α +tan

π 3 4 4 =1 ∴ sin α = ∴ tan α =- ∴ tan(α + ) = 5 3 4 1- tan α .tan π 7 4
【解析】由 f ( ?1) = ? f (1) ,易得 a = 2
?2 + 1 5 .已知定义域为 R 的函数 f ( x) = x +1 是奇函数,则 a = 2 +a
x

π

s ← s + 3k
k ← k+2

k ≥ 100




.

输出 S

结束 x2 y2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的左准线与 x 轴的交点, 第 7 题图 a2 b uuu r uuu r 点 A(0, b) ,若满足 AP = 2 AB 的点 P 在双曲线上,则该双曲线 的离心率为 . uuu r uuu r ? 2a 2 ? ? 2a 2 ? 【解析】设点 P ( x, y ) ,由 AP = 2 AB 得 ( x, y ? b ) = ? ? , ?2b ? ,∴ P ? ? , ?2b ? ? c ? ? c ?

6 .已知 B 为双曲线

x2 y2 ? = 1 中,整理得 e2 = 2 ∴ e = 2 a 2 b2 7 .右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 . 【解析】 s = 3 + 9 + 15 + ……+297=7500 8 .若方程 lg kx = 2lg ( x + 1) 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是

把 P 点坐标带入到

.
2

【解析】当 k>0 时, lg kx = 2lg ( x + 1) ∴ lg kx ? 2 lg ( x + 1) = 0 即 kx = ( x + 1) 在 ( 0,+∞ ) 仅有一个 解 ∴ x 2 ? ( k ? 2 ) x + 1 = 0 在 ( 0,+∞ ) 仅有一个解,令 f ( x ) =∴ x 2 ? ( k ? 2 ) x + 1 ,Q f ( 0 ) > 0

∴? = 0 ∴ k = 0 或 4 , k = 0 时无意义,舍去∴ k = 4 当 k < 0 时,函数定义域是 ( ?1, 0 )
函数 y = kx 是一个递减过 ( ?1, ?k ) 与 ( 0, 0 ) 的线段,函数 y = ( x + 1) 在 ( ?1, 0 ) 递增且过两点
2

( ?1, 0 ) 与 ( 0,1) ,此时两曲线段恒有一个交点,故 k < 0 符合题意

故答案为: k = 4 或 k < 0 . uuu uuur r uuu uuu r r uuu r 9 .在 ?ABC 中,已知 AB ? AC = 4 , AB ? BC = ?12 ,则 AB =

.

uuuuur uuur 【解析】Q AB ? AC = 4 , b2 + c2 ? a 2 ∴ bc cos A = = 4 ∴ b2 + c2 ? a 2 = 8 2 同理 a 2 + c 2 ? b 2 = 24 ∴ c 2 = 16 ,∴ c = 4 10 .在样本的频率分布直方图中, 共有 9 个小长方形, 若第 一个长方形的面积为 0.02 前五个与后五个长方形的 面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量 为 1600 , 则(即第五组)的频数为 .

频率 组距

第 题图 10

样本数据

【解析】设前五个长方形面积的公差为 d ,由 9 个长方形的面积为 1 ,可得 d = 中间一组的频数为 1600 × ( 0.02 + 4d ) = 360 .

0.82 16

11 .已知变量 a,θ ∈ R ,则 (a ? 2cos θ )2 + (a ? 5 2 ? 2sin θ )2 的最小值为
2 2

.

【解析】 a ? 2cos θ ) + ( a ? 5 2 ? 2sin θ ) 的几何意义为 ( a, a ) 到 2cos θ ,5 2 + 2sin θ 距离的 ( 平方。( a, a ) 表示的轨迹为 y = x , 2cos θ ,5 2 + 2sin θ 表示的轨迹为 x 2 + y ? 5 2

又 0,5 2 到 y = x 是距离为 5 ,所以 ( a, a ) 到 2cos θ ,5 2 + 2sin θ 距离最小值为 3 。所以
(a ? 2cos θ ) + ( a ? 5 2 ? 2sin θ ) 的最小值为 9.
2 2

(

)

(

(

)

(

)

(

)

)

2

=4

12 .等比数列 {an } 中, a1 = 1, a2012 = 9 ,函数 f ( x) = x( x ? a1 )( x ? a2 )L ( x ? a2012 ) + 2 ,则曲线
y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为

.
1006

【解析】 f (0) =2, f ( x ) 展开式一次项系数位 a1a2 ……a 2012 = ( a1a 2012 )

=91006 =32012

∴ f , ( 0 ) = 32012 , y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y = 32012 x + 2 .

13 .将一个长宽分别是 a, b(0 < b < a) 的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一个无盖的
a 的取值范围是 b 【解析】设减去的正方形边长为 x ,其外接球直径的平方 R 2 =(a-2x)2 +(b-2x) 2 +x 2

长方体的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则

.

由 R = 0∴ x =



2 2 a b 5 a ( a + b ) Q a < b ∴ x ∈ ? 0, ? ∴ 0 < ( a + b ) < ∴1 < < ? ? 9 9 2 a 4 ? 2?

14 .在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 y 2 = 2x 的焦点为 F 设 M 是抛物线上的动点,则
MO 的最大值为 MF
【解析】焦点 F ? .

1 ?1 ? , 0 ? ,设 M ( m, n ) ,则 n 2 = 2m , m > 0 ,设 M 到准线 x = ? 的距离 2 ?2 ?

等于 d ,则

=

=

=

=

=

=

=

.令 m-

1 1 =t , t> ,则 4 4

=

=



=

(当且仅当 t=

3 时,等号成立) . 4



的最大值为

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15 . 本小题满分 14 分) ( 已知函数 f ( x) = 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 , x ∈ R . 2 2 (1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期;

]

(2)设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 c = 3 , f (C ) = 0 ,若 sin B = 2sin A ,求 a,b 的值. 【解析】
解: (1)

3 sin 2 x ? 1 + cos 2 x ? 1 = sin(2 x ? π ) ? 1 , 2 2 2 6 则 f ( x ) 的最小值是 -2 , 最小正周期是 T = 2π = π ; 2 f ( x) =

( 2)

∴ 2C ? π = π ,∴ C = π , 6 2 3

f (C ) = sin(2C ? π ) ? 1 = 0 ,则 sin(2C ? π ) = 1 , 6 6 π < 2C ? π < 11π , Q 0 < C < π ∴ 0 < 2C < 2π ∴ ? 6 6 6

由余弦定理,得 c = a + b ? 2ab cos π ,即 a + b ? ab = 3 ,
2 2 2
2 2

Q sin B = 2 sin A ,由正弦定理,得 a = 1 , b 2 3

由解得 a = 1, b = 2 .

16 . 本小题满分 14 分) ( o 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AC=4,CB=2,AA1 =2 , ∠ACB = 60 , E 、 F 分 别 是 A1C1 , BC
的中点. (1)证明:平面 AEB ⊥ 平面 BB1C1C ; (2)证明: C1 F // 平面 ABE; 【解析】 (1) 证明:在 ?ABC中 ,∵AC=2BC=4, ∠ACB = 60 ∴ AB = 2 3 ,∴ AB + BC = AC ,∴ AB ⊥ BC
2 2 2

A1

E

C1 B1

(3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积.

0

P C F B

由已知 AB ⊥ BB1 , ∴ AB ⊥ 面 BB1C1C

( 2 ) 证明:取 AC 的中点 M ,连结 C1M , FM 在 ?ABC,FM // AB , 而 FM ? ABE ,∴直线 FM// 平面 ABE 在矩形 ACC1 A1 中, E,M 都是中点,∴ C1 M // AE

又∵ AB ? 面 ABE ∴ ABE ⊥ BB1C1C

A

而 C1 M ? ABE ,∴直线 C1M // ABE 又∵ C1 M ∩ FM = M 故 C1 F // AEB ∴ 面ABE // FMC1

( 3) 取 B C 的中点 H ,连结 EH ,则 EH / / AB 且 EH = 1 AB = 2
1 1

3,

由 AB ⊥ 面 BB1C1C ,∴ EH ⊥ 面BB1C1C ,
∵ P 是 BE 的中点, 1 1 1 ∴ VP ? B1C1F = VE ? B1C1 F = × S?B1C1 F ? EH = 3 2 2 3 17 . 本小题满分 14 分) ( 省环保研究所对市中心每天环境放 射性污染情况进行 调查研究后, 发现一天中环境综合 x 2 放射性污染指数 f ( x ) 与时刻 x (时)的关系为 f ( x ) = 2 ? a + 2a + , x ∈ [ 0, 24] ,其 x +1 3 1 中 a 是与气象有关的参数, a ∈ [0, ] , 且 若用每天 f ( x ) 的最大值为当天的综合放射性污 2 染指数,并记作 M ( a ) .

(1) 令 t = x x+ 1 , x ∈ [0, 24] ,求 t 的取值 范围;
2

( 2 ) 省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过
性污染指数是否超标? 【解析】解: (1) 当 x = 0 时, t=0 ;

2,试问目前市中心的综合放射

1 ≥ 2 (当 x = 1 时取等号) , x x 1 ? 1? ∴t = 2 = ∈ ? 0, ? , x +1 x + 1 ? 2 ? x ? 1? 即 t 的取值范围是 ? 0, ? . ? 2? 2 1 ( 2 ) 当 a ∈ ?0, ? 时,记 g ( t ) = t ? a + 2a + ? 2? 3 ? ? 2 ? ??t + 3a + 3 , 0 ≤ t ≤ a ? 则 g (t ) = ? ? t + a + 2 ,a < t ≤ 1 ? 3 2 ? ? 1? ∵ g ( t ) 在 [ 0, a ] 上单调递减,在 ? a, ? 上单调递增, ? 2? 2 ?1? 7 1? ?1? ? 且 g ( 0 ) = 3a + , g ? ? = a + , g ( 0 ) ? g ? ? = 2 ? a ? ? . 3 ?2? 6 4? ?2? ? ? ?1? 1 ? 7 1 ?g ? 2 ? , 0 ≤ a ≤ 4 ? a + 6 , 0 ≤ a ≤ 4 ? ? ? ? 故 M (a) = ? =? . 1 1 ?3a + 2 , 1 < a ≤ 1 ? g ( 0) , < a ≤ ? 3 4 2 ? 4 2 ? ?
当 0 < x ≤ 24 时, x +
科网]

4 时, M ( a ) ≤ 2 . 9 4 4 1 故当 0 ≤ a ≤ 时不超标,当 < a ≤ 时超标. 9 9 2 18 . 本小题满分 16 分) (
∴当且仅当 a ≤ 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 + = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,一条准线 l : x = 2 . a 2 b2 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点, M 是 l 上的点, F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 O M 的垂线 与以 O M 为直径的圆 D 交于 P, Q 两点.
①若 PQ = 6 ,求圆 D 的方程;

②若 M 是 l 上的动点,求证点 P 在定圆上,并求该定圆的方程. ?c 2 ? = ?a = 2 ? ? 【解析】 (1) 由题设: ? a 2 2 ,∴ ? ,∴ b 2 = a 2 ? c 2 = 1 , ? c =1 ? ?a ? c =2 ? x2 + y2 = 1 ∴ 椭圆 C 的方程为: 2 ( 2 ) ①由 (1) 知: F (1,0) ,设 M (2, t ) ,

t t2 则圆 D 的方程: ( x ? 1) 2 + ( y ? ) 2 = 1 + , 2 4 直线 PQ 的方程: 2 x + ty ? 2 = 0 ,
t2 )?( 4 2+ t2 ?2 2
2

∴ PQ = 6 ,∴ 2 (1 +
2

4+t

)2 = 6 ,

∴ t = 4 , ∴ t = ±2 ∴ 圆 D 的方程: ( x ? 1)2 + ( y ? 1)2 = 2 或 ( x ? 1)2 + ( y + 1)2 = 2 ②解法(一) :设 P ( x0 , y0 ) ,

? t 2 t2 2 ? ( x0 ? 1) + ( y0 ? ) = 1 + 由①知: ? 2 4 , ?2 x + ty ? 2 = 0 0 ? 0 2 2 ? ? x + y0 ? 2 x0 ? ty0 = 0 即: ? 0 , ? 2 x0 + ty0 ? 2 = 0 ? 消去 t 得: x0 2 + y0 2 =2
∴ 点 P 在定圆 x 2 + y 2 =2 上.

………………………… 14 分

………………………… 16 分

解法(二) :设 P ( x0 , y0 ) , 则直线 FP 的斜率为 k FP =
y0 , x0 ? 1

∵FP⊥OM,∴直线 OM 的斜率为 kOM = ? ∴直线 OM 的方程为: y = ?

x0 ? 1 , y0

x0 ? 1 x, y0

点 M 的坐标为 M (2, ?

uuu uuur r ∵MP⊥OP,∴ OP ? MP = 0 , 2( x0 ? 1) ∴ x0 ( x0 ? 2) + y0 [ y0 + ]=0 y?

2( x0 ? 1) ). y0

…………………………14 分

∴ x0 2 + y0 2 =2,∴ 点 P 在定圆 x 2 + y 2 =2 上.

19 . 本小题满分 16 分) (

[来源:Zxxk.Com] [来源:Zxxk.Com]

已知数列 {an } 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且满足
2 an = S 2 n ?1 , n ∈ N* .数列 {bn } 满足 bn =

(2)若对任意的 n ∈ N* ,不等式 λTn < n + 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 λ 的取值范围; (3)是否存在正整数 m, n (1 < m < n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由.
2 【解析】 1) ( (法一)在 an = S 2 n ?1 中,令 n = 1 , n = 2 ,

(1)求数列 {an } 的通项公式 an 和数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ;

1 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和. an ? an +1

?a1 2 = S1 , ? 2 ? ?a1 = a1 , 得? 2 即? ……… ………………2 分 ?(a1 + d ) 2 = 3a1 + 3d , ?a 2 = S 3 , ? ? 解得 a1 = 1 , d = 2 ,∴ an = 2n ? 1 2 又Q an = 2n ? 1 时, Sn = n 2 满足 an = S 2 n ?1 ,∴ an = 2n ? 1 ………………3 分 1 1 1 1 1 Q bn = = = ( ? ), an an +1 (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1 1 1 1 1 1 1 n . ………………5 分 ∴ Tn = (1 ? + ? + L + ? )= 2 3 3 5 2 n ? 1 2 n + 1 2n + 1 a + a 2 n?1 (法二)Q {an } 是等差数列, ∴ 1 = an 2 a + a 2 n ?1 ∴ S 2 n?1 = 1 (2n ? 1) = (2n ? 1)a n . …………………………2 分 2 2 2 由 an = S 2 n ?1 ,得 a n = ( 2n ? 1) a n , 又Q an ≠ 0 ,∴ an = 2n ? 1 ,则 a1 = 1, d = 2 . ………………………3 分 ( Tn 求法同法一)
(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 λTn < n + 8 ? ( ?1) 恒成立,即需不等式
n

(n + 8)(2n + 1) 8 …………………………………6 分 = 2n + + 17 恒成立. n n 8 Q 2n + ≥ 8 ,等号在 n = 2 时取得. n ∴ 此时 λ 需满足 λ < 25 . …………………… ……………………7 分 n ②当 n 为奇数时,要使不等式 λTn < n + 8 ? ( ?1) 恒成立,即需不等式 (n ? 8)(2n + 1) 8 …………………………………8 分 λ< = 2n ? ? 15 恒成立. n n 8 8 Q 2n ? 是随 n 的增大而增大, ∴ n = 1 时 2n ? 取得最小值 ?6 . n n ∴ 此时 λ 需满足 λ < ?21 . …………………………………………9 分

λ<

[来源:学科网 ZXXK]

综合①、②可得 λ 的取值范围是 λ < ?21 . ………………………………………10 分 (3) T1 =

1 m n , , Tm = , Tn = 3 2m + 1 2n + 1
m 2 1 n ) = ( ), 2m + 1 3 2n + 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 即

m2 n = . ………………………12 分 2 4m + 4m + 1 6n + 3 m2 n 3 ?2 m 2 + 4 m + 1 2 由 = ,可得 = > 0 ,即 ?2m + 4 m + 1 > 0 , 2 2 n m 4 m + 4 m + 1 6n + 3

6 6 . ……………………………………14 分 < m < 1+ 2 2 又 m ∈ N ,且 m > 1 ,所以 m = 2 ,此时 n = 12 . 因此,当且仅当 m = 2 , n = 12 时, 数列 { n }中的 T1 , Tm , Tn 成等比 数列.…16 分 T

∴1?

m2 1 n 1 1 < ,即 2m 2 ? 4m ? 1 < 0 , = < ,故 2 4m + 4m + 1 6 6n + 3 6 + 3 6 n 6 6 ∴1? , (以下同上) . ……………………………………14 分] < m < 1+ 2 2 20 . 本小题满分 16 分) (
[另解:因为 另解

, 已知函数 f ( x) = e x (其中 e 为自然对数的底数) g ( x) =
n 2

n x + m(m, n ∈ R ) . 2

(1)若 T ( x) = f ( x) g ( x) , m = 1 ? ,求 T ( x) 在 [0,1] 上的最大值; (2)若 n = 4 时方程 f ( x ) = g ( x ) 在 [0, 2] 上恰有两个相异实根,求 m 的取值范围; 15 ? (3)若 m = ? , n ∈ N ,求使 f ( x ) 的图象恒在 g ( x ) 图象上方的最大正整数 n . 2 15 注意: [注意: 7 < e2 < ] 2 n n n x n 【解析】 1) m = 1 ? 时, T ( x) = e ( x + 1 ? )(n ∈ R ) ,∴ T ′( x) = e x ( x + 1) ( ………1 分 2 2 2 2 ①当 n = 0 时, T ′( x) = e x > 0 , T ( x) 在 [0,1] 上为增函数,则此时 T ( x) max = T (1) = e ;………2 分 ②当 n > 0 时, T ′( x) = e x ? ( x + ) , T ( x) 在 (? , +∞ ) 上为增函数, 故 T ( x) 在 [0,1] 上为增函数,此时 T ( x) max 分 ③当 n < 0 时, T ′( x) = e x ? ( x + ) , T ( x) 在 (?∞, ? ) 上为增函数,在 (? , +∞ ) 上为减函数, 若 0 < ? < 1 ,即 n < ?2 时,故 T ( x) 在 [0, ? ] 上为增函数,在 [? ,1] 上为减函数, 此时 T ( x) max = T (? ) = e n (?1 + m) = ? ? e n , 若 ? ≥ 1 ,即 ?2 ≤ n < 0 时, T ( x) 在 [0,1] 上为增函数,则此时 T ( x) max = T (1) = e ; 综上所述: [T ( x)]max
? 2 ?2 ? ? e n , n < ?2 =? n ?e , n ≥ ?2 ? ………………6 分
2 n 2 n
? 2

n 2

2 n

2 n = T (1) = e ; 2 n

………3
2 n

n 2

2 n

2 n

2 n

2 n

2 n

?

2

(2) F ( x) = f ( x) ? g ( x) = e x ? 2 x ? m , F ′( x) = e x ? 2 , 故 F ( x) 在 (0,ln 2) 上单调递减;在 (ln 2, +∞) 上单调递增;

………………8 分

故 F ( x) = e x ? 2 x ? m 在 [0,2] 上恰有两个相异实根
? F (0) = 1 ? m > 0 ? ? ? F (ln 2) = 2 ? 2ln 2 ? m < 0 ? 2 ? 2ln 2 < m < 1 ? 2 ? F (2) = e ? 4 ? m > 0

………………11

分 (3)由题设:?x ∈ R, p ( x) = f ( x) ? g ( x) = e x ?
n 2

n 15 x + > 0( ? ) , 2 2

………………12 分

因为 p′( x) = e x ? 故 p( x) 在 (0,ln ) 上单调递减;在 (ln , +∞) 上单调递增; 故( ? ) ? p( x) min 分 设 h( x) = x ? x ln + 15 = x ? x(ln x ? ln 2) + 15 ,则 h′( x) = 1 ? ln ? 1 = ? ln , 故 h( x) 在 (0, 2) 上单调递增;在 (2, +∞) 上单调递减; 而 h(2e 2 ) = 2e 2 ? 2e 2 ln e 2 + 15 = 15 ? 2e 2 > 0 ,且
15 15 15 + 15 = 15(2 ? ln ) = 15(ln e 2 ? ln ) < 0 , 2 2 2 2 故存在 x0 ∈ (2e ,15) 使 h( x0 ) = 0 ,且 x ∈ [2, x0 ) 时 h( x) > 0 , x ∈ ( x0 , +∞) 时 h( x) < 0 ,
h(15) = 15 ? 15ln x 2 x 2 x 2

n n 2 2 n n n n 15 1 n = p (ln ) = ? ln + = (n ? n ln + 15) > 0 , 2 2 2 2 2 2 2

………………13

又 Q h(1) = 16 ? ln > 0 , 7 < e2 <
?

1 2

15 , 2 ………16 分

故 n ∈ N 时使 f ( x) 的图象恒在 g ( x) 图象的上方的最大正整数 n = 14 ;



学 试

题 II(附加题) 附加题)

请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........ 21.本题包括 A、B 两小题,考生都做. ..

A 选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 矩阵与变换(
ur ?1 ? u r u ur r ?1 1? 2 已知矩阵 A = ? ? ,向量 β = ? 2 ? .求向量 α ,使得 A α = β . ? 2 1? ? ? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ? 3 2 ? 2 【解析】 Q A = ? : ………………4 分 ? ,∴ A = ? 2 1? ? 2 1? = ? 4 3 ? ? 2 1? ? ?? ? ? ? u ? x? r u ur r ? 3 2 ? ? x ? ?1 ? ?3x + 2 y ? ?1 ? 设 α = ? ? ,则 A2 α = β ? ? ? ? y ? = ? 2 ? ? ? 4 x + 3 y ? = ? 2 ? …………8 分 ? y? ?4 3? ? ? ? ? ? ? ? ? u ? ?1? r ? 3x + 2 y = 1 ? x = ?1 ∴? ,∴ ? ,∴α = ? ? . ………………10 分 ?4 x + 3 y = 2 ? y = 2 ?2?

B 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 坐标系与参数方程(
1 ? ? x = 2t ? 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以直角坐标 ?y = 2 + 3 t ? ? 2 2 系 xoy 的 O 点为极点, ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线 C 的极坐

π 标方程为 ρ = 2 cos(θ ? ) . 4
(1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB .
1 ? ? cos θ = 2 ? 【解析】设直线 l 的倾斜角为 θ ,则 ? 且 θ ∈ [0, π ) , ?sin θ = 3 ? ? 2 ∴θ =

π

3

,即直线 l 的倾斜角为

π

3

………………5 分

(2) l 的直角坐标方程为 y = 3 x + 2 , 2

π 2 2 2 2 ρ = 2 cos(θ ? ) 的直角坐标方程为 ( x ? ) + (y ? ) = 1,
4
2

2

2

所以圆心 ( 2 , 2 ) 到直线 l 的距离 d = 6 ,∴| AB |= 10
2

……………10 分

4

2

22. 本小题满分 10 分) ( 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?1,1) ,P 是动点,且三角形 POA 的三边所在直线 的斜 率满足 kOP+kOA=kPA. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; uuu r uuu r (2)若 Q 是轨迹 C 上异于点 P 的一个点,且 PQ = λ OA ,直线 OP 与 QA 交于点 M,问:

是否存在点 P 使得△PQA 和△PAM 的面积满足 S?PQA = 2S ?PSM ?若存在,求出点 P 的 坐标;若 不存在,说明理由.
【解析】

( 1 ) 设 点 P ( x, y ) 为 所 求 轨 迹 上 的 任 意 一 点 , 则 由

kOP + kOA = k PA 得,
y 1 y ?1 + = ,整理得轨迹 C 的方程为 y = x 2 ( x ≠ 0 x ?1 x + 1 且 x ≠ ?1 ). ····················································································································· 3 分 2 (2) 设 P ( x1 , x12 ) , Q( x2 , x2 ) ,
:学

由 PQ = λ OA 可知直线 PQ //OA ,则 k PQ = kOA , 故 分 直线 OP 方程为: y = x1 x 直线 QA 的斜率为: ①;
2 2 x2 ? x12 1 ? 0 = ,即 x2 = ? x1 ? 1 , x2 ? x1 ?1 ? 0

uuu v

uuu v

…………5

(? x1 ? 1) ? 1 = ? x1 ? 2 , ? x1 ? 1 + 1 ∴直线 QA 方程为: y ? 1 = (? x1 ? 2)( x + 1) , 即 y = ?( x1 + 2) x ? x1 ? 1 ② 1 1 联立①②,得 x = ? ,∴点 M 的横坐标为定值 ? . …………8 分 2 2 由 S?PQA = 2S ?PAM ,得到 QA = 2 AM ,因为 PQ //OA ,所以 OP = 2OM ,
由 PO = 2OM ,得 x1 = 1 ,∴ P 的坐标为 (1,1) .

uuu r

uuuu r

∴存在点 P 满足 S?PQA = 2S ?PSM , P 的坐标为 (1,1) . 23. 本小题满分 10 分) (

10 分

把所有正整数按上小下大, 左小右大的原则排成如图所示的数表, 其中第 i 行共有 2 个 正整数,设 aij ( i, j ∈ N *) 表示位于这个数表中从上往下数第 i 行,从左往右第 j 个数. (1)求 a69 的值; (2)用 i, j 表示 aij ;
3 (3)记 An = a11 + a22 + a33 + L + ann ( n ∈ N *) ,求证:当 n ≥ 4 时, An > n + Cn .

i?1

【解析】 1) a69 = 25 + (9 ? 1) = 40 ( (2)因为数表中前 i ? 1 行共有 1 + 2 + 2 + L + 2
2 i ?2

…………2 分

=2

i ?1

? 1 个数,则第 i 行的第一
…………5 分
…………6 分

个数 是 2

i?1

,所以 aij = 2

i ?1

+ j ?1

(3)因为 aij = 2i ?1 + j ? 1 ,则 ann = 2n ?1 + n ? 1( n ∈ N *) , 所以 An = (1 + 2 + 22 + L + 2n ?1 ) + ?0 + 1 + 2 + L + ( n ? 1) ? = 2n ? 1 + ? ? 当 n ≥ 4 时, An = (1 + 1) ? 1 +
n

n ( n ? 1)

n ( n ? 1) 2

0 1 2 3 > Cn + Cn + Cn + Cn ? 1 +

2 n ( n ? 1) 2

……8 分

3 = n 2 + Cn .

…………10




相关文章:
...天一中学2012届高三联考数学试题及详细解析.doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学2012届高三联考数学试题及详细解析_数学_高中教育_教育专区。江苏省淮阴中学海门中学、天一中学 2012 届高三联考数学试题 数学...
江苏淮阴中学海门中学天-中学2012届高三联考数学试题和....doc
江苏淮阴中学海门中学天-中学2012届高三联考数学试题详细解析_其它模板_PPT模板_实用文档。江苏淮阴中学海门中学天-中学2012届高三联考数学试题详细解析 ...
江苏省淮阴中学海门中学天一中学高三联考数学考试题详....doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学高三联考数学考试题详细解析_数学_高中教育_教育专区。江苏省淮阴中学海门中学天一中学 2012 届高三联考数学试题 数学试题I一、...
江苏省淮阴中学海门中学天一中学22届高三联考数学考试....doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学22届高三联考数学考试题详细解析_数学_高中教育_教育专区。江苏省淮阴中学海门中学天一中学 2012 届高三联考数学试题 数学试题I ...
江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三三校联....doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学2012届高三三校联考数学试题1_高考_高中教育_教育专区。2013高考数学模拟试卷 江苏省天一中学 淮阴中学 海门中学 2012 届高三联合...
1186-江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三三....doc
1186-江苏省淮阴中学海门中学天一中学2012届高三三校联考数学试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学江苏省天一中学 淮阴中学 海门中学 2012 届高三联合...
江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三三校联....doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学2012届高三三校联考数学试_数学_高中教育_教育专区。江苏省天一中学 淮阴中学 海门中学 2012 届高三联合调研考试 数学 I 一、...
江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三三校联....doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学2012届高三三校联考化学试题 -
江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考化....doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学2012届高三联考化学试题 - 化学试题 本卷
江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三三校联....doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学2012届高三三校联考地理试题 -
江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三三校联....doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学2012届高三三校联考历史试题 - 精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 历史试题...
江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三三校联....doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学2012届高三三校联考历史 - 历史试题 一.
江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考生....doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学2012届高三联考生物试题 - 生物试题 注意
江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三三校联....doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学2012届高三三校联考语文试题 -
江苏省各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(16....doc
江苏省各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(16)选修系列---选修4-2:...(江苏省淮阴中学海门中学天一中学 2012 届高三联考)选修 4-2:矩阵与变换(...
...海门中学、天一中学)四校2015届高三联考数学试题(含....doc
江苏省(南师附中、淮阴中学海门中学天一中学)四校2015届高三联考数学试题(含答案)_高考_高中教育_教育专区。绝密资源(含答案),附上个人针对试题的分析总结及...
江苏省淮阴中学、南师附中、海门中学、天一中学2018届....doc
江苏省淮阴中学、南师附中、海门中学天一中学2018届高三下学期期初“四校联考”生物试题Word版附解析_高中教育_教育专区。江苏省淮阴中学、南师附中、海门中学、...
江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学高三化学三校联考试题.doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学 2012 届高三三校联考化学试 题 本卷满分
江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三三校联....doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学2012届高三三校联考历史试题 - 历 有一项是最符合题目要求的。 史 试 题 一.选择题:本大题共 20 小题,每题 3 分,共...
江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三三校联....doc
江苏省淮阴中学海门中学天一中学 2012 届高三三 校联考地理试题选择题