当前位置:首页 >> 数学 >>

2016年新课标1理数高考试题文档版(含答案)


绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合 A ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ?
2

3 3 3 3 ( ?3, ? ) (1, ) ( ,3) ( ?3, ) 2 (B) 2 (C) 2 (D) 2 (A)
(2)设 (1 ? i) x ? 1 ? yi ,其中 x,y 是实数,则 x ? yi = (A)1(B) 2 (C) 3 (D)2 (3)已知等差数列

{an } 前 9 项的和为 27, a10 =8 ,则 a100 =

(A)100(B)99(C)98(D)97 (4)某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,学.科网小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且 到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 (A) (B) (C) (D) (5)已知方程–=1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是 (A)(–1,3) (B)(–1, 3) (C)(0,3) (D)(0, 3) (6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是, 则它的表面积是 (A)17π (B)18π (C)20π (D)28π (7)函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

(A)

(B)

(C)

(D)

0 ? c ? 1 ,则 (8)若 a ? b ? 1,
c c c c (A) a ? b (B) ab ? ba (C) a logb c ? b loga c (D) loga c ? logb c

第 1 页 共 19 页

(9)执行右面的程序图,如果输入的 x ? 0,y ? 1 ,n ? 1 ,则输出 x,y 的值满足

(A) y ? 2 x (B) y ? 3x (C) y ? 4 x (D) y ? 5 x (10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、 B 两点, 交 C 的标准线于 D、 E 两点.已知|AB|= 4 2 , |DE|= 2 5 , 则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,a//平面 CB1D1, a ? 平面 ABCD=m, a ? 平面 ABA1B1=n, 则 m、n 所成角的正弦值为 (A)

3 2 (B) 2 2

(C)

3 3

(D)

1 3

? ? 12. 已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0,

?
2

), x ? ?

?
4

为 f ( x ) 的零点, x ?

?
4

为 y ? f ( x) 图像的对称

轴,且 f ( x ) 在 ? (A)11

? ? 5? ? , ? 单调,则 ? 的最大值为 ? 18 36 ?
(C)7 (D)5

(B)9

第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24) 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m=. (14) (2 x ?

x )5 的展开式中,x3 的系数是.(用数字填写答案)
满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2…an 的最大值为。

(15)设等比数列

(16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg, 乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元。 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本题满分为 12 分) 第 2 页 共 19 页

? ABC 的内角 A,B,C 的对边分别别为 a,b,c,已知 2cos C (a cos B+b cos A) ? c.
(I)求 C; (II)若 c ? 7,? ABC 的面积为 (18) (本题满分为 12 分) 如图,在已 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD, ?AFD ? 90? ,且二 面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60? . (I)证明平面 ABEF ? EFDC; (II)求二面角 E-BC-A 的余弦值. (19) (本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后 即被淘汰 . 机 器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备 件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台 这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

3 3 ,求 ? ABC 的周长. 2

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器 三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (I)求 X 的分布列; (II)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一,应选用哪个? 20. (本小题满分 12 分) 设圆 x ? y ? 2x ?15 ? 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B
2 2

作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程;

第 3 页 共 19 页

(II)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,学科&网过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围. (21) (本小题满分 12 分)

已知函数 (I)求 a 的取值范围; (II)设 x1,x2 是

有两个零点.

的两个零点,证明:

+x2<2.

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以⊙O 为圆心, (I)证明:直线 AB 与 O 相切; (II)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD.

OA 为半径作圆.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数,a>0) 。在以坐标原点为极点,x

轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cosθ. (I)说明 C1 是哪种曲线,学.科.网并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tanα0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a。 (24) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣. (I)在答题卡第(24)题图中画出 y= f(x)的图像; (II)求不等式∣f(x)∣﹥1 的解集。

2016 年新课标 I 高考数学(理科)答案与解析

第 4 页 共 19 页

? 3? 1. A ? x x2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? ?x 1 ? x ? 3? , B ? ? x 2 x ? 3 ? 0? ? ? x x ? ? . 2? ? ? 3 ? 故 A ? B ? ? x ? x ? 3? . 2 ? ?

?

?

故选 D.

?x ? 1 ?x ? 1 2. 由 ?1 ? i ? x ? 1 ? yi 可知: x ? xi ? 1 ? yi ,故 ? ,解得: ? . ?y ?1 ?x ? y

所以, x ? yi ? x2 ? y2 ? 2 . 故选 B.
9 ? a1 ? a9 ? 2 9 ? 2a5 ? 9a5 ? 27 ,故 a5 ? 3 , 2

3. 由等差数列性质可知: S9 ? 而 a10 ? 8 ,因此公差 d ? ∴ a100 ? a10 ? 90d ? 98 . 故选 C. 4. 如图所示,画出时间轴:

?

a10 ? a5 ?1 10 ? 5

7:30

7:40

7:50 A

8:00 C

8:10

8:20 D

8:30 B

小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中,而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时,才能保证他 等车的时间不超过 10 分钟 根据几何概型,所求概率 P ? 故选 B.
x2 y2 2 2 ? ? 1 表示双曲线,则 m ? n 3m ? n ? 0 m2 ? n 3m2 ? n

10 ? 10 1 ? . 40 2

5.

?

??

?

∴ ?m2 ? n ? 3m2 由双曲线性质知: c2 ? m2 ? n ? 3m2 ? n ? 4m2 ,其中 c 是半焦距 ∴焦距 2c ? 2 ? 2 m ? 4 ,解得 m ? 1 ∴ ?1 ? n ? 3 故选 A. 第 5 页 共 19 页

?

? ?

?

6. 原立体图如图所示:

1 是一个球被切掉左上角的 后的三视图 8 7 表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和 8
7 1 S = ? 4? ? 22 +3 ? ? ? 22 =17? 8 4 故选 A.
7. f ? 2? ? 8 ? e2 ? 8 ? 2.82 ? 0 ,排除 A

f ? 2? ? 8 ? e2 ? 8 ? 2.72 ? 1 ,排除 B
x ? 0 时, f ? x ? ? 2x2 ? e x

1 ? 1? f ? ? x ? ? 4x ? e x ,当 x ? ? 0, ? 时, f ? ? x ? ? ? 4 ? e0 ? 0 4 4 ? ?
? 1? 因此 f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,排除 C ? 4?

故选 D.

8. 对 A: 由于 0 ? c ? 1 ,∴函数 y ? x c 在 R 上单调递增,因此 a ? b ? 1 ? ac ? bc ,A 错误 对 B: 由于 ?1 ? c ? 1 ? 0 ,∴函数 y ? xc ?1 在 ?1, ?? ? 上单调递减, ∴ a ? b ? 1 ? ac ?1 ? bc ?1 ? bac ? abc ,B 错误 a ln c b ln c ln c ln c 对 C: 要比较 a logb c 和 b log a c ,只需比较 和 ,只需比较 和 ,只需 b ln b 和 a ln a ln b ln a b ln b a ln a 构 造 函 数 f ? x ? ? x ln x ? x ? 1? , 则 f ' ? x? ? ln x ? 1? 1? 0 , f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上 单 调 递 增 , 因 此

第 6 页 共 19 页

1 1 ? a ln a b ln b ln c ln c 又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 ,∴ ? ? b loga c ? a logb c ,C 正确 a ln a b ln b ln c ln c 对 D: 要比较 log a c 和 log b c ,只需比较 和 ln a ln b 1 1 而函数 y ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 a ? b ? 1 ? ln a ? ln b ? 0 ? ? ln a ln b ln c ln c 又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 ,∴ ? ? loga c ? logb c ,D 错误 ln a ln b f ? a ? ? f ? b ? ? 0 ? a ln a ? b ln b ? 0 ?
故选 C. 9. 如下表: 循环节运 行次数 运行前 第一次 第二次 第三次 输出 x ?
n ?1? ? x? x ? x ? ? 2 ? ?

y ? y ? ny ?
1

判断

x ? y ? 36
2 2

是否 输出 / 否 否 是

n ? n ? n ? 1?
1

0 0

/ 否 否 是

1 2
6

2
3

1 2 3 2

3 , y ? 6 ,满足 y ? 4 x 2 故选 C.
10.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理 设抛物线为 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? ,设圆的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 ,题目条件翻译如图:

F

? p ? 设 A x0 , 2 2 , D ? ? , 5 ? , ? 2 ?

? ? 点 A ? x , 2 2 ? 在抛物线 y
0

2

? 2 px 上,∴ 8 ? 2 px0 ……①
2

? p ? ? p? 点 D ? ? , 5 ? 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上,∴ 5 ? ? ? ? r 2 ……② ? 2 ? ?2?

第 7 页 共 19 页

2 点 A x0 , 2 2 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上,∴ x0 ? 8 ? r 2 ……③

?

?

联立①②③解得: p ? 4 ,焦点到准线的距离为 p ? 4 . 故选 B. 11. 如图所示:

D α A B

C

D1 A1 B1

C1

∵ ?∥平面CB1 D1 ,∴若设平面 CB1 D1 ? 平面 ABCD ? m1 ,则 m1∥m 又∵平面 ABCD ∥平面 A1 B1C1 D1 ,结合平面 B1 D1C ? 平面 A1 B1C1 D1 ? B1 D1 ∴ B1 D1∥m1 ,故 B1 D1∥m 同理可得: CD1∥n 故 m 、 n 的所成角的大小与 B1 D1 、 CD1 所成角的大小相等,即 ?CD1 B1 的大小. 而 B1C ? B1 D1 ? CD1 (均为面对交线) ,因此 ?CD1B1 ? 故选 A. 12.由题意知:
? π ? ? +? ? k1 π ? ? 4 ? ? π ? +? ? k π+ π 2 ? ?4 2

?
3

,即 sin ?CD1 B1 ?

3 . 2

则 ? ? 2 k ? 1 ,其中 k ? Z

5? ? π T ? π 5π ? ? f ( x) 在 ? , ? 单调,? ? ? ? , ? ? 12 36 18 12 2 ? 18 36 ?
接下来用排除法

π? π ? ? π 3π ? ? 3π 5 π ? 若 ? ? 11,? ? ? ,此时 f ( x) ? sin ?11x ? ? , f ( x) 在 ? , ? 递增,在 ? , ? 递减,不满足 f ( x) 在 4 18 44 4 ? ? ? ? ? 44 36 ? ? π 5π ? ? , ? 单调 ? 18 36 ?
第 8 页 共 19 页

若 ? ? 9,? ? 故选 B.

π? π ? ? π 5π ? ,此时 f ( x) ? sin ? 9 x ? ? ,满足 f ( x) 在 ? , ? 单调递减 4? 4 ? ? 18 36 ?

? ? 13.由已知得: a ? b ? ? m ? 1,3?

? ?2 ?2 ?2 2 ∴ a ? b ? a ? b ? ? m ? 1? ? 32 ? m2 ? 12 ? 12 ? 22 ,解得 m ? ?2 .

14.设展开式的第 k ? 1 项为 Tk ?1 , k ??0,1,2,3,4,5?
k ∴ Tk ?1 ? C5 ? 2x ? 5? k

? x?

k

k 5? k ? C5 2 x

5?

k 2


4

5? k 4 5? 4 2 x 2 ? 10 x3 ? 3 时, k ? 4 ,即 T5 ? C5 2 故答案为 10.

当5?

15.由于 ?an ? 是等比数列,设 an ? a1qn?1 ,其中 a1 是首项, q 是公比.

?a1 ? 8 2 ?a ? a ? 10 ? ?a1 ? a1q ? 10 ? ∴? 1 3 ,解得: ?? ? 1. 3 a ? a ? 5 q? a q ? a q ? 5 ? 1 ? 2 4 ? ? 1 ? 2
?1? 故 an ? ? ? ?2?
n?4

?1? ,∴ a1 ? a2 ? ... ? an ? ? ? ?2?

? ?3? ? ? ?2 ? ?...? ? n ? 4 ?

? 1 ?2 ?? ? ?2?

1

n? n ? 7 ?

?? ? 1 ?2? ?? ? ?2? 1 ?? 7?
2

1 ?? 7 ? 49 ? ?? n ? ? ? ? 2? 4? ?
2

?? n ? ? 2 ? 1 ?2? 1 ?? 7 ? 49 ? ?? 2 ? 当 n ? 3 或 4 时, ?? n ? ? ? ? 取到最小值 ?6 ,此时 ? ? 2? 2? 4? ?2? ?? ?

?

49 ? ? 4? ?

取到最大值 2 6 .

所以 a1 ? a2 ? ... ? an 的最大值为 64.

16.设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,构造线性规则 约束为
?1.5 x ? 0.5 y ≤ 150 ? ? x ? 0.3 y ≤ 90 ?5 x ? 3 y ≤ 600 ? ? ?x ≥ 0 ?y≥0 ? ?x ? N * ? * ? ?y? N

目标函数 z ? 2100 x ? 900 y 第 9 页 共 19 页

作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为 (60,100) (0, 200) (0, 0) (90,0)

在 (60,100) 处取得最大值, z ? 2100 ? 60 ? 900 ? 100 ? 216000

17.⑴ 2cos C ? a cos B ? b cos A? ? c 由正弦定理得: 2cos C ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A? ? sin C

2cos C ? sin ? A ? B ? ? sin C
∵ A ? B ? C ? π , A 、B 、C ? ? 0 ,π ? ∴ sin ? A ? B ? ? sin C ? 0 ∴ 2cos C ? 1 , cos C ? ∵ C ? ? 0 ,π ? ∴C ?

1 2

π 3 1 2

⑵ 由余弦定理得: c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cos C

7 ? a2 ? b2 ? 2ab ?

? a ? b?
S?

2

? 3ab ? 7

1 3 3 3 ab ? sin C ? ab ? 2 4 2

∴ ab ? 6 ∴ ? a ? b ? ? 18 ? 7
2

a?b?5

∴ △ ABC 周长为 a ? b ? c ? 5 ? 7 第 10 页 共 19 页

18.⑴ ∵ ABEF 为正方形 ∴ AF ? EF ∵ ?AFD ? 90? ∴ AF ? DF ∵ DF ? EF =F ∴ AF ? 面 EFDC

AF ? 面 ABEF
∴平面 ABEF ? 平面 EFDC

⑵ 由⑴知
?DFE ? ?CEF ? 60?

∵ AB ∥EF
AB ? 平面 EFDC

EF ? 平面 EFDC
∴ AB ∥平面 ABCD

AB ? 平面 ABCD
∵面 ABCD ? 面 EFDC ? CD ∴ AB ∥ CD ∴ CD ∥ EF ∴四边形 EFDC 为等腰梯形 以 E 为原点,如图建立坐标系,设 FD ? a

E ?0 , 0, 0?

B ?0 , 2a , 0?

?a 3 ? C? 0, a? ?2, 2 ? ? ?

A? 2 a, 2 a , ?0

??? ? ?a ??? ? ? 3 ? ??? , ? 2 a , a , EB ? ? 0 , 2a , 0? , BC ? ? AB ? ? ?2a , 0, 0? ? ?2 2 ? ? ?
?? 设面 BEC 法向量为 m ? ? x ,y ,z ? .

第 11 页 共 19 页

?? ??? ? ?2a ? y1 ? 0 ? ?m ? EB ? 0 ? ,即 ? a ? ? ?? ??? 3 a ? z1 ? 0 ? ? ? x1 ? 2ay1 ? ?m ? BC ? 0 ?2 2

x1 ? 3 ,y1 ? 0 ,z1 ? ?1
?? m?

?

3 ,0 ,? 1

?

? 设面 ABC 法向量为 n ? ? x2 ,y2 ,z2 ?

? ??? ? ?a 3 ? az2 ? 0 ?n ? BC =0 ? x ? 2ay2 ? .即 ? 2 2 ? 2 ? ? ??? ? ?2ax ? 0 ?n ? AB ? 0 ? 2

x2 ? 0 ,y2 ? 3 ,z2 ? 4
? n ? 0 , 3 ,4

?

?

设二面角 E ? BC ? A 的大小为 ? . ?? ? m?n ?4 2 19 cos? ? ?? ? ? ?? 19 3 ? 1 ? 3 ? 16 m?n

∴二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 ?

2 19 19

19.⑴ 每台机器更换的易损零件数为 8,9,10,11 记事件 Ai 为第一台机器 3 年内换掉 i ? 7 个零件 ? i ? 1, 2,3, 4 ? 记事件 Bi 为第二台机器 3 年内换掉 i ? 7 个零件 ? i ? 1, 2,3, 4 ? 由题知 P ? A1 ? ? P ? A3 ? ? P ? A4 ? ? P ? B1 ? ? P ? B3 ? ? P ? B4 ? ? 0.2 , P ? A2 ? ? P ? B2 ? ? 0.4 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X ,则 X 的可能的取值为 16,17,18,19,20, 21,22

P ? X ? 16? ? P ? A1 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04

P ? X ? 17 ? ? P ? A1 ? P ? B2 ? ? P ? A2 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.16
P ? X ? 18? ? P ? A1 ? P ? B3 ? ? P ? A2 ? P ? B2 ? ? P ? A3 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.24 P ? X ? 19? ? P ? A1 ? P ? B4 ? ? P ? A2 ? P ? B3 ? ? P ? A3 ? P ? B2 ? ? P ? A4 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ?0.2 ? 0.4 ? 0.24

P ? X ? 20? ? P ? A2 ? P ? B4 ? ? P ? A3 ? P ? B3 ? ? P ? A4 ? P ? B2 ? ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 P ? x ? 21? ? P ? A3 ? P ? B4 ? ? P ? A4 ? P ? B3 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.08
P ? x ? 22? ? P ? A4 ? P ? B4 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04

X P

16 0.04

17 0.16

18 0.24

19 0.24

20 0.2

21 0.08

22 0.04

第 12 页 共 19 页

⑵ 要令 P ? x ≤ n ? ≥ 0.5 ,? 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.5 , 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.24 ≥ 0.5 则 n 的最小值为 19 ⑶ 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购 买的费用 当 n ? 19 时,费用的期望为 19 ? 200 ? 500 ? 0.2 ? 1000 ? 0.08 ? 1500 ? 0.04 ? 4040 当 n ? 20 时,费用的期望为 20 ? 200 ? 500 ? 0.08 ? 1000 ? 0.04 ? 4080 所以应选用 n ? 19

20.⑴ 圆 A 整理为 ? x ? 1? ? y2 ? 16 ,A 坐标 ? ?1,0? ,如图, y
2
5 4

3

2

C
x

1

A
8 6 4 2

B
1

2

4

E

2

3

D
4

? BE∥AC ,则 ∠C ? ∠EBD ,由 AC ? AD, 则∠D ? ∠C ,
?∠EBD ? ∠D, 则 EB ? ED

?AE ? EB ? AE ? ED ? AD ? 4
所以 E 的轨迹为一个椭圆,方程为 ⑵ C1 :
x2 y 2 ? ? 1 ;设 l : x ? my ? 1 , 4 3
x2 y 2 ? ? 1 ,( y ? 0 ); 4 3

因为 PQ⊥l ,设 PQ : y ? ?m ? x ? 1? ,联立 l与椭圆C1
? x ? my ? 1 ? 2 得 3m2 ? 4 y2 ? 6my ? 9 ? 0 ; ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4

?

?

则 | MN |? 1 ? m2 | yM ? yN |? 1 ? m2

36m2 ? 36 ? 3m2 ? 4 ? 3m2 ? 4

?

12 ? m2 ? 1? 3m2 ? 4



第 13 页 共 19 页

y
5

P

4

3

2

1

N
x

A
8 6 4 2

B
1

2

4

M

Q
2 3

4

圆心 A 到 PQ 距离 d ?

| ?m ? ?1 ? 1? | 1? m
2

?

| 2m | 1 ? m2



所以 | PQ |? 2 | AQ |2 ?d 2 ? 2 16 ?

4m2 4 3m2 ? 4 , ? 2 1? m 1 ? m2

? S MPNQ

2 1 1 12 ? m ? 1? 4 3m 2 ? 4 24 m 2 ? 1 1 ? | MN | ? | PQ |? ? ? ? ? 24 ?? 2 ?12,8 3 2 2 1 2 2 3m ? 4 1? m 3m ? 4 3? 2 m ?1

?

21.⑴ 由已知得: f ' ? x ? ? ? x ? 1? ex ? 2a ? x ? 1? ? ? x ? 1? ex ? 2a

?

?

① 若 a ? 0 ,那么 f ? x ? ? 0 ? ? x ? 2? ex ? 0 ? x ? 2 , f ? x ? 只有唯一的零点 x ? 2 ,不合题意; ② 若 a ? 0 ,那么 e x ? 2a ? e x ? 0 , 所以当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增 当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减 即:
x

? ??,1?
?

1
0

?1, ?? ?
?

f '? x?
f ? x?



极小值



故 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上至多一个零点,在 ? ??,1? 上至多一个零点

第 14 页 共 19 页

由于 f ? 2? ? a ? 0 , f ?1? ? ?e ? 0 ,则 f ? 2 ? f ?1? ? 0 , 根据零点存在性定理, f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上有且仅有一个零点. 而当 x ? 1 时, e x ? e , x ? 2 ? ?1 ? 0 , 故 f ? x ? ? ? x ? 2? ex ? a ? x ? 1? ? e ? x ? 2? ? a ? x ? 1? ? a ? x ? 1? ? e ? x ? 1? ? e
2 2 2

则 f ? x ? ? 0 的两根 t1 ?
2

?e ? e2 ? 4ae ?e ? e2 ? 4ae ? 1 ,t2 ? ? 1 , t1 ? t2 ,因为 a ? 0 ,故当 x ? t1 2a 2a

或 x ? t2 时, a ? x ? 1? ? e ? x ? 1? ? e ? 0 因此,当 x ? 1 且 x ? t1 时, f ? x ? ? 0 又 f ?1? ? ?e ? 0 ,根据零点存在性定理, f ? x ? 在 ? ??,1? 有且只有一个零点. 此时, f ? x ? 在 R 上有且只有两个零点,满足题意.

e ③ 若 ? ? a ? 0 ,则 ln ? ?2a ? ? ln e ? 1 , 2
当 x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? ln ? ?2a ? ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 即 f ' ? x ? ? ? x ? 1? ex ? 2a ? 0 , f ? x ? 单调递增; 当 ln ? ?2a ? ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 调递减; 当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 即:
x
ln ? ?2 a ? ln ? ?2 a ? ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,

?

?

? 2a ? 0 ,即 f ' ?x ? ? ?x ? 1 ? ? e x? 2 a ?? 0 , f ? x ? 单

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增.

? ??,ln ? ?2a ??
+ ↑

ln ? ?2a ?
0 极大值

? ln ? ?2a ? ,1?


1
0 极小值

?1, ?? ?
+ ↑

f '? x? f ? x?
而极大值

f? ?ln ? ?2a ?? ? ? ?2a ? ?ln ? ?2a ? ? 2? ? ? a? ?ln ? ?2a ? ? 1? ? ?a ? ?ln ? ?2a ? ? 2? ? ?1 ? 0
2 2

?

?

故当 x≤1 时, f ? x ? 在 x ? ln ? ?2a ? 处取到最大值 f ? 那么 f ? x ?≤f ? ?ln ? ?2a ?? ? ? 0 恒成立, ?ln ? ?2a ?? ?, 即 f ? x ? ? 0 无解

第 15 页 共 19 页

而当 x ? 1 时, f ? x ? 单调递增,至多一个零点 此时 f ? x ? 在 R 上至多一个零点,不合题意.

e ④ 若 a ? ? ,那么 ln ? ?2a ? ? 1 2
当 x ? 1 ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
当 x ? 1 ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
又 f ? x ? 在 x ? 1 处有意义,故 f ? x ? 在 R 上单调递增,此时至多一个零点,不合题意.

e ⑤ 若 a ? ? ,则 ln ? ?2a ? ? 1 2
当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e1 ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
当 1 ? x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递减
当 x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? ln ? ?2a ? ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
即:
x

? ??,1?
+ ↑

1
0 极大值

?1,ln ? ?2a ??


ln ? ?2a ?
0 极小值

?ln ? ?2a? , ???
+ ↑

f '? x?

f ? x?

故当 x≤ln ? ? 2a ? 时 , f ? x ? 在 x ? 1 处 取到最大值 f ?1? ? ?e , 那么 f ? x ?≤ ? e ? 0 恒成 立,即

f ? x ? ? 0 无解
当 x ? ln ? ?2a ? 时, f ? x ? 单调递增,至多一个零点 此时 f ? x ? 在 R 上至多一个零点,不合题意. 第 16 页 共 19 页

综上所述,当且仅当 a ? 0 时符合题意,即 a 的取值范围为 ? 0, ?? ? .

⑵ 由已知得: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,不难发现 x1 ? 1 , x2 ? 1 , 故可整理得: ?a ?

? x1 ? 2? e x 2 ? x1 ? 1?

1

?

? x2 ? 2? e x 2 ? x2 ? 1?

2

设 g ? x? ?

? x ? 2? ex ,则 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 2 ? x ? 1?
? x ? 2? ? 1 x ,当 x ? 1 时, g ' x ? 0 , g x 单调递减;当 x ? 1 时, g ' x ? 0 , g x 单 e ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? x ? 1?
2

那么 g ' ? x ? ? 调递增.

设 m ? 0 ,构造代数式:
g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? ? m ? 1 1? m ?m ? 1 1? m 1 ? m 1? m ? m ? 1 2 m ? e ? e ? 2 e ? e ? 1? m2 m2 m ? m ?1 ?

设 h ? m? ? 则 h ' ? m? ?

m ? 1 2m e ? 1, m ? 0 m ?1
2m2

? m ? 1?

2

e2m ? 0 ,故 h ? m ? 单调递增,有 h ? m? ? h ? 0? ? 0 .

因此,对于任意的 m ? 0 , g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? . 由 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 可知 x1 、 x 2 不可能在 g ? x ? 的同一个单调区间上,不妨设 x1 ? x2 ,则必有 x1 ? 1 ? x2 令 m ? 1 ? x1 ? 0 ,则有 g ? ?1 ? ?1 ? x1 ?? ? ? g? ?1 ? ?1 ? x1 ?? ? ? g ? 2 ? x1 ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? 而 2 ? x1 ? 1 , x2 ? 1 , g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,因此: g ? 2 ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 整理得: x1 ? x2 ? 2 .

22.⑴ 设圆的半径为 r ,作 OK ? AB 于 K
?AOB ? 120? ∵ OA ? OB ,

∴ OK ? AB , ?A ? 30? , OK ? OA ? sin30? ? ∴ AB 与 ⊙O 相切 ⑵ 方法一: 假设 CD 与 AB 不平行
CD 与 AB 交于 F

OA ?r 2

第 17 页 共 19 页

FK 2 ? FC ? FD ①
∵ A 、B 、C 、D 四点共圆 ∴ FC ? FD ? FA ? FB ? ? FK ? AK ?? FK ? BK ? ∵ AK ? BK ∴ FC ? FD ? ? FK ? AK ?? FK ? AK ? ? FK 2 ? AK 2 ② 由①②可知矛盾 ∴ AB ∥ CD

方法二: 因为 A, B, C , D四点共圆,不妨设圆心为 T ,因为 OA ? OB, TA ? TB, 所以 O, T 为 AB 的中垂线上,同 理 OC ? OD, TC ? TD, 所以 OT 为CD 的中垂线,所以 AB∥CD .

? x ? a cos t 23.⑴ ? ( t 均为参数) ? y ? 1 ? a sin t

∴ x2 ? ? y ? 1? ? a2 ①
2

1? 为圆心, a 为半径的圆.方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ∴ C1 为以 ? 0 ,
∵ x2 ? y 2 ? ? 2 ,y ? ? sin ? ∴ ? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a2 ? 0 ⑵ C2 :? ? 4cos ? 两边同乘 ? 得 ? 2 ? 4? cos? ? ? 2 ? x2 ? y 2 ,? cos? ? x 即为 C1 的极坐标方程

? x2 ? y 2 ? 4 x
即 ? x ? 2? ? y 2 ? 4 ②
2

第 18 页 共 19 页

C3 :化为普通方程为 y ? 2 x
由题意: C1 和 C2 的公共方程所在直线即为 C3 ①—②得: 4 x ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ,即为 C3 ∴ 1 ? a2 ? 0 ∴ a ?1 24.⑴ 如图所示:

? ? x ? 4 ,x ≤ ?1 ? 3 ? ⑵ f ? x ? ? ?3x ? 2 ,? 1 ? x ? 2 ? 3 ? 4 ? x ,x ≥ ? ? 2
f ? x? ? 1

当 x ≤ ?1 , x ? 4 ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3
∴ x ≤ ?1

3 1 , 3x ? 2 ? 1,解得 x ? 1 或 x ? 2 3 1 3 ∴?1 ? x ? 或 1 ? x ? 3 2 3 当 x ≥ , 4 ? x ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3 2 3 ∴ ≤ x ? 3或 x ? 5 2 1 综上, x ? 或 1 ? x ? 3 或 x ? 5 3 1? ? ∴ f ? x ? ? 1 ,解集为 ? ?? , ? ? ?1 ,3? ? ? 5 ,? ? ? 3? ?
当 ?1 ? x ?

第 19 页 共 19 页


相关文章:
2016年新课标1理数高考试题文档版(含答案)资料.doc
2016年新课标1理数高考试题文档版(含答案)资料 - 绝密★启封并使用完毕前
2016年新课标1理数高考试题文档版(含答案).doc
2016年新课标1理数高考试题文档版(含答案) - 绝密★启封并使用完毕前 试题
2016年新课标1理数高考试题文档版(含答案).doc
2016年新课标1理数高考试题文档版(含答案)_数学_高中教育_教育专区。绝密★
2016年新课标1理数高考试题word版(含详细答案).doc
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2016年新课标1理数高考试题word版(含详细答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016年新课标1理数高考试题word版(含详细答...
2016年新课标Ⅰ理数高考试题文档版(含答案).doc
2016年新课标理数高考试题文档版(含答案)_高考_高中教育_教育专区。201
2016年新课标Ⅲ理数高考试题文档版(含答案).doc
2016年新课标理数高考试题文档版(含答案) - 绝密★启封并使用完毕前 试题
2016年新课标全国卷Ⅰ(1卷)理科数学高考试题文档版Word....doc
2016年新课标全国卷Ⅰ(1卷)理科数学高考试题文档版Word(含答案)_高考_
2016年新课标Ⅱ理数高考试题文档版(含答案).doc
2016年新课标理数高考试题文档版(含答案)_高考_高中教育_教育专区。2016年新课标Ⅱ理数高考试题 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学注意事项: 1.本...
(精校版)2016年新课标Ⅲ理数高考试题文档版(含答案).doc
(精校版)2016年新课标理数高考试题文档版(含答案) - 绝密★启用前 试题
2016年新课标1理数高考试题文档版(含答案).doc
2016年新课标1理数高考试题文档版(含答案) - 2016 年普通高等学校招生
(精校版)2016年新课标Ⅲ理数高考试题文档版(含答案).doc
(精校版)2016年新课标理数高考试题文档版(含答案) - 绝密★启用前 试题
(精校版)2016年新课标Ⅰ理数高考试题文档版(含答案).doc
(精校版)2016年新课标理数高考试题文档版(含答案) - 绝密★启用前 试题
2016年新课标Ⅲ理数高考试题文档版(含答案).doc
2016年新课标理数高考试题文档版(含答案)_高考_高中教育_教育专区。绝密★
(精校版)2016年新课标Ⅲ理数高考试题文档版(word含答案).doc
(精校版)2016年新课标理数高考试题文档版(word含答案)_数学_高中教育
(精校版)2016年新课标Ⅱ理数高考试题文档版(含答案).doc
(精校版)2016年新课标理数高考试题文档版(含答案)_高考_高中教育_教育专
(精校版)2017年新课标Ⅲ理数高考试题文档版(含答案).doc
(精校版)2017年新课标理数高考试题文档版(含答案) - 绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ) 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必...
(精校版)2017年新课标Ⅰ理数高考试题文档版(含答案).doc
(精校版)2017年新课标理数高考试题文档版(含答案) - 绝密★启用前 20
(精校版)2018年新课标Ⅰ理数高考试题文档版(含答案).doc
(精校版)2018年新课标理数高考试题文档版(含答案) - 绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名...
2016年新课标Ⅲ理数高考试题文档版(无答案).doc
2016年新课标理数高考试题文档版(答案) - 绝密★启封并使用完毕前 试题
(精校版)2017年新课标Ⅱ理数高考试题文档版(含答案)_图文.doc
(精校版)2017年新课标理数高考试题文档版(含答案) - 绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、...
更多相关标签: