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高考数学 课本例题习题改编 新人教A版选修2-1

人教 A 版选修 2-1 课本例题习题改编
1. 原题(选修 2-1 第四十一页例 3)改编 已知点 A、B 的坐标分别是 A(0,-1) ,B(0,1) , 直线 AM、BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是-t,t∈(0,1].求 M 的轨迹方程,并说明曲 线的类型. 解:设 M(x,y) ,则 k B M ?
y ? ( ? 1) x?0

y ?1 x?0
2

(x≠0), k A M ?
x
2

y ? ( ? 1) x?0

(x≠0), k B M k A M =-t,

y ?1 x?0

?

=-t(x≠0),整理得 y ?

1 t

? 1(x≠0)(1)当 t∈(0,1)时,M 的轨迹为椭圆(除

去 A 和 B 两点)(2)当 t=1 时,M 的轨迹为圆(除去 A 和 B 两点) ; . 2. 原题(选修 2-1 第四十七页例 7)改编 在直线 l : x ? y ? 4 ? 0 上任取一点 M,过点 M 且
y
2

以双曲线 x ?
2

? 1 的焦点为焦点作椭圆.(1)M 点在何处时,所求椭圆长轴最短; (2)求长

3

轴最短时的椭圆方程. 解:(1) a
x
2
2

? 1, b

2

? 3 ,? c

2

? a

2

? b

2

? 4 . 故双曲线

?


y

2

3

? 1 的两焦点 F 1 ( ? 2 , 0 ), F 2 ( 2 , 0 ), 过 F 2 向 l 引垂直
‘ 2

线 l : y ? x ? 2 ,求出 F 2 关于 l 的对称点 F 坐标为 (4, (如图) 直线 F 1 F 2) ,
‘ 2

,则 F

‘ 2



的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 。

5 ? x ? , ? ? x ? 3 y ? 2 ? 0, ? 2 ∴? ,解得 ? ? x ? y ? 4 ? 0. ?y ? 3. ? 2 ?

∴ M ( , ) 即为所
2 2

5 3

求的点.此时, MF 1 ? MF 2 ? MF 1 ? MF (2)设所求椭圆方程为
x
2

' 2

? F1 F

' 2

= 2 10
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ,∴

a ?

10 , c ? 2 , ∴ b

? a

2

? c

2

? 10 ? 4 ? 6 . ∴所

求椭圆方程为

?

y

2

? 1.

10

6

3. 原题 (选修 2-1 第四十九页习题 2.2A 组第八题) 改编

已知椭圆与双曲线 2 x ? 2 y ? 1
2 2

共焦点,且过( 2 ,0) (1)求椭圆的标准方程. (2)求斜率为 2 的一组平行弦的中点轨迹 方程.

用心 爱心 专心

-1-

解: (1)依题意得,将双曲线方程标准化为

x

2

1 2
x a x
2 2 2

?

y

2

=1,则 c=1.∵椭圆与双曲线共焦点,∴

1 2

设椭圆方程为

?

y
2

2

a ?1

=1,∵椭圆过( 2 ,0) ,∴

2 a
2

?

0 a ?1
2

=1,即 a =2,∴椭圆方程
2



? y =1.
2

2

(2) 依题意, 设斜率为 2 的弦所在直线的方程为 y=2x+b, 弦的中点坐标为 (x, , y=2x+b y) 则 且
x
2

2

? y =1 得 9 x ? 8 b x ? 2 b ? 2 ? 0 , x 1 ? x 2 ? ? ∴
2

2

2

8b 9

, 1 ? y2 ? y

2b 9

. x= ? 即

4b 9

, y=

b 9



两式消掉 b 得 y= ?

1 4

x.令△=0, 6 4 b ? 3 6 ( 2 b ? 2 ) ? 0 ,即 b=±3,所以斜率为 2 且与椭
2 2

圆相切的直线方程为 y=2x±3,即当 x=± 点轨迹方程为:y= ?
1 4

4 3

时斜率为 2 的直线与椭圆相切.所以平行弦得中

x( ?

4 3

≤x≤

4 3

) .
x
2

4.原题(选修 2-1 第六十一页习题 2.3A 组第一题)改编

F 1 、 F 2 是双曲线

?

y

2

? 1的

16

20

焦点,点 P 在双曲线上,若点 P 到焦点 F 1 的距离等于 9,则点 P 到焦点 F 2 的距离等于
x
2

解:∵双曲线

?

y

2

16

20

? 1 得:a=4,由双曲线的定义知||P F 1 |-|P F 2 ||=2a=8,|P F 1 |=9,

∴|P F 2 |=1<(不合,舍去)或|P F 2 |=17,故|P F 2 |=17. 5.原题(选修 2-1 第六十二页习题 2.3B 组第四题)改编 线x ?
2

经过点 A(2,1)作直线 L 交双曲

y

2

2

? 1 于 P1 , P 2 两点,求线段 P1 P 2 的中点 P 的轨迹方程.

解 : 设 直 线 L 的 方 程 为 y=k ( x-2 ) +1 , 1 ) 将 ( 1 ) 式 代 入 双 曲 线 方 程 , 得 : ( ;
(2 ? k ) x ? (4k
2 2 2

? 2k )x ? 4k

2

? 4k ? 3 ? 0 , (2) ;

又设 P1 ( x 1 , y 1 ) P 2 ( x 2 , y 2 ) , ,P(x,y),则 x 1 , x 2 必须是(2)的两个实根,所以有
4k k
2 2

x1 + x 2 =

? 2k ? 2

( k -2≠0).按题意,x=
2

x1 ? x 2 2

,∴x=

2k k
2

2

? k ? 2

.因为(x,y)在直线(1)

上,所以 y=k(x-2)+1= k (

2k k
2

2

? k ? 2

? 2 ) +1=

2 ( 2 k ? 1) k
2

? 2

.再由 x,y 的表达式相除后消去 k 而得所
-2-

用心 爱心 专心

求轨迹的普通方程为

8 ( x ? 1) 7

2

4( y ? ? 7

1 2

)

2

? 1 ,这就是所求的轨迹方程.

6.原题(选修 2-1 第七十二页练习题 3)改编 物线 y
2

过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与抛

? 2 px ( p ? 0 ) 交于不同的两点 A、B,试确定实数 a 的取值范围,使 | A B |? 2 p .
2

解:由题意,直线 l 的方程为 y ? x ? a ,将 y ? x ? a 代入 y
x
2

? 2 px ,得

? 2(a ? p ) x ? a

2

? 0.

设直线 l 与抛物线的两个交点的坐标为 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,
?4(a ? p ) ? 4a ? 0, ? ? x 1 ? x 2 ? 2 ( a ? p ),
2 2



又 y1 ? x1 ? a , y 2 ? x 2 ? a ,

? 2 ? x1 x 2 ? a .

∴ | AB | ?

( x1 ? x 2 )

2

? ( y1 ? y 2 )

2

?

2 [( x 1 ? x 2 )

2

? 4 x1 x 2 ] ?

8 p( p ? 2a) .

∵ 0 ? | AB |? 2 p , 8 p ( p ? 2 a ) ? 0 , 解得 ?
p 2 ? a ? ? p 4

∴ 0?
p 4

8 p( p ? 2a) ? 2 p .

. 故 a ? (?

p 2

,?

] 时,有 | A B |? 2 p .

7. 原题(选修 2-1 第七十三页习题 2.4A 组第六题)改编 A、B 两点,O 为抛物线的顶点,若 OA⊥OB.则直线 l 过定点 解:设点 A,B 的坐标分别为( x 1 , y 1 )( x 2 , y 2 ) ,

直线 l 与抛物线 y ? 2 x 相交于
2

(I)当直线 l 存在斜率时,设直线方程为 y=kx+b,显然 k≠0 且 b≠0.联立方程得:
y ? kx ? b, y
2

? 2 x 消 去 y 得 k x ? (2 kb ? 2) x ? b
2 2

2

? 0 , 由 题 意 : x1 x 2 =

b k

2 2



y 1 y 2 ? ( k x 1 ? b )( k x 2 ? b ) ?

2b k

,又由 OA⊥OB 得 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,即

b k

2 2

?

2b k

? 0 ,解得 b=0

(舍去)或 b=-2k,故直线 l 的方程为:y=kx-2k=k(x-2) ,故直线过定点(2,0) (II)当直线 l 不存在斜率时,设它的方程为 x=m,显然 m>0,联立方程 x ? m , y ? 2 x 解得
2

y ? ?

2m

2 ,即 y 1 y 2 =-2m,又由 OA⊥OB 得 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,即 m ? 2 m =0,解得 m=0(舍去)

或 m=2,可知直线 l 方程为:x=2,故直线过定点(2,0)综合(1) (2)可知,满足条件的直 线过定点(2,0) . 8. 原题(选修 2-1 第八十一页复习参考题 B 组第一题)改编 已知 F1、F2 分别为椭圆

用心 爱心 专心

-3-

x

2

?

y

2

16

9

? 1 的左、 右焦点, P 在椭圆上, P、1、2 是一个直角三角形的三个顶点, ? PF 1 F 2 点 若 F F 求

的面积. 解:依题意,可知当以 F1 或 F2 为三角形的直角顶点时,点 P 的坐标为 ? ? 7 , ?
? ? 9 ? ? ,则点 P 到 4 ?

x 轴的距离为

9 4

,此时 ? PF 1 F 2 的面积为

9 4

7

;当以点 P 为三角形的直角顶点时,点 P 的坐

标为

9 7

7

? 3 ,舍去。故 ? PF 1 F 2 的面积为

9 4

7

.

9. 原题 (选修 2-1 第八十七页例题) 改编 已知 O 、 A 、 B 三点共线, OP ? m OA ? n OB 且
( m 、 n ? R 且 mn ? 0 ) ,则

1 m

?

4 n

的最小值为

.

解:由 O 、 A 、 B 三点共线,且 OP ? m OA ? n OB 得, m ? n ? 1 。故
1 m ? 4 n
2 2

? (m ? n) ? (

1 m

?

4 n

) =5+

n m

?

4m n

,又 mn ? 0 ,?

1 m

?

4 n

? 5 ? 2

n m

?

4m n

? 9 (当且

仅当 n ? 4 m 时取等号) ,故

1 m

?

4 n

的最小值为 9.

用心 爱心 专心

-4-


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