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高中数学必修2综合测试题


高中数学必修 2 综合测试题
一、选择题 1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为 ( )

?

?

图(1)

A


B


C

D

2、直线 l : 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角 ? 为

A 、 30? ;

B 、 60? ;


C 、 120? ;

D 、150? 。

3、边长为 a 正四面体的表面积是 (

A、

3 3 a ; 4

B、

3 3 a ; 12

C、

3 2 a ; 4


D 、 3a 2 。

4、对于直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 的截距,下列说法正确的是 (

A 、在 y 轴上的截距是 6;
C 、在 x 轴上的截距是 3;

B 、在 x 轴上的截距是 6; D 、在 y 轴上的截距是 ?3 。


5、已知 a//? , b ? ? ,则直线 a 与直线 b 的位置关系是 (

A 、平行;

B 、相交或异面;

C 、异面;

D 、平行或异面。


6、 已知两条直线 l1 : x ? 2ay ?1 ? 0, l2 : x ? 4 y ? 0 , 且 l1//l2 , 则满足条件 a 的值为 (

A、? ;

1 2

B、 ;

1 2

C 、 ?2 ;

D、2 。

7 、 在 空 间 四 边 形 ABCD 中 , E , F , G, H分 别 是 AB, BC, CD, DA 的 中 点 。 若

AC ? BD ? a ,且 AC 与 BD 所成的角为 60? ,则四边形 EFGH 的面积为 (



A、

3 2 a ; 8
2 2

B、

3 2 a ; 4

C、

3 2 a ; 2


D 、 3a 2 。

8、已知圆 C : x ? y ? 2x ? 6 y ? 0 ,则圆心 P 及半径 r 分别为 (

A 、圆心 P ?1,3? ,半径 r ? 10 ;

B 、圆心 P ?1,3? ,半径 r ? 10 ;
第 1 页 共 10 页

C 、圆心 P ?1, ?3? ,半径 r ? 10 ;
9、下列叙述中错误的是 ( )

D 、圆心 P ?1, ?3? ,半径 r ? 10 。

A 、若 P ?? ? ? 且 ? ? ? ? l ,则 P ? l ; B 、三点 A, B, C 确定一个平面;
C 、若直线 a ? b ? A ,则直线 a 与 b 能够确定一个平面;

D 、若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? 。
10、两条不平行的直线,其平行投影不可能是 ( )

A 、两条平行直线;
C 、两条相交直线;

B 、一点和一条直线; D 、两个点。

11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3、4、5,且它的 8 个顶点都在同一个球面上, 则这个球的表面积是 ( )

A 、 25? ;

B 、 50? ;

C 、 125? ;

D 、都不对。

12、四面体 P ? ABC 中,若 PA ? PB ? PC ,则点 P 在平面 ABC 内的射影点 O 是 ? ABC 的 ( )

A 、外心;

B 、内心;

C 、垂心;

D 、重心。

二、填空题(本大题共 4 道小题,把答案填在题中横线上)
13、圆柱的侧面展开图是边长分别为 2a, a 的矩形,则圆柱的体积为 ;

14、命题:一条直线与已知平面相交,则面内不过该交点的直线与已知直线为异面直线。 用符号表示为 15、点 M ? 2,1? 直线 l : 3x ? y ? 2 3 ? 0 的距离是 16、已知 a , b 为直线, ? , ? , ? 为平面,有下列三个命题: (1) a//? ? b//? ,则 a//b ; (2) a ? ? , b ? ? ,则 a//b ; (3) a//b, b ? ? ,则 a//? ; (4) a ? b, a ? ? ,则 b//? ; 其中正确命题是
第 2 页 共 10 页

; ;



三、解答题(本大题共 6 道小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、如下图(2),建造一个容积为 16m ,深为 2 m ,宽为 2 m 的
3

2m
长方体无盖水池,如果池底的造价为 120元/m ,池壁的造价 为 80元/m ,求水池的总造价。
2 2

2m

图(2)

18 、如下图 (3) ,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边形, M , N 分别是

AB, PC 的中点,求证: MN//?平面PAD 。
P N D

C

A

M

B

图(3)

第 3 页 共 10 页

19、如下图(4) ,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, (1)画出二面角 A ? B1C ? C1 的平面角; (2)求证:面 BB1DD1 ? 面 AB1C

D

C

A

B

D1

C1

A1
图(4)

B1

20、已知三角形 ? ABC 的三个顶点是 A? 4,0? , B ? 6,7 ? , C ? 0,8? (1) 求 BC 边上的高所在直线的方程; (2) 求 BC 边上的中线所在直线的方程。

第 4 页 共 10 页

, BC 21 、 如 下 图 ( 5 ), 在 三 棱 锥 A ? BCD 中 , O, E 分 别 是 B D 的中点,
C A? C B ? CD ? B2 ? D , AB ? AD ? 2 。

(1) 求证: AO ? 平面 BCD ; (2) 求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3) 求点 E 到平面 ACD 的距离。 A

D
O
B

E
图(5)

C

第 5 页 共 10 页

高中数学必修 2 综合测试题 (答案卷)
一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 A 5 D 6 C 7 A 8 D 9 B 10 D 11 B 12 A

二、填空题 13、
a3

?



a3 ; 2?
1 ; 2

14、 a ? ? ? P, ?b ? ? ,且 P ? b ,则 a 与 b 互为异面直 16、 (2) 。

线; 15、

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、 (本小题满分 12 分)如下图(2),建造一个容积为 16m ,深为 2 m ,宽为 2 m 的长方体无 盖水池,如果池底的造价为 120元/m ,池壁的造价为 80元/m ,求水池的总造价。 解:分别设长、宽、高为 am, bm, hm ;水池 的总造价为 y 元
2 2
3

2m

?V ? abh ? 16, h ? 2, b ? 2 ,
? a ? 4m —————————————3 分
2m
则有 S底 ? 4 ? 2 ? 8m ————————6 分
2

图(2)

S壁 ? 2 ? ? 2 ? 4? ? 2 ? 24m2 —————9 分

y ? S底 ?120 ? S壁 ? 80 ? 120 ? 8 ? 80 ? 24 ? 2880(元)————————————12 分
18、 (本小题满分 12 分)如下图(3),在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边 P 形 , M , N 分 别 是 AB, PC 的 中 点 , 求 证 :

E
D

N C

MN//?平面PAD 。
证明:如图,取 PD 中点为 E ,连接 AE, EN ———1

A

M

B

第 6 页 共 10 页

图(3)



? E , N 分别是 PD, PC 的中点
? EN // 1 DC 2
———————————————4 分

? M 是 AB 的中点 ? A M//

1 D C ——————7 分 2
—9 分

? EN // AM
? AE//MN

? 四边形 AMNE 为平行四边形

———————————————11 分

又? AE ? 面APD

?M N? 面 A P D ? M N //?平面 P A D 。 ————————12 分

19、 (本小题满分 12 分)如下图(4) ,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

D

C

( 1 ) 画 出 二 面 角 A ? B1C ? C1 的 平 面 角 ; (2)求证:面 BB1DD1 ? 面 AB1C

A

B

解: (1)如图,取 B1C 的中点 E ,连接 AE, EC1 。

E
D1

? AC, AB1 , B1C 分别为正方形的对角线 C1 ? AC ? AB1 ? B1C
? E 是 B1C 的中点

A1
图(4)

B1

? AE ? B1C
——————————————2 分

又? 在正方形 BB1C1C 中

? EC1 ? B1C ——————————————3 分

? ?AEC1 为二面角 A ? B1C ? C1 的平面角。 —————————————————4 分
(2) 证明: ? D1D ? 面ABCD , AC ? 面ABCD 又 ? 在正方形 ABCD 中 分

? D1 D? A C —————6 分

? AC ? BD

—————————————————8

? D1D ? BD ? D

? AC ? 面DD1B1B

———————————————10 分

第 7 页 共 10 页

又? AC ? 面AB1C

? 面 BB1DD1 ? 面 AB1C

——————————————12 分

20、 (本小题满分 12 分)光线自点 M ? 2,3? 射到点 N ?1,0 ? 后被 x 轴反射,求该光线及反射 光线所在的直线方程。 (请用直线的一般方程表示解题结果) y 解: 如图, 设入射光线与反射光线分别为 l1 与 l2 ,

l2

l1

? M ? l1 , N ? l1
由 直 线 的 两 点 式 方 程 可 知 :

M ? 2,3?

l1 :

?2
0

?1
N ?1,0 ?
x

y ?0 3?0 ? ——3 分 x ?1 2 ?1
——————4

化 简 得 : l1 : 3x ? y ? 3 ? 0 分

其中 k1 ? 3 , 由光的反射原理可知: ?1 ? ? 2

? k2 ? ?k1 ? ?3 ,又? N ? l2 —————8 分
由直线的点斜式方程可知:

l2 : y ? 0 ? ?3? x ?1? —————————————————————————10 分
化简得: l2 : 3x ? y ? 3 ? 0 ——————————————————————12 分

21、 (本小题满分 12 分)已知三角形 ? ABC 的三个顶点是 A? 4,0? , B ? 6,7 ? , C ? 0,8? (1) 求 BC 边上的高所在直线的方程; (2) 求 BC 边上的中线所在直线的方程。 y 解: (1)如图,作直线 AD ? BC ,垂足 为点 D 。

? 0,8? C

E ? x0 , y0 ? D B ? 6,7?

k BC ?

7 ?8 1 ?? 6?0 6

—————2 分

? BC ? AD

? k AD ? ?

1 ?6 4分 k BC

由直线的点斜式方程可知直线 AD 的方

0

A? 4,0?

程为: x

y ? 0 ? 6 ? x ? 4?
化简得:

y ? 6 x ? 2 4 ——6 分

第 8 页 共 10 页

(2)如图,取 BC 的中点 E ? x0 , y0 ? ,连接 AE 。

0?6 ? x0 ? ?3 ? ? ? 15 ? 2 由中点坐标公式得 ? ,即点 E ? 3, ? ? 2? ? y ? 8 ? 7 ? 15 0 ? ? 2 2

———————————9 分

15 ?0 y?0 2 由直线的两点式方程可知直线 AE 的方程为: ? x ? 4 3?0
分 化简得: y ?

——————————11

5 x ? 10 2

——————————————————————————12 分

22、 (本小题满分 14 分) 如下图(5) , 在三棱锥 A ? BCD 中,O, E 分别是 BD, BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2 。
(1) 求证: AO ? 平面 BCD ; (3) 求点 E 到平面 ACD 的距离。 A (1) 证明: 连接 OC (2) 求异面直线 AB 与 BC 所成角的余弦值;

? B O? D O , A? B

AD

? AO ? BD

———————————1 分

D
O
B

? BO ? DO, BC ? CD
? CO ? BD
—————————————2

E
图(5)

C

分 在 ? AOC 中, 由已知可得:AO ? 1, CO ? 3 , 而 AC ? 2,? AO ? CO ? AC
2 2 2

??AOC ? 90? ,即 AO ? OC

———————4 分 ——————————————————5 分 ( 2 ) 解 : 取 AC 的 中 点 M , 连 接

? BD ? OC ? O ? AO ? 平面BCD

A

OM , ME, OE

M
D
O
B

由 E 为 BC 的中点知

ME//AB, OE//DC

? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线
第C9 页 共 10 页

E
图(5)

AB 与 CD 所成的角。
在 ? OME 中, EM ?

——————6 分

1 2 , AB ? 2 2

1 DC ? 1 2 ? OM 是 Rt ? AOC 斜边 AC 上的中线 1 ? OM ? AC ? 1 ——————————————————————————8 分 2 OE ?

? cos ?OEM ?

2 4

———————————————————————————10

分 (3)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h 。

?VE ? ACD ? VA?CDE

———————————————————————— ———12 分

1 1 ? h ? S? ACD ? ? AO ? S? CDE 3 3
在 ? ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2

? S? ACD

? 2? 1 7 ? ? 2 ? 22 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ?

2

而 AO ? 1, S? CDE ?

1 3 2 3 ? ?2 ? 2 4 2

?h ?

AO ? S? CDE 21 ? S? ACD 7
21 ————————————————————————14 分 7

? 点 E 到平面的距离为

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