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高中数学第二章空间向量与立体几何2.1从平面向量到空间向量课后训练案巩固提升含解析北师大版选

§1 从平面向量到空间向量
课后训练案巩固提升 1.下面几个命题:①向量的模是一个正实数;②所有的单位向量相等;③所有的零向量相 等;④一条直线的方向向量是相等的.其中错误的命题个数为( )

A.4

B.3

C.2

D.1

解析:0 的模为 0,故①错;所有单位向量的模相等,但方向不一定相同,故②错,③对;一条直线

的方向向量不唯一,故④错.

答案:B

2.在四边形 ABCD 中,若

,且| |=| |,则四边形 ABCD 为( )

A.菱形 C.正方形

B.矩形 D.不确定

解析:若

,则 AB=DC,且 AB∥DC,所以四边形 ABCD 为平行四边形.又| |=| |,即

AC=BD,

所以四边形 ABCD 为矩形.

答案:B

3.把空间所有单位向量归结到一个共同的始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )

A.一个圆

B.两个孤立的点

C.一个球面

D.一个平面

解析:半径为 1 的球面上所有点到球心的距离为 1.

答案:C

4.在正三棱锥 A-BCD 中,E,F 分别为棱 AB,CD 的中点,设< α +β =( )

>=α ,<

>=β ,则

A.

B.

C.

D.

解析:如图,取 BC 的中点 G,连接 EG,FG,则 EG∥AC,FG∥BD,故∠FEG=α ,∠EFG=β .∵三棱锥

A-BCD 是正三棱锥,∴AC⊥BD,∴EG⊥FG,即∠EGF= .

∴α +β =∠FEG+∠EFG= .

答案:D

5.

导学号 90074018 下列命题:

①两个相反向量必是共线向量;

②温度含有零上温度和零下温度,所以温度是向量;

-1-

③已知空间四边形 ABCD,则由四条线段 AB,BC,CD,DA 分别确定的四个向量之和为零向量;

④不相等的两个空间向量的模必不相等.

其中,真命题的序号为

.

答案:①

6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AD,BC,CC1 的中点,则

<

>=

.

解析:连接 DB,BC1,DC1.

∵ABCD-A1B1C1D1 为正方体,∴△BDC1 为等边三角形.∵E,F,G,H 分别是 AB,AD,BC,CC1 的中 点,
∴EF∥BD,GH∥BC1.

∴<

>=<

>= .

答案:

7.如图,已知 ABCD-A1B1C1D1 为平行六面体,若以此平行六面体的顶点为向量的始点、终点,求: (1)与 相等的向量; (2) 的相反向量; (3)与 平行的向量.

解如图,连接 AD1,CD1.

(1)与

相等的向量为

.

-2-

(2)

的相反向量为

.

(3)与

平行的向量为

.

8.如图,在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,求:

(1)<

>,<

>,<

>;

(2)<

>,<

>.

解(1)∵ABCD-A'B'C'D'为正方体, ∴AB∥A'B',AD⊥D'C',AB∥C'D'.

∴<

>=0,<

>= ,<

(2)∵在正方体 ABCD-A'B'C'D'中 AD∥BC,

∴<

>=<

>= .连接 AC,

>=π .

则△ACD'为等边三角形,∴< 9.

>=

.

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,且 PD=CD,E,F 分别是 PC,PB 的 中点. (1)试求以 F 为起点的直线 DE 的一个方向向量; (2)试求以 F 为起点的平面 PBC 的一个法向量. 解(1)如图,取 AD 的中点 M,连接 MF,EF,

-3-

∵E,F 分别是 PC,PB 的中点,∴EF BC.

又 BCAD,∴EF AD,∴EFDM, ∴四边形 DEFM 是平行四边形,

∴MF∥DE,∴

是以 F 为起点的直线 DE 的一个方向向量.

(2)∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥BC. 又 BC⊥CD,且 PD∩DC=D, ∴BC⊥平面 PCD. ∵DE? 平面 PCD,∴DE⊥BC. 又 PD=CD,E 为 PC 的中点,∴DE⊥PC. 又 BC∩PC=C,∴DE⊥平面 PBC,



是平面 PBC 的一个法向量,

由(1),可知

,∴

就是以 F 为起点的平面 PBC 的一个法向量.

-4-


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