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2014高三数学二轮专题复习课件:1-4函数与方程、函数的应用_图文

走向高考· 数学
新课标版 ·二轮专题复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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专题一

集 与 用 辑 语 函 合 常 逻 用 、 数 与导数

专题一 集合与常用逻辑用语、函数与导数

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专题一
第四讲 函 与 程 函 的 用 数 方 、 数 应

专题一

第四讲

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考向聚焦

3

高频考点

核心整合

4

课后强化作业

专题一

第四讲

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考向聚焦

专题一

第四讲

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考向分析 (1)考查具体函数的零点的取值范围和零点个数,由函数 零点情况求解参数的取值范围. (2)函数简单性质的综合考查,函数的实际应用问题. (3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查.

专题一

第四讲

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命规 题律 () 以 空 选 题 式 查 数 零 存 范 、 数 1 填、择方考函的点在围个, 或出点数参的值围 给零个求数取范. () 函数的实际应用问题以大题方式呈现,或命制小巧的 2 综 应 函 图 与 质 决 与 际 产 活 系 切 合 用 数 象 性 解 的 实 生 生 联 密 的 选 题填 题主 考 函 的 调 ,数 应 和 值 择 、空 ,要 查 数 单 性导 的 用 均 不式不式求与列知. 等,等的解数等识 利转思解方 用化想决程 问 ,用 数 方 思 解 函 题利 函 与 程 想 决

数 用 题利 数 结 的 想 法 究 程 的 布 题 应 问 ,用 形 合 思 方 研 方 根 分 问 是考题趋. 高命的势
专题一 第四讲

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核心整合

专题一

第四讲

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知识方法整合 1. 程 根 函 的 点 方 方 的 与 数 零 :程 f(x)=0 有 数 实 根 ?函数

y=f(x)的图象与 x 轴 交 有 点 ?函数 y=f(x)有 点 零. 2. 数 点 在 定 : 果 数 函零存性理如函 y=f(x)在区间[a,b] y

上的图象是连续不断的一条曲线,并且 f(a)f(b)0 , 么 数 < 那函 =f(x)在区间(a,b)内 零 , 存 有 点即 在 这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.

c∈(a,b), 得 f(c)=0, 使

专题一

第四讲

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3. 决 数 型 实 应 题 首 应 虑 题 查 解函模的际用,先考该考的 是 种 数并 注 定 域然 结 所 模 ,出 数 何 函 ,要 意 义 ,后 合 给 型列 函 关 式最 结 其 际 义 出 答明 下 的 本 题 系 ,后 合 实 意 作 解 .确 面 基 解 步骤是解题的必要基础: () 阅 理 , 清 意 读 要 到 字 句 读 题 1 读 解审 题 :题 做 逐 逐 ,懂 中 的 字 述理 叙 所 映 实 背 ,此 础 ,析 文 叙 ,解 述 反 的 际 景在 基 上分 出已知是什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.

专题一

第四讲

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() 根 所 模 , 出 数 系 : 据 题 的 知 2 据 给 型列 函 关 式根 问 中 已 条 件和数量关系建立函数关系式, 在此基础上将实际问题转化为 函数问题. () 利 数 方 将 到 常 函 3 用 学 法 得 的 规 数 答,求得结果. () 将所得结果转译成实际问题的解答. 4 4.对于在区间[a,b]上 续 断 连不且 f(x), 过 断 把 数 通不地函 f(a)· < 的函数 y= f(b)0 (即 学 型 数 模 )予以解

f(x)的 点 在 区 一 为 , 区 零 所 的 间 分 二使

间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的方法叫二分法.
专题一 第四讲

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5.关于零点问题,要学会分析转化,能够把与之有关的 不同形式的问题,化归为适当方程的零点问题. (1)f(x)在[a,b]上连续单调,f(a)· f(b)<0?f(x)在[a,b]上存 在唯一零点; (2)f(x)在[a,b]上连续,f(a)· f(b)<0?f(x)在[a,b]上至少有 一个零点; (3)f(x)在[a,b]上的图象连续,f(a)· f(b)>0,f(x)在[a,b]上 不一定没有零点,即零点情形不确定. 6.要会用导数工具来解决零点问题.

专题一

第四讲

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疑误警 难区示 1.f(x)的 象 图 在 [a,b]上 续 断 并 连不,且 在[a,b]上存在零点的充分条件. 2.单调函数至多有一个零点. f(a)· f(b)<0 是 f(x)

专题一

第四讲

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高频考点

专题一

第四讲

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函数的零点
(02 21· 点在区间(2 1) , A.(3 1) , C.(3 0) ,
[答案] C
[解析] 由条件知 f(1)· f(2)<0,

2 朝阳期末)函数 f(x)=2 -x -a 的一个零
x

内,则实数 a 的取值范围是( B.(2 1) , D.(2 0) ,

)

∴-a· (3-a)<0,∴0<a<3,故选 C.
专题一 第四讲

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?o ?lg 2x,x>0, 已知函数 f(x)=? x ?3 ,x≤0, ?

且关于 x 的方程 f(x)+x-a

=0 有且只有一个实根,则实数 a 的取值范围是________.

[答 ] 案

(1, ∞) +

专题一

第四讲

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[解 ] 析

∵方程 f(x)+x-a=0 有 仅 一 实 , 且有个根 y= x+a 的 象 且 有 个 - 图有仅一交 a>1 时 足 故 满, a>. 1

∴函 数 y=f(x)与 线 直 点画函 ,出数

y=f(x)的 象 知 当 图可,

专题一

第四讲

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[方 规 总 法律结

] f(x)=0 解 程 当 方, f(x)为 分

1.求 f(x)的 点 时 直 令 零 值 ,接 段数,分列程求; 函时要段方组解

2.知 f(x)在 间 [a, 单 且 零 时利 已 区 b]上 调 有 点 ,用 讨; 论 3.求 f(x)的 点 数 , 般 数 结 法 讨 函 零个时一用形合;论数 =f(x)与 y=g(x)的 象 点 数 即 程 图交个,方 数一用形合. ,般数结法 4. 知 点 在 况 参 的 或 值 围 , 用 已零存情求数值取范时利方 程想数结思,造于数方或等求 思和形合想构关参的程不式解

f(a)· < f(b)0

y

f(x)=g(x)的解的个

.
专题一 第四讲

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函数与方程的综合应用

(文)已知函数 f(x)=4x+m·x+1 有且只有一 2 个零点,求实数 m 的取值范围,并求出零点.

专题一

第四讲

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[解 ] 析

由知方 已得程

4x+m·x+1=0 有且只有一解. 2

令 2x=t(t>0), 则方程 t2+m· t+1=0 有且只有一个正根. 设方程 t2+mt+1=0 的两根为 t1、t2,则 t1t2=1>0, ∴t1 与 t2 同号,因此方程只能有两个相等的实数解, ? m ?- >0, ∴? 2 ∴m=-2. ?Δ=m2-4=0, ? 当 m=-2 时,t=1.∴x=0, 故函数 f(x)的零点是 x=0.
专题一 第四讲

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(理)已知函数 f(x)=lnx+2x-6. () 证明 f(x)在 定 域 是 函 ; 1 其义上增数 () 证明 f(x)有 只 一 零 ; 2 且有个点 () 求这个零点所在的一个区间, 3 使这个区间的长度不超过 1 4. [分析] () 利 导 法 明 数 单 性 1 用数证函的调.

() 利用函数在某一区间内存在零点的条件证明其存在性, 2 利用函数的单调性说明其唯一性. () 运用“二分法”求其区间. 3
专题一 第四讲

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[解析]

() 证 : 数 定 域 1 明函的义为

(0,+∞).

1 ∵f ′(x)= +20 ,∴f(x)在(0,+∞)上 增 数 > 是函. x () 证明:∵f() =l2 -20 ,f() =l30 2 2 n < 3 n> ∴f() f()0 2 3. < ∴f(x)在(3 2) , ,

上至少有一个零点.

由() 知 f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点. 1 从而 f(x)在(0,+∞)上 且 有 个 点 有只一零. () 解:由 f()0 3 2 < ,f()0 3 > ,∴f(x)的零点 x0∈(3 2) , , .

?5? 5 5 5 ? ?=ln -1=ln -le0 取 x1=2,∵f 2 2 2 n< ? ?

专题一

第四讲

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?5? ∴f?2?·)0 f(< 3 ? ?

?5 ? 11 ,∴x0∈?2,3?.取 x2= 4 , ? ?

?11? 11 1 11 ∵f? 4 ?=ln - =ln -le n 4 2 4 ? ? ?11? ?5? ∴f? 4 ?· 2?<. f? 0 ? ? ? ?

1 >0, 2

?5 11? ?11 5? 1 1 ∴x0∈?2, 4 ?.而? 4 -2?= ≤ , ? ? ? ? 4 4 ?5 11? ∴?2, 4 ?即为符合条件的区间. ? ?

[点评]

1 本 第 () 问 证 存 性 唯 性 不 漏 . 例 2 需明在和一,可掉

唯一性的证明.
专题一 第四讲

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2.应用二分法确定零点所在区间长度不超过 q,可有如 下思考过程: (1)f(a)· f(b)<0,区间长|a-b|≤q,则零点 x0∈(a,b),区间 (a,b)为所求; a+b (2)若 f(a)· f(b)<0,区间长|a-b|>q,则取中点 2 =x0,进 一步检验 f(a)f(x0)<0(或 f(x0)· f(b)<0)及|a-x0|与 q 的关系(或|b- x0|与 q 的关系),直至符合要求为止.

专题一

第四讲

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已知函数 f(x)=|ax-2|+blnx(x>0,实数 a、b 为常数). () 若 a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求 b 的取值 1 范围; 1 () 若 a≥2,b=1,求方程 f(x)= 在(1 2 0] , x 上的数 解个.

专题一

第四讲

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[解析]

() f(x)=|x-2|+blnx 1

?-x+2+blnx,?0<x<2?, ? =? ?x-2+blnx, ?x≥2?. ?

b ①当 0<x<2 时,f(x)=-x+2-blnx,f ′(x)=-1+x . b 由条件,得-1+x≥0 恒成立,即 b≥x 恒成立. ∴b≥2.

专题一

第四讲

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b ②当 x>2 时,f(x)=x-2+blnx,f ′(x)=1+ . x b 由条件,得 1+x≥0 恒成立,则 b≥-x 恒成立. ∴b≥-2. ∵f(x)的图象在(0,+∞)上不间断, ∴综合①,②得 b 的取值范围为 b≥2.

专题一

第四讲

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1 () 令 g(x)=|a -2|+lnx- , 2 x x 1 2 ? x < ?-a +2+lnx- x ,?0 x<a?, 即 g(x)=? ?a -2+lnx-1,?x≥2?. x x a ? 2 1 当 0 x<a时 g(x)= a +2+lnx-x, < , - x 1 1 g′(x)= a+ + 2. - x x 2 1 a ∵0 x<a,∴x >2. <
专题一 第四讲

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a a2 a?a-2? 则 g′(x)>-a+ + = ≥0. 2 4 4 2 即 g′(x)0 ,∴g(x)在(0,a)上是单调增函数. > 2 1 当 x> 时,g(x)=ax-2+lnx- , a x 1 1 g′(x)=a+ x+x2>. 0

专题一

第四讲

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2 ∴g(x)在( ,+∞)上是单调增函数. a ∵g(x)的图象在(0,+∞)上不间断, ∴g(x)在(0,+∞)上 单 增 数 是调函. 2 2 a ∵g( )=ln - ,而 a≥2, a a 2 2 2 ∴lna≤0,则 g(a)0 <. g() =|a-2|-1=a-3. 1

专题一

第四讲

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①当 a≥3 时,∵g() ≥0. 1 ∴g(x)=0 在(1 0] , 上有唯一解.

1 即方程 f(x)= x解的个数为 1 个. ②当 2≤a<3 时,∵g()0 1. < ∴g(x)=0 在(1 0] , 上无解.

1 即方程 f(x)= 解的个数为 0 个. x

专题一

第四讲

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[方法规律总结] 关于函数零点的综合题,常常将幂函数、指数函数、对数 函 、角 数二 函 揉 在 起 成 个 题零 作 数三 函 、次 数 合 一 组 一 大 ,点 为其条件的构成部分或结论之一,解题时主要依据题目特点: ①分 参 , 参 的 离 数将 数 取 值范围转化为求函数的值域;②数形 ③构造

结 ,用 象 交 个 对 数 值 影 来 论 合利 图 的 点 数 参 取 的 响 讨 ; 函数,借助于导数来研究.

专题一

第四讲

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函数模型及其应用
某企业生产一种产品时,固定成本为 5000 元, 而每生产 100 台产品时直接消耗成本要增加 2500 元市 对 ,场 此产品的年需求量为 500 台 销 的 入 数 ,售 收 函 为 1 R(x)=5x-2

x2(万元)(0≤x≤5), 中 x 是产品售出的数量(单位:百台). 其 () 把利润表示为年产量的函数; 1 () 年产量多少时,企业所得的利润最大; 2 () 年产量多少时,企业才不亏本? 3

专题一

第四讲

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[分析] 解.
[解 ] 析

根题建 据意立

y与x的 数 系 用 数 质 函关利函性求

() 利 y 是 生 数 为 1 润 指产量 C(x)之 , 题 , 差由意当

x的 品 出 的 收 产售后总 x≤5 时 产 能 ,品全

入 R(x)与 总 本 其成 部出当 售,

x>5 时 只 销 ,能售

50 台 所 0 ,以

1 2 ? 5 . 2 . ?0≤x≤5?, ?5x-2x -?0 +05 x? y=?? ? ??5×5-1×52?-?0 +05 x? ?x>5?. 5 . 2 . 2 ?? ?

专题一

第四讲

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1 ? ?4.75x- x2-0.5 ?0≤x≤5?, 2 ∴y=? ?12-0.25x ?x>5?. ? 所以把利润表示为年产量的函数关系是 1 ? ?4.75x- x2-0.5 ?0≤x≤5?, 2 y=? ?12-0.25x ?x>5?. ?

专题一

第四讲

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1 2 () 在 0≤x≤5 时,y=- x +4.75x-0.5. 2 2 b 当 x=-2a=4.75(百台)时,ym =10.78125(万元). x a 当 x>( 百台)时,y<2 -0.25×5=10.75(万元), 5 1 ∴当 x=475(台)时,ym =10.78125(万元). x a 所以年产量为 475 台时,企业所得的利润最大.

专题一

第四讲

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() 要使企业不亏本,即要求 3 ?0≤x≤5 ? ? 1 2 ① ?-2x +4.75x-0.5≥0 ?
?x>5 ? 或? ?12-0.25x≥0 ?



解①得 5≥x≥4.75- 21.5625≈0.1(百台); 解②得 5<x≤48(百台),即 10(台)<x≤40( 80 台).

所以企业年产量在 10 台到 4800 台之间时,企业不亏本.

专题一

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[点评]

①分 函 的 大 : 段 数 最 应 段 段数最值分函的值分求 () 问; 2

出 y 的最值(或范围)进 比 , 较 者 如 题 行较取大,本第

②问题的转化:转化过程应注意等价性、全面性.如 1° 利润=销售总收入-(固定成本+直接消耗成本). 2° 市 对 产 年 求 为 因场此品需量 500 台时,也只能销售 500 台. 3° x 为何值时利润最大,转化为求分段函数,使 y 最大 求 时对应的自变量 x 的值. 4° 企业不亏本,转化为满足 y≥0 来解决.
专题一 第四讲

500 台 所 当 品 过 ,以产超

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经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天的销 售量(件)与价格(元)均 时 为间 g(t)=80-2t(件), 格 似 足 价近满 t(天)的函数,且销售量近似满足 1 f(t)=20-2|t-1| 元). 0 (

() 试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函 1 数表达式; () 求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 2

专题一

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[解析] t)0 -|t-1| ( 4 0 )
??3 ? 0 =? ??4 ? 0

() y=g(t)· 1 f(t)=(0 -2t)0 8 ( 2 ·

1 - |t-1| =(0 - 0 ) 4 2

+t??4 -t?, 0≤t<0 , 0 1 -t??5 -t?, 1 ≤t≤2. 0 0 0 [2025 1012] , ,

() 当 0≤t<0 时 y 的 值 围 2 1 , 取范是 当 t=5 时 y 取 最 值 , 得大为

12 ; 25 [010] 6020 , ,

当 1 ≤t≤2 时 y 的 值 围 0 0 , 取范是 在 t=2 时 y 取 最 值 0 , 得小为 答总, :之第 2 天销额 0 日售 5天销额 日售 y取 最 值 得小为 60 0.

y取 最 值 得大为 60 元 0 .

12 25

元第 ;

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[方法规律总结] 1. 出 象 题 要 意 图 中 取 息 这 题 给图的目注从象提信,类目 常常是先求解析式,再讨论有关函数的性质或求最值、解不等 式等. 2. 合 用 题 要 将 件 结 合 拆 、 译 综应问,先条与论理分翻, 然后逐块处理,最后整合写出解答过程. 3. 际 用 题 要 意 背 中 及 目 答 部 实应问,注将景涉题解的分 先行翻译为数学解题语言, 并将条件和结论与学过的数学知识 方法挂靠,依据相关知识与方法解决.
专题一 第四讲

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课后强化作业(点此链接)

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