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最新整理-湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(5)

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(五) 姓名: 班级 : 分数 : 一、填空题(本题满分 64 分, 每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1 数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ? 3 , 且 an?2 ?| an?1 | ?an (n ? N * ) 记 {an } 前 n 项的和为 S n , * * 则 S100 ? * 2 在△ ABC 中, 已知 ? B 的平分线交 AC 于 K 若 BC=2, CK=1, BK ? * * 3 2 , 则△ ABC 2 的面积为 * * 3 设 n ? 100 , 则使得 (a ? b) n 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 n 为 * 4 在小于 20 的正整数中, 每次不重复地取出 3 个数, 使它们的和能被 3 整除, 不同的取 法种数为 * * 5 若 x, y , z 均为正实数, 且 x ? y ? z ? 1, 则 S ? 2 2 2 * ( z ? 1) 2 的最小值为 2 xyz * 6 设椭圆 * x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , M 为椭圆上异于长轴端点的一点, 4 * ?F1MF2 ? 2? , △ MF1F2 的内心为 I, 则 | MI | cos? ? * 3 2 7 对于一切 x ? [ ?2, ] , 不等式 ax ? x ? x ? 1 ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围为 * 1 2 8 将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上,且任意三个相邻的数之和不小于 58 所 有满足上述要求的 10 个数中最大数的最大值为 * * * 二、解答题(本大题满分 56 分, 第 9 题 16 分, 第 10 题 20 分, 第 11 题 20 分) 9 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, a 2 ? * (n ? 1)an 1 , 且 a n ?1 ? 4 n ? an (n ? 2,3,4,?) * (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:对一切 n ? N , 有 * ?a k ?1 n 2 k ? 7 6 * 10 设 P ? x ? 6 x ? 11x ? 3x ? 31, 求使 P 为完全平方数的整数 x 的值 4 3 2 * * 11 已知直线 y ? x 与椭圆 C: * x2 y2 ? ? 1 交于 A, B 两点, 过椭圆 C 的右焦点 F 、倾斜角 16 11 * 为 ? 的直线 l 交弦 AB 于点 P , 交椭圆 C 于点 M , N (1)用 ? 表示四边形 MANB 的面积; (2)求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线 l 的方程 * 湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(五) 详细解答 一、填空题(本题满分 64 分, 每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1 数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ? 3 , 且 an?2 ?| an?1 | ?an (n ? N * ) 记 {an } 前 n 项的和 * * 为 S n , 则 S100 ? 89 * 2 在△ ABC 中, 已知 ? B 的平分线交 AC 于 K 若 BC=2, CK=1, BK ? * * 3 2 , 则△ 2 ABC 的面积为 15 7 16 * 3 设 n ? 100 , 则使得 (a ? b) n 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 n * 为 98 4 在小于 20 的正整数中, 每次不重复地取出 3 个数, 使它们的和能被 3 整除, 不同 的取法种数为 327 * * * 2 2 2 5 若 x, y , z 均 为 正 实 数 , 且 x ? y ? z ? 1 , 则 S ? * ( z ? 1) 2 的最小值为 2 xyz 3? 2 2 6 设椭圆 * * x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , M 为椭圆上异于长轴端点的一点, 4 2? 3 * ?F1MF2 ? 2? , △ MF1F2 的内心为 I, 则 | MI | cos? ? * 3 2 7 对于一切 x ? [ ?2, ] , 不等式 ax ? x ? x ? 1 ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围 1 2 为 ? 10 ? a ? ?1 * * 8 将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上, 且任意三个相邻的数之和不小于 58 所有满足上述要求的 10 个数中最大数的最大值为 26 * * 二、解答题(本大题满分 56 分, 第 9 题 16 分, 第 10 题 20 分, 第 11 题 20 分) 9 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, a 2 ? * 1 , 且 4 * a n?1 ? (n ? 1)an n ? an (n ? 2,3,4,?) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:对一切 n ? N , 有 * ?a k ?1 n 2 k ? 7 6 * 解 (1)由已知, 对 n ? 2 有 1 an?1 ? n ? an n 1 , ? ? (n ? 1)an (n ? 1)an n ? 1 两边同除以 n, 得 1 1 1 , ? ? nan?1 (n ? 1)a n n(n ? 1) ……………………4 分 即 1 1 1 1 ? ? ?( ? ), nan?1 (n ? 1)an n ?1 n 于是, ? ? ka k ?2 n ?1 ? 1 ? k ?1 ? n ?1 ? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? ?(1 ? ), ? ? ?? ? (k ? 1)a k ? k? n ?1 k ?2 ? k ? 1 即 1 1 1 ? ? ?

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