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高中数学第一章集合与函数概念1.2子集、全集、补集课件苏教版必修1_图文

第1章

集 合

1.2 子集、全集、补集

学习目标
1.理解子集、真子集、全集、补集的概念. 2.能用符号和Venn图,数轴表达集合间的关系. 3.掌握列举有限集的所有子集的方法,给定全集,会求补集.

内容索引

问题导学

题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一

子集

思考
如果把“ 马”和“ 白马”视为两个集合,则这两个集合中的元 素有什么关系?

答案 所有的白马都是马,马不一定是白马.

答案

梳理
定义
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则 a∈B),那么集合A称为集合B的子集

记法 A?B或B?A 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A 图示

(1)任何一个集合是它本身的子集,即A?A;
性质 (2)对于集合A,B,C,若A?B且B?C,则A?C;

(3)若A?B且B?A,则A=B;
(4)规定??A

知识点二

真子集

思考
在知识点一中,我们知道集合A是它本身的子集,那么如何刻画 至少比A少一个元素的A的子集? 答案 用真子集.

答案

梳理
定义 如果A?B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集 记法 A B或B A 读法 集合A真包含于集合B或集合B真包含集合A 图示 性质 (1)对于集合A,B,C,若A B且B C,则A C;(2)对于集 A

合A,B,若A?B且A≠B,则A

B;(3)若A≠?,则?

知识点三

全集、补集

思考
自然数集N中,除了正整数还有谁?整数集Z中呢?

答案 N中除了正整数还有0,Z中除了正整数还有负整数和0.

答案

梳理
(1)全集 如果集合 S包含我们所要研究的各个集合,那么这时S可以看做一个全 集,全集通常记作U. (2)补集 设A?S,由S中不属于A的所有元素组成的集合 称为S的子集A的补集 ?SA={x|x∈S,且x?A}

文字语言
定义 符号语言 图形语言

(1)A?S,?SA?S;

(2)?S(?SA)=A;
性质 (3)?SS=?,?S?=S;

(4)A∪(?SA)=S;
(5)A∩(?SA)=?

题型探究

类型一 命题角度1 概念间的包含关系

判断集合间的关系

例1 设集合M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方

Q M N P 形},则这些集合之间的关系为______________.
解析 正方形都是菱形,菱形都是平行四边形,平行四边形都是四边形.

解析

答案

反思与感悟

一个概念通常就是一个集合,要判断概念间的关系首先要准确理解概

念的定义.

跟踪训练1

我们知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用

N Z Q R N、Z、Q、R表示,用符号表示N、Z、Q、R的关系为_____________.

答案

命题角度2 数集间的包含关系
A B 例2 设集合A={0,1},集合B={x|x<2或x>3},则A与B的关系为________. 解析 ∵0<2,∴0∈B. 又∵1<2,∴1∈B. 又A≠B,∴A B.

解析

答案

反思与感悟
判断集合关系的方法 (1)观察法:一一列举观察. (2) 元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征, 再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法:利用数轴或Venn图.

跟踪训练 2
A B ________. 解析 A B.

已知集合 A = {x| - 1<x<4} , B = {x|x<5} ,则 A 与 B 的关系为

由数轴易知A中元素都属于B,B中至少有一个元素如-2?A,故有

解析

答案

类型二

求集合的子集

例3 (1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集; 解 ? , {a} , {b} , {c} , {d} , {a , b} , {a , c} , {a , d} , {b , c} ,

{ b , d } , {c , d } , {a , b , c } , {a , b , d } , {a , c , d } , {b , c , d } , {a,b,c,d}.

解答

(2) 若一个集合有 n(n∈N) 个元素,则它有多少个子集?多少个真子集? 验证你的结论.



若一个集合有 n(n∈N) 个元素,则它有 2n 个子集, 2n - 1 个真子集 .

如?,有一个子集,0个真子集.

解答

反思与感悟

为了罗列时不重不漏,要讲究列举顺序,这个顺序有点类似于从 1 到

100数数:先是一位数,然后是两位数,在两位数中,先数首位是1的
等等.

15 跟踪训练3 适合条件{1}?A {1,2,3,4,5}的集合A的个数是________. 解析 这 样 的 集 合 A 有 {1} , {1,2} , {1,3} , {1,4} , {1,5} , {1,2,3} ,

{1,2,4} , {1,2,5} , {1,3,4} , {1,3,5} , {1,4,5} , {1,2,3,4} , {1,2,3,5} , {1,2,4,5},{1,3,4,5}共15个.

解析

答案

类型三 例4

求补集

(1)若全集U={x∈R|-2≤x≤2},A={x∈R|-2≤x≤0},则?UA=

{x|0<x≤2} ___________. 解析 ∵U={x∈R|-2≤x≤2},A={x∈R|-2≤x≤0},
∴?UA={x|0<x≤2}.

解析

答案

(2)设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},
求?UA,?UB. 解 根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以?UA={4,5,6,7,8},?UB={1,2,7,8}.

解答

(3) 设全集 U = {x|x 是三角形 } , A = {x|x是锐角三角形 } , B= {x|x 是钝角三

角形},求A∩B,?U(A∪B).
解 根据三角形的分类可知A∩B=?,A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三 角形}, ?U(A∪B)={x|x是直角三角形}.

解答

反思与感悟
求集合的补集,需关注两处:一是认准全集的范围;二是利用数形 结合求其补集,常借助Venn 图(有限集)、数轴(数集) 、坐标系 (点集) 来求解.

{3,4,5} 跟踪训练4 (1)设集合U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则?UA=________. 2-x-2<0} { x | x 2 (2)已知集合U=R,A={x|x -x-2≥0},则? A=______________.
U

(3) 已知全集 U = {(x , y)|x∈R , y∈R} ,集合 A = {(x , y)|xy>0} ,则 ? UA =

{(x,y)|xy≤0} _____________.

答案

当堂训练

P T 1.集合P={x|x2-1=0},T={-1,0,1},则P与T的关系为________.

1

2

3

4

5

答案

④ 2.下列关系错误的是________. ①???; ②A?A; ③??A; ④?∈A.

1

2

3

4

5

答案

{(1,2)},{(-3,4)} 3.集合{(1,2),(-3,4)}的所有非空真子集是________________.

解析

{(1,2),(-3,4)}的所有真子集有?,{(1,2)},{(-3,4)},其非空真

子集是{(1,2)},{(-3,4)}.

1

2

3

4

5

解析

答案

[6,+∞) 4.若A={x|x>a},B={x|x>6},且A?B,则实数a的取值范围是_________.

1

2

3

4

5

答案

{3,5,6} 5.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM等于________.

1

2

3

4

5

答案

规律与方法

1.对子集、真子集有关概念的理解 (1) 集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,即由 x∈A ,能推出 x∈B,这是判断A?B的常用方法. (2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”,因为 若A=?时,则A中不含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素. (3)在真子集的定义中,A B首先要满足A?B,其次至少有一个x∈B,但 x ? A.

2.集合子集的个数

求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依次写出符
合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为:含 n个元素的集合有

2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.写集合的子集时,
空集和集合本身易漏掉.

3.补集是相对于全集而言的,有限集求补集一般借助Venn图,连续的数
集求补集常用数轴,求时注意端点取舍.

本课结束