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高中数学必修2人教A教案4.2.1直线与圆的位置关系


4.2.1 直线与圆的位置关系
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. (二)过程与方法 设直线 l: ax + by + c = 0, 圆 C: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, 圆的半径为 r, 圆心 (?
D E ,? ) 2 2

到直线的距离为 d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d>r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d=r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d<r 时,直线 l 与圆 C 相交; 3.情态与价值观 让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养学生数形结合的思想. (二)教学重点、难点 重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 难点:用坐标法判定直线与圆的位置关系. (三)教学过程设想 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 启发学 师;让学生之间进行讨论、 生由图形获 交流,引导学生观察图形,导入 取判断直线 新课. 与圆的位置 生:看图,并说出自己的看 关系的直观 法. 认知,引入 新课. 师:引导学生利用类比、归 纳的思想,总结直线与圆的位置 关系的种类,进一步深化“数形 结合”的数学思想. 生:观察图形,利用类比的 方法,归纳直线与圆的位置关系.

1 .初中学过的平面 复习引入 几何中,直线与圆的位置 关系有几类?

2 .直线与圆的位置 关系有哪几种呢?三种 (1)直线与圆相交, 有两个公共点. 概念形成 (2)直线与圆相切, 只有一个公共点. (3)直线与圆相离, 没有公共点. 3 .在初中,我们怎 样判断直线与圆的位置 关系呢?如何用直线与 圆的方程判断它们之间 概念深化 的位置关系呢? 4 .你能说出判断直 线与圆的位置关系的两 种方法吗?

得出直 线与圆的位 置关系的几 何特征与种 类.

师:引导学生回忆初中判断 使学生 直线与圆的位置关系的思想过程. 回忆初中的 生:回忆直线与圆的位置关 数学知识, 系的判断过程. 培养抽象概 括能力. 师:引导学生从几何的角度 抽象判 说明判断方法和通过直线与圆的 断直线与圆 方程说明判断方法. 的位置关系
1

方法一: 利用圆心到 直线的距离 d. 方法二: 利用直线与 圆的交点个数. 5 .你能用两种判断 直线与圆的位置关系的 数学思想解决例 1 的问题 吗? 例 1 如图,已知直 线 l :3x + y – 6 = 0 和圆 心为 C 的圆 x2 + y2 –2y – 4 = 0, 判断直线 l 与圆的位 置关系;如果相交,求它 们交点的坐标.

生:利用图形,寻找两种方 的思路与方 法的数学思想. 法.

师:指导学生阅读教科书上 的例 1. 生:仔细阅读教科书上的例 1,并完成教科书第 140 页的练习 题 2. 例 1 解法一:由直线 l 与 圆的方程,得 ① ?3x ? y ? 6 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ② 消去 y,得 x2 – 3x + 2 = 0, 因为△= (–3)2 – 4×1×2 = 1>0 所以,直线 l 与圆相交,有 两个公共点. 解法二: 圆 x2 + y2 –2y – 4 = 0 可化为 x2 + (y – 1)2 =5,其圆心 C 的坐标为(0,1),半径长为 5 , 点 C (0,1)到直线 l 的距离 d=
| 3? 0 ?1? 6 | 3 ?1
2 2

体会判 断直线与圆 的位置关系 的 思 想 方 法,关注量 与量之间的 关系. 使学生 熟悉判断直 线与圆的位 置关系的基 本步骤.

分析:方法一:由直 线 l 与圆的位置关系,就 是看由它们的方程组成 应用举例 的方程组有无实数解;方 法二,可以依据圆心到直 线的距离与半径长的关 系,判断直线与圆的位置 关系.

?

5 10

< 5.

所以,直线 l 与圆相交,有 两个公共点. 由 x2 –3x + 2 = 0, 解得 x1 =2, x2 = 1. 把 x1=2 代入方程①,得 y1= 0; 把 x2=1 代入方程①,得 y2= 0; 所以,直线 l 与圆有两个交 点,它们的坐标分别是 A (2,0),B (1,3). 生:阅读例 1. 师:分析例 1,并展示解答 过程;启发学生概括判断直线与 圆的位置关系的基本步骤,注意 给学生留有总结思考的时间. 生:交流自己总结的步骤. 师:展示解题步骤. 例 2 解: 将圆的方程写成标

6 .通过学习教科书 的例 1,你能总结一下判 断直线与圆的位置关系 的步骤吗?

例 2 已知过点 M (–3, –3)的直线 l 被圆 x2 + y2 + 4y –21 = 0 所截得的

2

弦长为 4 5 ,求直线 l 的 方程.

准形式,得 x2 + (y2 + 2)2 =25, 所以,圆心的坐标是(0,–2), 半径长 r =5. 如 图, 因为 直线 l 的 距离 为 4 5 ,所以弦心距为
52 ? ( 4 5 2 ) ? 5, 2

即圆心到所求直线 l 的距离为 5 . 因为直线 l 过点 M (–3,–3), 所以可设所求直线 l 的方程为 y + 3 = k (x + 3), 即 k x – y + 3k –3 = 0. 根据点到直线的距离公式, 得到圆心到直线 l 的距离 d=
| 2 ? 3k ? 3 | k 2 ?1

.
? 5,

因此,

| 2 ? 3k ? 3 | k 2 ?1

即|3k – 1| = 5 ? 5k 2 , 两边平方,并整理得到 2k2 –3k –2 = 0, 1 解得 k = ,或 k =2. 2 所以,所求直线 l 有两条, 它们的方程分别为 1 y + 3 = ? (x + 3), 2 或 y + 3 = 2(x + 3). 即 x +2y = 0, 或 2x – y + 3 = 0.

3

师:指导学生阅读并完成教 7 .通过学习教科书 科书上的例 2,启发学生利用“数 进一步 上的例 2,你能说明例 2 形结合”的数学思想解决问题. 生:阅读教科书上的例 2,并 深化“数形 中体现出来的数学思想 结合”的数 完成 137 页的练习题. 方法吗? 师:引导并启发学生探索直 学思想. 8.通过例 2 的学习, 明确弦 线与圆的相交弦的求法. 你发现了什么? 生:通过分析、抽象、归纳, 长的运算方 半弦、弦心距、半径 法. 得出相交弦长的运算方法. 构成勾股弦关系. 巩固所 学 过 的 知 师:引导学生完成练习题. 识,进一步 生:互相讨论、交流,完成 理解和掌握 练习题. 直线与圆的 位置关系.

9. 完成教科书第 136 页的练习题 1、2、3、4.

10.课堂小结: 教师提出下列问题让 学生思考: (1)通过直线与圆的 位置关系的判断, 你学到了 归纳总结 什么? (2)判断直线与圆的 位置关系有几种方法?它 们的特点是什么? (3)如何求出直线与 圆的相交弦长? 课外作业 布置作业: 见习题 4.2 第一课时

师生共同回顾

回顾、 反思、总结 形成知识体 系

学生独立完成

巩固所 学知识

备选例题
例 1 已知圆的方程 x2 + y2 = 2,直线 y = x + b,当 b 为何值时, (1)圆与直线有两个公共点; (2)圆与直线只有一个公共点; (3)圆与直线没有公共点. |b| 解法 1:圆心 O (,0)到直线 y = x + b 的距离为 d ? ,圆的半径 r ? 2 . 2 (1)当 d<r,即–2<b<2 时,直线与圆相交,有两个公共点; (2)当 d = r,即 b= ?2 时,直线与圆相切,有一个公共点; (3)当 d>r,即 b>2 或 b<–2 时,直线与圆相离, 无公共点. 解法 2:联立两个方程得方程组 ?
? x2 ? y2 ? 2 ?y ? x ?b

.消去 y2 得

2x2 + 2bx + b2 – 2 = 0, ? =16 – 4b2. (1)当 ? >0,即–2 <b<2 时,直线与圆有两个公共点;
4

(2)当 ? =0,即 b ? ?2 时,直线与圆有一个公共点; (3)当 ? <0 即 b>2 或 b<–2 时,直线与圆无公共点. 例 2 直线 m 经过点 P (5,5)且和圆 C:x2 + y2 = 25 相交,截得弦长 l 为 4 5 ,求 m 的 方程. l 【解析】设圆心到直线 m 的距离为 d,由于圆的半径 r = 5,弦长的一半 ? 2 5 , 2 所以由勾股定理,得: d ? 52 ? (2 5)2 ? 5 , 所以设直线方程为 y – 5 = k (x – 5) 即 kx – y + 5 – 5k = 0. | 5 ? 5k | 1 ? 5 ,得 k ? 或 k = 2. 由 2 2 1? k 所以直线 m 的方程为 x – 2y + 5 = 0 或 2x – y – 5 = 0. 例 3 已知圆 C:x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. 问是否存在斜率为 1 的直线 l, 使 l 被圆 C 截得弦 AB 满足:以 AB 为直径的圆经过原点. 【解析】假设存在且设 l 为:y = x + m,圆 C 化为(x – 1)2 – (y + 2)2 = 9,圆心 C (1,–2). ?y ? x ? m m ? 1 m ?1 解方程组 ? 得 AB 的中点 N 的坐标 N (? , ), y ? 2 ? ? ( x ? 1) 2 2 ? 由于以 AB 为直径的圆过原点,所以|AN| = |ON|. 又 | AN |? | CA |2 ? | CN |2 ? 9 ?
| ON |? ( ? m ?1 2 m ?1 2 ) ?( ) 2 2 (m ? 3) , 2

所以 9 ?

(3 ? m2 ) (m ? 1) m ? 1 2 ? ?( ) 2 2 2

解得 m = 1 或 m = –4. 所以存在直线 l,方程为 x – y + 1 = 0 和 x – y – 4 = 0, 并可以检验,这时 l 与圆是相交于两点的.

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