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2013高考数学(理)苏教版二轮复习课件: 8-8


第八节

曲线与方程

1.曲线与方程的定义 在直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合 或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关 系: (1)曲线上的点的坐标都是 这个方程的解 (纯粹性); (完备性).

(2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点

那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线(图 形).

2.曲线的交点与方程组的关系 两条曲线有交点的充要条件是这两条曲线的方程组成的方程组 有 实数解 ,方程组解的组数就是两曲线交点的 个数 若无交点,则方程组也必 无实数解 . 点P0(x0,y0)既在曲线C1:f(x,y)=0上又在曲线C2:g(x,y)=0上的 充要条件是点P0的坐标是方程组 的解. ;两曲线

3.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)

建系 ——建立适当的坐标系.
——设轨迹上的任一点P(x,y). ——列出动点P所满足的关系式. ——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等

(2) 设点 (3) 列式 (4) 代换

将转化为x,y的方程式,并化简. (5) 证明 ——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

1 1.曲线y= 1-x 和y=x+ 的公共点的个数是________. 2
2

解析:y= 1-x2为x2+y2=1的上半圆,因此由图形得交点数为1. 答案:1 2.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨 迹为________. 解析:由题意知,点P到点(2,0)的距离与点P到直线x=-2的距离相 等,由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点,以直线x=-2为准线 的抛物线. 答案:y2=8x

3.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满 → → → → 足|MN|· |+MN· =0,则动点P(x,y)的轨迹方程为________. |MP NP → → 解析:|MN|=4,|MP|= ?x+2?2+y2, → → MN· =4(x-2), NP ∴4 ?x+2?2+y2+4(x-2)=0,∴y2=-8x. 答案:y2=-8x

4.△ ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ ABC的内切圆圆心在直线x =3上,则顶点C的轨迹方程是______________. 解析:如图,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2, |CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以A、B为焦点,实轴长为6的双曲 线的右支, x2 y2 方程为 - =1(x>3) 9 16 x2 y2 答案: - =1(x>3) 9 16

5.已知两定点F1(-1,0)、F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等 差中项,则动点P的轨迹方程是________. 解析:由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知: |PF1|+|PF2|=4>|F1F2|, 故动点P的轨迹是以定点F1(-1,0)、F2(1,0)为焦点,长轴长为4 x2 y2 的椭圆,故其方程为 + =1. 4 3 x2 y2 答案: + =1 4 3

热点考向一

直接法求轨迹方程

已知A、B为两定点,动点M到A与到B的距离比为常数 λ,求点M的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线. 【解析】 建立坐标系如图所示,设|AB|=2a, 则A(-a,0),B(a,0). 设动点M的坐标为(x,y). |MA| 则由题设,得 =λ,坐标代入, |MB| 得 ,

化简得(1-λ2)x2+(1-λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1-λ2)a2=0.

(1)当λ=1时,即|MA|=|MB|时,点M的轨迹方程是x=0,点M 的轨迹是直线(y轴). (2)当λ≠1时,点M的轨迹方程是x2+y2+ M的轨迹是以 x+a2=0,点

2aλ 为圆心, 为半径的圆. |1-λ2|

【点评】

如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,

这些条件简单明确,易于表述成含x、y的等式,得到轨迹方程,这 种方法称之为直接法.用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设 点、列式、代换、化简、证明五个步骤,但最后的证明可以省略.

1.已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O′的方程是x2+y2-8x+ 10=0,如图所示.由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等,则动 点P的轨迹方程是________.

解析:设P(x,y),由圆O′的方程为(x-4)2+y2 =6,及已知|AP|=|BP|, 故|OP|2-|AO|2=|O′P|2-|O′B|2,则|OP|2-2 =|O′P|2-6, 3 ∴x2+y2-2=(x-4)2+y2-6.∴x= , 2 3 故动点P的轨迹方程是x= . 2 3 答案:x= 2

热点考向二

定义法求轨迹方程

已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别是1和2,且 |O1O2|=4.动圆M与圆O1内切,又与圆O2外切,建立适当的坐标系, 求动圆圆心M的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线.

【解析】

如图所示,以O1O2的中点O为原点,O1O2

所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由|O1O2|=4, 得O1(-2,0)、O2(2,0).设动圆M的半径为r,则 由动圆M与圆O1内切, 有|MO1|=r-1; 由动圆M与圆O2外切, 有|MO2|=r+2.

∴|MO2|-|MO1|=3. ∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点,实轴长为3的双曲线的左 支. 3 ∴a= ,c=2, 2 7 ∴b =c -a = . 4
2 2 2

4x2 4y2 ∴点M的轨迹方程为 - =1(x<0). 9 7

【点评】 ①由于动点M到两定点O1、O2的距离的差为常数, 故应考虑是否符合双曲线的定义,是双曲线的一支还是两支,能否 确定实轴长和虚轴长等,以便直接写出其方程,而不需再将几何等 式借助坐标转化; ②求动点的轨迹或轨迹方程时需注意:“轨迹”和“轨迹方程”是 两个不同的概念,前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征,后 者指方程(包括范围).

2.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x- 91=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么曲线. 解析:法一:如图所示,设动圆圆心为M(x,y), 半径为R,设已知圆的圆心分别为O1、O2,将圆的方 程分别配方得:(x+3)2+y2=4, (x-3)2+y2=100, 当动圆与圆O1相外切时, 有|O1M|=R+2 当动圆与圆O2相内切时,有|O2M|=10-R. .① ②

将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|, ∴动圆圆心 M(x, y)到点 O1(-3,0)和 O2(3,0)的距离和是常数 12, 所以点 M 的轨迹是焦点为 O1(-3,0)、O2(3,0), 长轴长等于 12 的椭圆. ∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6,∴b2=36-9=27, x2 y2 ∴圆心轨迹方程为 + =1,轨迹为椭圆. 36 27

法二:由法一可得方程

移项再两边分别平方得: x2 y 2 两边再平方得3x2+4y2-108=0,整理得 + =1, 36 27 x2 y2 所以,动圆圆心的轨迹方程是 + =1,轨迹是椭圆. 36 27

热点考向三

相关点(相关量)法求轨迹方程

M是抛物线y2=x上一动点,以OM为一边(O 为原点),作正方形MNPO,求动点P的轨迹方程. 【解析】 设动点P(x,y),M(x0,y0) ∵正方形MNPO, ∴|OM|=|OP|,OP⊥OM.
2 ? x2+y0= x2+y2 0 ? ① ∴有?y y0 ② ?x·0=-1 ? x

又点M(x0,y0)在抛物线y2=x上,
2 ∴y0=x0.③

x0x 由②得:y0=- y 代入③, x2x2 0 得x0= 2 , y y2 ∴x0= 2④ x
2 将③代入①,得x0+x0=x2+y2⑤

y4 y2 将④代入⑤,得: 4+ 2=x2+y2, x x 化简,得y2=x4. ∴x2=± y(y≠0)为所求方程.

【点评】 用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式:x′=f(x, y),y′=g(x,y),然后代入已知曲线.而求对称曲线(轴对称、中心 对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题.

3.如图所示,从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x +y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方 程. 解析:设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则点N 的坐标为(2x-x1,2y-y1). ∵点N在直线x+y=2上, ∴2x-x1+2y-y1=2,① 又∵PQ垂直于直线x+y=2.

y-y1 ∴ =1,即x-y+y1-x1=0,② x-x1

?x =3x+1y-1, ? 1 2 2 由①、②联立,解得? ?y1=1x+3y-1. 2 2 ?
又Q在双曲线x2-y2=1上,
2 ∴x2-y1=1, 1

?3 ?2 ?1 ?2 1 3 即?2x+2y-1? -?2x+2y-1? =1, ? ? ? ?

整理得2x2-2y2-2x+2y-1=0, 这就是所求动点P的轨迹方程.

热点考向四

参数法求轨迹方程

已知抛物线y2=4px(p>0),O为顶点,A,B为抛物线 上的两动点,且满足OA⊥OB,如果OM⊥AB于M点,求点M的轨 迹方程. 【解析】 设M(x,y),直线AB方程为y=kx+b. x 由OM⊥AB得k=- y. 由y2=4px及y=kx+b消去y,得 b2 k2x2+x(2kb-4p)+b2=0.所以x1x2= 2. k 4pb 消去x,得ky2-4py+4pb=0.所以y1y2= k .

由OA⊥OB,得y1y2=-x1x2, 4pb b2 所以 =- 2,b=-4kp. k k 故y=kx+b=k(x-4p). x 把k=- 代入,得x2+y2-4px=0(x≠0). y 即M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0).

【点评】

在一些很难找到形成曲线的动点P(x,y)的坐标x,y

所满足的关系式的情况下,往往借助第三个变量t,建立t和x,t和y 的关系式x=φ(t),y=g(t),再通过一些条件消掉t就间接找到了x和y 所满足的方程,从而求出动点P(x,y)所形成的曲线的普通方程.

4.已知曲线C:y=x2与直线l:x-y+2=0交于两点A(xA,yA)和 B(xB,yB),且xA<xB.记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所 围成的平面区域(含边界)为D.设点P(s,t)是L上的任一点,且点P与 点A和点B均不重合. 若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程.

?y=x2 ? 解析:(1)由? ?x-y+2=0 ?

解得A(-1,1),B(2,4).

设点Q,M的坐标分别为(x1,y1),(x,y), -1+2 1 1+4 5 依题意得x1= = ,y1= = . 2 2 2 2 x1+s 2s+1 y1+t 2t+5 于是x= = ,y= = . 2 4 2 4

4x-1 4y-5 ∴s= ,t= ,① 2 2 4x-1 1 5 ∵-1<s<2,∴-1< <2,即- <x< . 2 4 4 又∵点P(x,t)在曲线C上, ∴t=s2.② 4y-5 4x-1 2 将①代入②得 =( ), 2 2 11 1 5 即y=2x -x+ (- <x< ). 8 4 4
2

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