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2015年5月宁德市普通高中毕业班质量检查数学(文科)试题参考答案及评分标准

2015 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查

数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的 评分细则。 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的 程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部 分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.B 2.B 3.D 4.A 5.D 6.A 7.C 8.D 9.B 10.C 11.C 12.A 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算.本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 3 13. ?2 ? i ; 14. ; 15. 2 2 ; 16.①③. 4 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识;考查推理论证与运算求解 能力,满分 12 分. 解: (Ⅰ)∵ Sn ? 2n ? r , ∴ a1 ? S1 ? 2 ? r , a2 ? S2 ? S1 ? 2 , a3 ? S3 ? S2 ? 4 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ∵数列 ?an ? 是等比数列, ∴ a22 ? a1 ? a3 ,即 22 ? 4(2 ? r ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ∴ r ? ?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ∴数列 ?an ? 是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ∴ an ? 2n?1 (n ? N? ) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 (Ⅱ)∵ an?1 ? 2n ,∴ bn?1 ? bn ? log2 2n ? n , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 当 n ? 2 时, bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ?
?1?1? 2 ?

? (bn ? bn ?1 )

? (n ? 1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

(n ? 1)n 2 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? n2 ? n ? 1 · 2 2 ?1?
又 b1 ? 1 符合上式,

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1 1 ∴ bn ? n2 ? n ? 1 (n ? N? ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 2 18.本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识,考查或然与必然思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)时间分组为 [0,10) 的频率为 1 ? 10(0.06 ? 0.02 ? 0.003 ? 0.002) ? 0.15 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 0.15 ? 0.015 , 10 所以所求的频率直方图中 a 的值为 0.015 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (Ⅱ)100 个非住校生上学路上单程所需时间的平均数:
∴a?
x ? 0.15 ? 5 ? 0.6 ? 15 ? 0.2 ? 25 ? 0.03 ? 35 ? 0.02 ? 45 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 0.75 ? 9 ? 5 ? 1.05 ? 0.9 ? 16.7 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 因为 16.7 ? 20 , 所以该校不需要推迟 5 分钟上课. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(Ⅲ)依题意满足条件的单程所需时间在 [30, 40) 中的有 3 人,不妨设为 a1 , a2 , a3 , 单程所需时间在 [40,50] 中的有 2 人,不妨设为 b1 , b2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 从单程所需时间不小于 30 分钟的 5 名学生中,随机抽取 2 人共有以下 10 种情况:

(a1 , a2 ) , (a1 , a3 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a2 , a3 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) ,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , (b1 , b2 ) ;· 其中恰有一个学生的单程所需时间落在 [40,50] 中的有以下 6 种: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) ; · 6 3 = .· 故恰有一个学生的单程所需时间落在 [40,50] 中的概率 P = · · · · · · · · · · · · · · 12 分 10 5 19.本题主要考查解三角形,三角函数的图象与性质等基础知识;考查运算求解能力,考 查化归与转化思想、数形结合思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由图像可知:函数 f ( x) 的周期 T ? 4 ? ( ? ) ? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 3 12 2? ∴? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? 2 .· ? 又 f ( x) 过点 ( , 2) , 12 ∴ f ( ) ? 2sin( ? ? ) ? 2 , sin( ? ? ) ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 12 6 6 ? ? ? 2? ∵ ? ? , ? ? ? (? , ) , 2 6 3 3 ∴

?

?

?

?

?

?

?
6

?? ?

?
2

,即 ? ?

?
3

.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
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∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 3 ? 3 A ? (Ⅱ)∵ f ( ) ? 2sin( A ? ) ? 3, 即 sin( A ? ) ? , 3 2 2 3 又 A ? (0, ? ), A ? ∴ A?

?

?
3

? 4? ?( , ) 3 3

?
3

?

2? ? ,即 A ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 3 3

, a ? 13, c ? 3 , 3 由余弦定理得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 2 ∴ 13 ? b ? 9 ? 3b ,即 b ? 3b ? 4 ? 0 , 解得 b ? 4 或 b ? ?1 (舍去). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 1 1 ? ∴ S?ABC ? bc sin A ? ? 4 ? 3 ? sin ? 3 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 2 3 20.本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识;考查空间想 象能力、运算求解能力及推理论证能力,满分 12 分. P 解: (Ⅰ)取 CD 中点 G ,连接 AG , CD ? 2 AB, AB // CD, ? AB // GC , AB ? GC ,
? 四边形 AGCB 为平行四边形,

在 ?ABC 中, A ?

?

??AGD ? ?DCB ? ?ABC ? 900

A D G C

B

在 Rt ?AGD 中,

1 AG ? BC ? 1, DG ? CD ? 1, 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? AD ? AG2 ? DG2 ? 1 ? 1 ? 2, ·
? PD2 ? 3, PA2 ? AD2 ? 1 ? 2 ? 3, PD2 ? PA2 ? AD2 ,
??PAD ? 900 , 即 PA ? AD, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 平 面PAD ? 平 面ABCD, 平 面PAD 平 面ABCD ? AD · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ?PA ? 平 面ABCD · 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 S?ACD ? CD ? AG ? 1 , · 2 ?VA? PCD ? VP ? ACD · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 1 ? ? S?ACD ? PA 3 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? ? 1? 1 ? . · 3 3 BE 1 (II)棱 PB 上存在点 E ,当 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? 时, PD // 平面 ACE . · BP 3 证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 OE . ∵ AB // CD, CD ? 2 AB
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P

BO AB 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? ? ,· OD CD 2 E BO 1 BE 1 ∴ ? ,又 ? BD 3 BP 3 A B BO BE ∴ , ? O BD BP
∴ ∴ OE // DP, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · C · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 D 又 OE ? 面ACE,PD ? 面ACE , ? PD // 面ACE .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 21.本题主要考查直线、椭圆、轨迹等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系;考查运算 求解能力、推理论证能力;考查特殊与一般的思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)设 E ( x, y ) , y y 1 依题意得 kEA ? kEB ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? ? ? , ( x ? ? 2) , · 2 x? 2 x? 2 x2 整理得 ? y 2 ? 1 , 2 x2 ∴动点 E 的轨迹 C 的方程为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? y2 ? 1 ( x ? ? 2) . · 2 x2 (Ⅱ) (ⅰ) F (1,0) ,设 P( x1 , y1 ), 则 y12 ? 1 ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 ∴

(1 ? x1 )2 ? y12 | PF | · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? d 2 ? x1 y x12 2 P 1 ? 2 x1 ? x1 ? 1 ? 2 ? M 2 ? x1

?
?

1 ( x1 ? 2)2 2 2 ? x1

O

F Q

x

2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 (说明:直接给出结论正确,没有过程得 1 分)

(ⅱ)依题意,设直线 PQ : x ? my ? 1, Q( x2 , y2 ) ,
? x ? my ? 1 ? , 可得 (2 ? m2 ) y 2 ? 2my ? 1 ? 0 , · 联立 ? x 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 ? ? y ?1 ?2 2m 显然 ? ? 0, y1 ? y2 ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ,· 2 ? m2 2 ?m 所以线段 PQ 的中点 T 坐标为 ( · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 , ), · 2 2 ? m 2 ? m2
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又因为 FM ? l1 , 故直线 FM 的方程为 y ? ?m( x ? 1) , 所以点 M 的坐标为 (2, ?m) ,

m · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 x, · 2 2 ?m m 因为 T ( , ) 满足方程 y ? ? x, 2 2 2?m 2?m 2 故 OM 平分线段 PQ. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 解法二: (Ⅰ) (Ⅱ) (ⅰ)同解法一 (ⅱ)当直线 l1 的方程为 x ? 1 时,显然 OM 平分线段 PQ ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
所以直线 OM 的方程为: y ? ? 当直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 时,设 Q( x2 , y2 )
? y ? k ( x ? 1) ? , 可得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , 联立 ? x 2 2 ? y ? 1 ? ?2

4k 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ,· 2k 2 ? 1 2k 2 k 所以线段 PQ 的中点坐标为 T ( 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ,? 2 ) · 2k ? 1 2k ? 1 1 又因为 FM ? l1 , 故直线 FM 的方程为 y ? ? ( x ? 1) , k
显然 ? ? 0, x1 ? x2 ?

1 所以点 M 的坐标为 (2, ? ) , k

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 x, · 2k 2k 2 k 1 因为 T ( 2 , ? 2 ) 满足方程 y ? ? x, 2k 2k ? 1 2k ? 1 故 OM 平分线段 PQ. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 22.本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识;考查运算求解能力、推理论证能力; 考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想.满分 14 分. 1 a ? ?2 时, f ( x) ? ln x ? x ? 1 , f ?( x) ? ? 1, · 解: (Ⅰ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? 切点为 (1,0) , k ? f ?(1) ? 2 · ? a ? ?2 时,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
所以直线 OM 的方程为: y ? ? (II) (i)

1 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , 2 1 a 2 ? ax ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? f ?( x) ? ? ? x 2 2x ① 当 a ? 0 时, x ? (1, ??) , f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增, f ( x) ? f (1) ? 0 ,
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· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? a ? 0 不合题意. ·
2 ? ax 2 ?? ②当 a ? 2 即 0 ? ? 1, 时, f ?( x) ? 2x a 2 a( x ? ) a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立, 2x

? f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减,有 f ( x) ? f (1) ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? a ? 2 满足题意. · 2 2 2 ③若 0 ? a ? 2 即 ? 1, 时,由 f ?( x) ? 0 ,可得 1 ? x ? ,由 f ?( x) ? 0 ,可得 x ? , a a a

2 2 ? f ( x) 在 (1, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减, a a 2 ? f ( ) ? f (1) ? 0 , a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 0 ? a ? 2 不合题意. · 综上所述,实数 a 的取值范围是 [2, ??). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
(ii) a ? 2 时, “比较 e a ? 2 与 a e ? 2 的大小”等价于“比较 a ? 2 与 (e ? 2)ln a 的大小” 设 g ( x) ? x ? 2 ? (e ? 2)ln x ( x ? 2) 则 g ?( x) ? 1 ?

e ? 2 ( x ? 2) ? e ? ? 0, x x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? g ( x) 在 [2, ??) 上单调递增, · g (e) ? 0,

当 x ? [2, e) 时 , g ( x) ? 0, 即 x ? 2 ? (e ? 2) ln x ,? e x ? 2 ? xe ? 2 当 x ? (e, ??) 时 , g ( x) ? 0 ,即 x ? 2 ? (e ? 2) ln x ,? e x ? 2 ? xe ? 2 综上所述,当 a ? [2, e) 时, e a ? 2 ? a e ? 2 ; 当 a ? e 时, e a ? 2 ? a e ? 2 ; 当 a ? (e, ??) 时, e a ? 2 ? a e ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

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