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2012高中数学 第3章3.1.5空间向量的数量积精品课件 苏教版选修2-1


3.1.5 空间向量的数量积

学习目标

1.掌握空间向量数量积的概念、运算律,能
正确进行运算及在空间坐标系下的运算.

2.能正确地运用空间向量的数量积知识求夹
角、距离,并能正确地判断一些有关平行、

垂直等问题.

课前自主学案

3.1.5

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 a· b=|a||b|cosθ 1.平面向量a,b,则____________. 2.平面向量的数量积满足交换律及分配律, c+b· c 即a· b· b=_____,(a+b)· a· c=________. a

知新益能
1.空间两向量的夹角 (1)定义:已知两个非零向量 a,b,在空间任取一 → → 点 O,作OA=a,OB=b,则∠AOB 叫做向量 a,b 〈a , b〉 的夹角,记作_______. 规定 0≤〈a,b〉≤π.

(2)由定义可得如下结论: ①〈a,b〉=〈b,a〉 ; 同向 ②如果〈a,b〉=0,则 a,b______; 如果〈a,b〉=π,则 a,b______; 反向 π 互相垂直 如果〈a,b〉= ,则称 a,b__________,并 2 a⊥b 记作______. (3)两个非零向量才有夹角, 0 与其他向量之 而 间不定义夹角.

2.空间两向量数量积的定义 定义:设a,b是空间两个非零向量,我们把 数量|a||b|· cos〈a,b〉叫做向量a,b的数量 cos〈a , b〉 积,记作a· b,即a· |a||b|· b=________________.

特别规定:零向量与任一向量的数量积为0.

3.空间向量数量积的性质
设a,b是两非零向量,e是单位向量,〈a, e〉是a与e的夹角,于是我们有下列数量积 的性质: (1)e· a=a· |a|cos〈a , e〉 e=_____________;

(2)a⊥b?_______(a,b是两个非零向量); a· b=0 |a||b| (3)a,b同向?a· b=______; a,b反向?a· -|a||b| b=______;

a· b |a||b| (4)cos〈a,b〉=_____(〈a,b〉为 a, b 的夹角); 2 a· a |a|2 (5)a· a=a =____或|a|=______.
4.空间向量数量积的运算律 a· b=b· a (1)交换律:____________; (2)数乘向量与数量积的结合律:λ(a· b) =(λa)· b=a· (λb)(λ∈R); (3)分配律:(a+b)· c=a· c+b· c.

5.空间向量的直角坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
a1b1+a2b2+a3b3 (1)a· b=_________________;

(2)a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈ a1 a2 a3 R), = = (b1≠0, 2≠0, 3≠0). 或 b b b1 b2 b3

6.夹角和距离公式 (1)夹角公式 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),其 中 a,b≠0. a1b1+a2b2+a3b3 则 cos a, = 2 〈 b〉 2 2 2 2 2. a1+a2+a3· b1+b2+b3

(2)距离公式 设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), → ?x2-x1?2+?y2-y1?2+?z2-z1?2 则|AB|=____________________________.

问题探究 1.〈a,b〉与〈b,a〉的关系是怎样的?〈a,b〉 与〈a,-b〉的关系呢? 提示:〈a,b〉=〈b,a〉,〈a,-b〉=π-〈a ,b〉. 2.如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标 运算间的关系?

提示:空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算 类似,仅多了一项竖坐标,其法则与横、纵坐标一 致,即空间平面“一个样”,只是“多了一个量”.

课堂互动讲练

考点突破

求向量的数量积
两向量的数量积是两个向量之间的一种乘

法,其结果是个数量,不是向量,它的值为
两向量的模与两向量夹角余弦的乘积,其符

号由夹角的余弦值决定.

例1 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD =4,E 为侧面 AA1B1B 的中心,F 为 A1D1 的中点.求下列 向量的数量积:

→ → → → → → (1)BC· 1;(2)BF· 1 ;(3)EF· 1 . ED AB FC

【思路点拨】 先选择基向量,再运用向量 的数量积公式计算.

→ → → 【解】如图所示,设AB=a,AD =b,AA1 =c, 则|a|=|c|=2,|b|=4,a· b=b· c=c· a=0. 1 → → → → → (1)BC· 1 =BC · 1 +A1D1 )=b· (c-a)+b]= ED (EA [ 2 |b|2=42=16. 1 → → → → → → (2)BF · 1 =(BA1 +A1F )· +AA1 )=(c-a+ AB (AB 2 b)· (a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.

1 1 → → → → → → (3)EF · 1 = (EA1 +A1F )·FD1 + D1C1 )= [ (c- a)+ FC ( 2 2 1 1 1 b]· b+a)= (-a+b+c)· b+a) ( ( 2 2 2 1 1 =- |a|2+ |b|2=2. 2 4

【名师点评】

本题所用方法是基底法,

也可用坐标法,针对于不同的图形条件可有 选择地应用.

自我挑战如图所示,已知空间四边形 ABCD 的 每条边和对角线长都等于 1,点 E、F 分别是 AB、AD 的中点,计算: → → → → (1)EF· ;(2)EF· . BA DC

→ → 1→ → 解:(1)EF· = BD · BA BA 2 1 → → → → = |BD |· |cos〈BD ,BA〉 |BA 2 1 1 = ×1×1×cos 60° , = 2 4 → → 1→ → (2)EF· = BD · DC DC 2 1 → → → → = |BD |· |cos〈BD ,DC〉 |DC 2 1 1 = ×1×1×cos 120° =- . 2 4

求线段的长度(向量的模) 求向量的模,可以利用向量的数量积,即 |a|2=a· a,或者用坐标法求两点间的距离.

如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1 =5,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长 .

例2

【思路点拨】 要选取合适的基向量表示 AC1,再借助向量的数量积进行计算. → → 【解】 由题意可得AB· =0, AD → → AB· 1 =4×5×cos 60° AA =10, → → AD · 1 =3×5×cos 60° AA =7.5.

→ → → → → → 因 为AC1 =AB +BC + CC1 =AB +AD + → AA1 ,

→ 2 → → → 2 → 2 → 2 所以|AC1 | =(AB +AD +AA1 ) =|AB | +|AD | + → 2 → → → → → → |AA1 | +2(AB· +AB· 1 +AD · 1 )=42+32+ AD AA AA 52+2×(0+10+7.5)=85.从而得到 AC1 的长为 85.

【名师点评】 求AC1的长,先把AC1转化 为向量表示,然后根据已知向量的模及向量 间的夹角得其模的平方,再开方即为所求.

向量数量积的坐标公式 的应用 向量的坐标运算往往注重运算过程,因而向 量的数量积的有关问题也多运用其坐标形式 来解决.

例3

本题满分 14 分)已知空间三点 A(-2,0,2), → → B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a=AB,b=AC. (1)求 a 和 b 的夹角 θ 的正弦值; (2)若向量 ka+b 和 ka-2b 互相垂直,求 k 的 值.

【思路点拨】 式求解.

(1)利用向量数量积的坐标公

(2)利用两向量垂直的充要条件列方程求解.
【规范解答】 =(1,1,0), → b=AC=(-3,0,4)-(-2,0,2) =(-1,0,2).4 分 a· -1+0+0 b 10 (1)cosθ= = =- . 10 |a||b| 2× 5 ∵θ∈[0,π], → a=AB =(-1,1,2)-(-2,0,2)

1 3 10 ∴sinθ= 1-cos θ= 1- = .9 分 10 10 (2)∵ka+b=(k, k,0)+(-1,0,2)=(k-1, k,2), ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,- 4), (ka+b)· (ka-2b)=0, ∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4) =(k-1)(k+2)+k2-8=0,12 分 5 2 即 2k +k-10=0.∴k=- 或 k=2.14 分 2
2

【名师点评】 若 a=(x1,y1,z1),b= (x2,y2,z2)(a,b 为非零向量且 x1,x2, x1 y1,y2,z1,z2 均不为 0),则 a∥b? = x2 y1 z1 = ;a⊥b?x1x2+y1y2+z1z2=0. y2 z2

方法感悟

1. 由定义可以得到两个向量的夹角只与 两个向量的方向有关,而与向量公共起 点位置的选取无关,也与向量的模的大 小无关. π 2.利用两个向量的夹角为 ,判断空间 2 直线的垂直是向量在立体几何中的重要 应用之一.

3.数量积是数量,可以是正数,也可以是 负数或零,它没有方向,可以比较大小.a 与b的数量积的几何意义是:向量a的模|a|与 b在a方向上的投影|b|cos〈a,b〉的乘积. 4.利用坐标运算求向量的夹角,以至求异 面直线所成的角,是空间向量知识的重要应 用,也是求异面直线所成角的基本方法之一 .

5.在求线段长度时,一般可以先选好基底 ,用基向量表示所求向量,然后利用|a|2=a2 来求解.选择基底时,应注意三个基向量两 两之间的夹角应该是确定的、已知的.当所 选基向量两两互相垂直时,可以建立空间直 角坐标系,用坐标运算更为方便.

6.求异面直线所成角时,应注意异面直线 所成角与向量夹角的区别:如果向量夹角为 锐角或直角,则异面直线所成的角等于两向 量夹角;如果向量夹角为钝角,则异面直线 所成的角为向量夹角的补角.

知能优化训练

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