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2016—2017学年度第二学期高二理科数学期末调研测试题解析


2017 年 6 月高二期末调研测试

理 科 数 学 试 题 参 考 解 析
一、填空题: 1.已知集合 A ? {1, 2, 3} , B ? {x | ?1 ≤ x ≤ 2} ,则 A ? B ? 【答案】 {1, 2} 2.幂函数 f ( x) ? x? 的图象过点 (2, 2) ,则 ? ? 【答案】 ▲ ▲ .



1 2

3. i 为虚数单位,计算 【答案】 ?1

(1 ? i ) 2 ? 2i





4.命题“ ?x ? R, x2 ? 2x ? 1 ? 0 ”的否定是 【答案】 ?x ? R, x2 ? 2x ? 1 ? 0 5.已知 tan ? =2 ,则 【答案】 ?5 6. “ sin ? ?





sin ? +3cos ? ? sin ? ? 3cos ?





? 1 ”是“ ? ? ”的 6 2



条件(从“充分不必要” , “必要不充分” ,

“充要” , “ 既不充分也不必要”中选择适当的一个填空) . 【答案】必要不充分 7.2 名男生和 3 名女生站成一排照相,男生不站两端,则不同的站法种数是 字作答) . 【答案】36 8.已知函数 f1 ( x) ? 2 x ,对于 n ? N ,定义 f n?1 ( x) ? f1 ( f n ( x)) ,则 f n ( x) 的解析式为
*



(用数

fn ( x) ?
【答案】 2n x





AC ? BC , D,E ,F 分别是 9 .如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA 1 ? AC ? BC ? 2 ,

A1B1 , CC1 , BC 的中点,则直线 AE 与 DF 所成角的大小为





数学参考答案第 1 页(共 12 页)

【答案】

? 2

10.已知 sin( x ? 【答案】 ?

?
3

)?

1 ? ? ,则 cos( x ? ) ? sin(2 x ? ) ? 4 6 6





5 8

11.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足:当 x ? 0 时, f (x) ? log 2( x ? a) ? x ? b ,且 f (2) ? ?1 , 则 f (?14) ? 【答案】11 12.数式 1 ? 1 ? 1 ? … 中省略号“?”代表无限重复,因原式是一个固定值,故可以用
2 如下方法求得:令原式为 t ,则 1 ? t ? t ,所以 t ? t ? 1 ? 0 ,由 t ? 0 ,得 t ?





5 ?1 .类 2

比上述方法可得

1 2? 2? 1 1 2 ?…

? ____▲____.

【答案】 2 ? 1 13. 100 只灯泡中含有 n(2 ? n ? 92) 只不合格品,从中一次任取 10 只,恰含有 2 只不合格品 的概率记为 f ( n) ,则当 n ? ____▲____时, f ( n) 取得最大值. 【答案】20 14.设函数 f ( x) ? ex ? ax ? 2 ,其中 a ? 0 .若存在实数 x0 ? [1, 2] ,使 f [ f ( x0 )] ? x0 ,则 a 的 取值范围是____▲____. 【答案】 (0,3 ? e]

数学参考答案第 2 页(共 12 页)

15. (本小题满分 14 分) 记函数 f ( x) ? 3 ? x ? 合 N. (1)求 M ? N; (2)若 x ? M 时, g ( x) ? kx 恒成立,求实数 k 的取值范围. 【答案】(1) M=[1,3],N= [2, ??) , M ? N = [1, ??) ; ……7 分

x ? 1 的定义域为集合 M,函数 g ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 的值域为集

?1 ? (k ? 2) ? 3 ? 0, (2) 法一: x2 ? (k ? 2) x ? 3 ? 0 在 x ? [1,3] 上恒成立,则 ? 解得 k ? 2 . ?9 ? (k ? 2) ? 3 ? 3 ? 0,

故实数 k 的取值范围是 [2, ??) .

……14 分

法二: x2 ? (k ? 2) x ? 3 ? 0 在 x ? [1,3] 上恒成立,令 ? ( x) ? x 2 ? (k ? 2) x ? 3 ,则 ? ( x)max ? 0 . 1°当 2°当

k ?2 ? 2 ,即 k ? 2 时, ? ( x)max ? ? (3) ? 6 ? 3k ? 0 ,解得 k ? 2 ,又 k ? 2 ,所以 k ? 2 ; 2 k ?2 ? 2 ,即 k ? 2 时, ? ( x)max ? ? (1) ? 2 ? k ? 0 ,解得 k ? 2 ,又 k ? 2 ,所以 k ? 2 . 2
……14 分

综上所述,实数 k 的取值范围是 [2, ??) . 法三: k ? x ? 2 ?

3 3 x2 ? 3 在 x ?[1,3]恒成立,令 h( x) ? x ? 2 ? ,则 h?( x) ? , x x2 x

所以当 x ? (1, 3) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? ( 3,3) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增. 而 h(1) ? 2 , h(3) ? 2 ,所以 h( x)max ? 2 ,所以 k ? 2 . 故实数 k 的取值范围是 [2, ??) . 16. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 ……14 分

?
3

) ? 3( x ? R) .

? 个单位长度,再将图象上所有点横坐标不变,纵坐 6

标变为原来的

1 1 倍,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求不等式 g ( x ) ? 的解集. 2 2

1 3 cos x) ? 3 【答案】(1) f ( x)=4 cos x( sin x ? 2 2

数学参考答案第 3 页(共 12 页)

=2cos x sin x ? 2 3 cos2 x ? 3 ? sin 2x ? 3(1 ? cos2x) ? 3

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) , 3
所以 f ( x) 的最小正周期 T = (2) g ( x) ? 所以

?

……6 分 ……7 分 ……10 分

2? =? . 2

1 ? 1 f ( x ? ) ? sin 2x ? , 2 6 2 5? ? 2k? , k ? Z , 6

?
6

? 2k? ? 2x ?

? 5? ( ? k?, ? k?),k ? Z . 所以原不等式的解集为 12 12 17. (本小题满分 14 分)

……14 分

已知实数 a ? 0 ,命题 p :"?x ? R,3sin 2 x ? 2a ? 0" , 命题 q : " f ( x) ? ax2 ? x ? 2a 在 [?1,1] 上有零点 " . (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 " p ? q " 为真命题,命题 " p ? q " 为假命题,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) 若命题 p 为真命题,则 ?x ? R,3sin 2 x ? 2a ? 0 , 所以 ?x ? R,3sin 2 x ? 2a ? 0, x ? R 恒成立. 即 3sin x ? 2a, x ? R 恒成立,又 (3sin 2 x) max ? 3
2

所以 2a ? 3 ,故 a ?

3 . 2

……4 分

(2) 法一:若命题 q 为真命题,则 f ( x) ? ax2 ? x ? 2a 在 [?1,1] 上有零点. 因为 a ? 0 . ①当 a =0 时,符合题意, ②当 a ? 0 时, 1° ?

1 1 ? ?1 即 0 ? a ? 时, f ( x) 在 [?1,1] 单调递增, 2a 2

? f (?1) ? a ? 1 ? 2a ? 0, 1 1 所以 ? 则 ?1 ? a ? 1 ,又 0 ? a ? ,所以 0 ? a ? ; 2 2 ? f (1) ? a ? 1 ? 2a ? 0,

2° ?1 ? ?

1 1 1 1 ? 0 即 a ? 时, f ( x) 在 [?1, ? ] 单调递减, [? , 1] 单调递增, 2a 2 2a 2a

?? ? 1 ? 4a(?2a) ? 0, 1 1 所以 ? 则 a ? 1 ,又 a ? ,所以 ? a ? 1 . f (1) ? a ? 1 ? 2 a ? 0, 2 2 ?

数学参考答案第 4 页(共 12 页)

综上,若命题 q 为真命题,则 0 ? a ? 1 . 又命题 " p ? q " 为真命题,命题 " p ? q " 为假命题, 命题 p , q 一真一假

……8 分 ……10 分

3 ? 3 ? ?a ? ?a ? , 则? 2 或? 2 ? ? ?0 ? a ? 1 ?a ? 0或a ? 1
所以 0 ? a ? 1 或 a ?

3 , 2 3 . 2
……14 分

故实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 或 a ?

法二:若命题 q 为真命题,则 ?x ? [?1,1] ,使得 ax 2 ? x ? 2a ? 0 ,

x . 2 ? x2 2 ? x 2 ? x(?2 x) x2 ? 2 x ? g ( x ) ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 在 [?1,1] 上单调递增, 令 g ( x) ? ,则 (2 ? x 2 )2 (2 ? x 2 ) 2 2 ? x2 又 g (?1) ? ?1 , g (1) ? 1 ,所以 g ( x) 的值域为 [?1,1] ,所以 a ? [?1,1] ,
即 ?x ? [?1,1] ,使得 a ? 又 a ? 0 ,所以 0 ? a ? 1 . 下同解法一. 18. (本小题满分 16 分) ……8 分

如图,某小区内有两条相互垂直的道路 l1 与 l2 ,平面直角坐标系的第一象限有块空地

OAB ,其边界 OAB 是函数 y ? f ( x) 的图象.前一段 OA 是函数 y ? k x 图象的一部分,后
一段 AB 是一条线段,测得 A 到 l1 的距离为 8 米、到 l2 的距离为 16 米, OB 长为 32 米.现要 在此地建一个社区活动中心,平面图为直角梯形 PQBD (其中 PQ 、 DB 为两个底边) . (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)设梯形的高为 t 米,则当 t 为何值时,社区活动中心的占地面积最大.

l2 P A Q

O

D

B

l1

【答案】(1) A(16,8)代入 y ? k x 得 k=2,

……2 分

数学参考答案第 5 页(共 12 页)

又 B(32,0) 得 AB AB : y ? ?

1 x ? 16 2

……4 分

? 2 x , 0 ? x ? 16, ? f ( x) ? ? 1 ? ? x ? 16,16 ? x ? 32. ? 2

……7 分(取值范围不正确扣 1 分)

(2) 由梯形的高为 t ( 0 ? t ? 8 ) ,则 P(

t2 , t ) , Q(32 ? 2t , t ) , 4
……10 分

1 t2 t2 t3 2 则 S (t ) ? (32 ? 2t ? ? 32 ? )t ,即 S (t ) ? ? ? t ? 32t , 2 4 4 4
S ?(t ) ? ?

(t ? 8)(3t ? 16) , 4 16 16 当 t ? (0, ) 时, S ?(t ) ? 0 , S (t ) 为增函数;当 t ? ( ,8) 时, S ?(t ) ? 0 , S (t ) 为减函数, 3 3 16 2816 故当 t ? 米时, S (t ) 取最大值,最大值为 平方米. (注:可以不求出最大值) …15 分 27 3 16 答:当梯形的高 t ? 米时,社区活动中心的占地面积最大. ……16 分 3
19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? ln x ( a ? R ) . x ?1

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)①当 a =2 时,比较 f ( x ) 与 1 的大小; ②试用数学归纳法证明:对于一切正整数 n ,都有 ln(n ? 1) ?
'

1 1 1 1 ? ? ??? . 3 5 7 2n ? 1

?a 1 x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? ? (0, +?) 【答案】(1) 因为 f ( x) ? ,x∈ ( x ? 1)2 x x( x ? 1)2
当?

2?a ? 0 ,即 a ? 2 时,有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (0, +?) 单调递增; 2
(0, +?) 时有 f ( x) ? 0 , 则 f ( x) 在 单调递增;
'

2 (2 4 , ] 当 a ? 2 且 (2 ? a) ? 4 ? 0 , 即a?

2 (4, +?) 当 a ? 2 且 (2 ? a) ? 4 ? 0 ,即 a ? 时

数学参考答案第 6 页(共 12 页)

f ( x) 在

(0,

a ? 2 ? a 2 ? 4a a ? 2 ? a 2 ? 4a ) ( ,??) , 单调递增, 2 2

a ? 2 ? a 2 ? 4a a ? 2 ? a 2 ? 4a ( , ) 在 单调递减. 2 2

(0, +?) 综上:当 a ? 4 时, f ( x ) 在 单调递增,
(0, a ? 2 ? a 2 ? 4a a ? 2 ? a 2 ? 4a ) ( ,??) , 单调递增, 2 2

当 a ? 4 时, f ( x ) 在

a ? 2 ? a 2 ? 4a a ? 2 ? a 2 ? 4a , ) 在 单调递减. 2 2 (

……6 分

(0, +?) (2) ①当 a =2 时,由(1)可知 f ( x ) 在 是增函数.
故当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 , 当 x =1 时, f ( x)=f (1) ? 1 , 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 . ②当 n ? 1 时,不等式左边 ? ln 2 ,右边 ? 即 n ? 1 时,不等式成立.
*

……10 分

1 1 .因为 3ln 2 ? ln 8 ? 1 ,所以 ln 2 ? . 3 3 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? . 3 5 7 2k ? 1

假设当 n ? k (k ? N ) 时,不等式成立,即 ln(k ? 1) ? 那么,当 n ? k ? 1 时,

k ?2 k ?2 1 1 1 1 k ?2 ] ? ln(k ? 1) ? ln ? ( ? ? ? ??? ? ) ? ln k ?1 k ?1 3 5 7 2k ? 1 k ?1 2 x ?1 ? 1 ,即 ln x ? 由①的结论可知,当 x ? 1 时, ln x ? , x ?1 x ?1 k ?2 ?1 k ? 2 1 k ?2 令x? ,则 ln , ? k ?1 ? k ?1 k ? 1 k ? 2 ? 1 2k ? 3 k ?1 1 1 1 1 1 ? 所以 ln(k ? 2) ? ? ? ? ??? ? , 3 5 7 2k ? 1 2k ? 3 即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. ln(k ? 2) ? ln[(k ? 1) ?
综上可知,不等式对一切正整数 n 都成立. ……16 分

数学参考答案第 7 页(共 12 页)

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a( x ?1)2 ?1, g ( x) ? b ln x ? x ,且 g ( x) 在 x ? 1 处取极值. (1)求实数 b 的值; ( 2 )设 h( x ) ?

g ( x) ,其图象上一点 P( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 y ? ? ( x) .若对任意 x

x ? (0,x0 ), h( x) ? ? ( x) ;对任意 x ? ( x0 , ??) , h( x) ? ? ( x) ,求 P 点横坐标 x0 的值;
(3)设 F (x) ? f (x) ? g (x) ,若存在 t ? (1, e) ,使得对任意 x ? (0, t ] , F ( x) ? F (t ) 恒成立, 求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) g ?( x ) ? 经检验,符合题意. (2) h( x ) ?

b b ? 1 ,因为 x ? 1 是 g ( x) 的极值点,故 g ?(1) ? ? 1 ? 0 ,得 b ? 1 . x 1
……4 分

ln x 1 ? ln x 1 ? ln x0 ? 1 , h?( x) ? ,切线方程为 ? ( x) ? ( x ? x0 ) ? h( x0 ) , 2 2 x x x0 1 ? ln x0 ln x 记 H ( x) ? h( x) ? ? ( x) ,则 H ( x) ? ?1 ? ( x ? x0 ) ? h( x0 ) , H ( x0 ) ? 0 . 2 x x0 1 ? ln x 1 ? ln x0 1 ? ln x 1 ? ln x0 , H ?( x0 ) ? 0 .令 G( x) ? H ?( x) ? , H ?( x) ? ? ? 2 2 2 x x0 x2 x0

G?( x) ?

2 ln x ? 3 ,所以 H ?( x) 在 (0, e 2 ) 上单调递减,在 (e 2 , ??) 上单调递增, x3
3 2 3

3

3

若 x0 ? e ,则 x ? (0, x0 ) 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 单调递增, H ( x) ? H ( x0 ) ? 0 ;
/ 2 时, H ( x) ? 0 , H ( x ) 单调递减, H ( x) ? H ( x0 ) ? 0 ,不符题意; x ?( x 0 , e )

若 x0 ? e 2 ,则 x ? (e 2 , x0 ) 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 单调递减, H ( x) ? H ( x0 ) ? 0 ; 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 单调递增, H ( x) ? H ( x0 ) ? 0 ,不符题意; x ? ( x0 ,?? ) 若 x0 ? e 2 ,则 x ? (0, e 2 ) 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 单调递增, H ( x) ? H ( x0 ) ? 0 ; 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 单调递增, H ( x) ? H ( x0 ) ? 0 ,符合题意. x ? (e 2 ,?? ) 综上, P 点的横坐标 x0 ? e 2 . (3) F ( x) ? a( x ?1) ?1 ? ln x ? x , F ?( x) ? 2a ( x ? 1) ?
2
3 3

3

3

3

3

……10 分

1 ( x ? 1)(2ax ? 1) ?1 ? . x x

①当 a ? 0 时,

2ax ? 1 ? 0 .当 0 ? x ? 1 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 为减函数;当 1 ? x ? t 时, x

F ?( x) ? 0 , F ( x) 为增函数.故有 F (1) ? F (t ) ,与 x ? (0, t ] 时, F ( x) ? F (t ) 不符.

数学参考答案第 8 页(共 12 页)

②当 a ? 0 时, F ?( x) ?

2a( x ? 1)( x ?

x 1 1 ? 1 ,即 a ? ? 时,列表如下: (i)当 ? 2a 2
x
f ?( x)
f ( x)

1 ) 2a .

(0, ?

1 ) 2a

?

1 2a
0

(?

1 ,1) 2a
?

1
0

(1, ??)
?

?

减函数

极小值

增函数

极大值

减函数

若满足题意,需 F (? 整理得

1 1 1 1 ? 1)2 ? 1 ? ln(? ) ? ? a(e ? 1)2 ? 2 ? e , ) ? F (e) ,即 a(? 2a 2a 2a 2a

1 1 ? ln(?2a ) ? (e 2 ? 2e)a ? e ? 2 ? 0 ,令 p (a ) ? ? ln(?2a) ? (e 2 ? 2e)a ? e ? 2 , 4a 4a

p?(a) ?

4(e2 ? 2e)a 2 ? 4a ? 1 1 ? 0 ,所以 p(a) 在 (??, ? ) 上为增函数, 2 2 4a

1 e2 ? 5 1 1 p(a) ? p(? ) ? 2e ? ? 0 ,故当 a ? ? 时, F ( ? ) ? F (e) 恒成立, 2 2a 2 2
即存在 t ? (1, e) ,使得对任意 x ? (0, t ] , F ( x) ? F (t ) 恒成立,符合题意. (ii)当 ?

( x ? 1) 2 1 1 ? 1 ,即 a ? ? 时, F ?( x) ? ? ? 0 , F ( x) 在 (0, t ] 上为减函数, 2a 2 x

故存在 t ? (1, e) ,使得对任意 x ? (0, t ] , F ( x) ? F (t ) 恒成立, ,符合题意. (iii)当 ?
x
f ?( x)
f ( x)

1 1 ? 1 ,即 ? ? a ? 0 时,列表如下: 2a 2
(0,1)
?

1
0

(1, ?

1 ) 2a

?

1 2a
0

(?

1 , ??) 2a
?

?

减函数

极小值 0

增函数

极大值

减函数

由题意,需 F (e) ? F (1) ,且 ? 解得 a ? 又
2?e 1 ,且 a ? ? . 2 (e ? 1) 2e

1 1 , ? e (若 ? ? e ,不符合题意) 2a 2a

2?e 1 2?e 1 2?e ? ? ,所以 a ? ,此时, ? ? a ? . (e ? 1) 2 (e ? 1)2 2e 2 (e ? 1) 2

综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,

2?e ). (e ? 1) 2

……16 分

数学参考答案第 9 页(共 12 页)

理科(加试)参考答案
21. (本小题满分 10 分) 已知在 ( x 3 ? 2 x) n 的展开式中,二项式系数的和为 64. (1)求 n 的值; (2)求展开式中含 x 5 的项.
0 1 n ? Cn ? ? ? Cn ? 2n ,则 2n ? 64 ,解得 n ? 6 . 【答案】(1) 二项式系数和为 Cn
2 1 4? r 3 2

……5 分

(2) Tr ?1 ? C6r ( x 3 )6? r ? (2 x)r ? C6r ? 2r ? x

1 3 ? 23 ? x5 ? 160x5 . 令 4 ? r ? 5 ,则 r ? 3 ,∴ T4 ? C6 3

……10 分

22. (本小题满分 10 分) 在一次考试中,A 题和 B 题为选做题.规定每位考生必须且只须在其中选做一题.现有 1 3 名学生,每名学生选做每一题的概率均为 . 2 (1)求这 3 名学生选做 A 题的概率; (2)设这 3 名考生中选做 B 题的学生个数为 X,求 X 的概率分布列及数学期望. 1 【答案】(1) 记“这 3 名学生选做 A 题”为事件 C ,则 P(C) ? . 8 1 (2) 随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,且 X~B(3, ), 2
1 1 1 k 则 P( X ? k ) ? C3k ( )k (1 ? )3?k ? C3 (k=0,1,2,3). 2 2 8

……4 分

故变量 X 的概率分布为

X
P
1 3 3 1 3 E(X) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 8 8 8 8 2

0
1 8

1
3 8

2
3 8

3
1 8

……10 分

23. (本小题满分 10 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 垂直于底面正方形 ABCD , PA ? 2 , M 是 PC 上的点. (1)当 M 为靠近 P 的三等分点时, A 在平面 MBD 上的射影恰好是 ?MBD 的重心 G ,求此 时底面正方形 ABCD 的边长; (2)若底面正方形 ABCD 的边长为 1 ,试确定点 M 的位置,使得平面 PAB 与平面 MBD 所 成角的余弦值为

3 . 3

数学参考答案第 10 页(共 12 页)

P

M

A

D

B

C

【答案】以 {AB , AD, AP} 为基底,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形 ABCD 的边长 为 a ,则 A(0,0,0), B(a,0,0), C(a, a,0), D(0, a,0), PC ? (a, a, ?2), BD ? (?a, a,0) , 设 PM ? ? PC(0 ? ? ? 1) ,则 AM ? AP ? PM ? AP ? ? PC ? (?a, ?a, 2 ? 2? ) ,

??? ? ???? ??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

???? ?

??? ? ???? ?

??? ?

??? ?

???? ? a a 4 1 时, AM ? ( , , ) 3 3 3 3 ???? ? ???? ? 2a a 4 a 2a 4 4a 4a 4 , , ), DM ? ( , ? , ) ,则 ?MBD 的重心 G 为 ( , , ) 所以 BM ? (? 3 3 3 3 3 3 9 9 9 ???? ???? ? 所以由 AG ? BM ? 0 ,得 a ? 2 ; ……5 分
(1) 当 M 为靠近 P 的三等点,即 ? ? (2) 因为底面正方形 ABCD 的边长为 1 ,即 a ? 1 , 则 B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), PC ? (1,1, ?2), BD ? (?1,1,0), AM ? (?, ?,2 ? 2?) 所以 BM ? (? ?1, ?,2 ? 2?), BD ? (?1,1,0) 因为 AD ? 平面 PAB ,所以平面 PAB 的法向量 m ? (0,1,0) ,

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

??? ?

??

? 设平面 MBD 的法向量 n ? ( x, y, z) , ? ???? ? ? n ? BM ? (? ? 1) x ? ? y ? (2 ? 2? ) z ? 0 ? 则 ? ? ??? , ? n ? BD ? ? x ? y ? 0 ? ? ? 2? ? 1 ) 令 x ? 1 ,则 n ? (1,1, 2? ? 2 ?? ? ?? ? m?n 1 3 所以 cos ? m, n ??| ?? ? |? ? 3 | m || n | 2? ? 1 2 1 1?1? ( ) 2? ? 2
解得 ? ?

z P

M

A

D

y

B x

C

3 ,所以 M 是 PC 上靠近 C 的四等分点. 4

……10 分

数学参考答案第 11 页(共 12 页)

24. (本小题满分 10 分) 设 n ? N* , n ? 2 , k ? N* .
k k ?1 ? nCn (1)证明: kCn ?1 ;

3 1 32 2 3k k 3n n 0 (2)化简: Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn . 2 3 k ?1 n ?1 n! (n ? 1)! k k ?1 ? nCn ? n? ?0; 【答案】(1) kCn ?1 ? k ? k !(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!
3k 3k 1 1 k 1 k ?1 k k ?1 k ?1 k ?1 Cn ? Cn Cn (2) 由(1)知 Cn , ? Cn ?1 ,所以 ?1 ? ?1 3 k ? 1 n ? 1 3( n ? 1) n k

……3 分 ……7 分

3 1 32 2 3k k 3n n 0 所以 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn 2 3 k ?1 n ?1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 k k n ?1 n ?1 ? (Cn ) ?1 3 ? Cn ?1 3 ? Cn ?1 3 ? Cn ?1 3 ? ? ? Cn ?1 3 ? ? ? Cn ?1 3 3(n ? 1)
? 1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 k k n ?1 n ?1 (Cn ? 1) ?1 3 ? Cn ?1 3 ? Cn ?1 3 ? Cn ?1 3 ? Cn ?1 3 ? ? ? Cn ?1 3 ? ? ? Cn ?1 3 3(n ? 1)

?

4 n ?1 ? 1 . 3( n ? 1)

……10 分

数学参考答案第 12 页(共 12 页)


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