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试卷试题

2012 年全国高考数学试题分类汇编(函数与导数)有参考答案 2012 全国各地高考数学试题分类汇编 (函数与导数) 1.(2012 辽宁) 设函数 f ( x) ? x ? R? 满足 f (?x) ? f ? x ? ,f ? x ? =f ? 2-x ? , 且当 x ??0,1? ? 1 3? 时, f ? x ? =x3 .又函数 g ? x ? = x cos ?? x ? ,则函数 h ? x ? =g ? x ? -f ? x ? 在 ?- , ? 上的 ? 2 2? 零点个数为 A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】 由 f (? x) ? f ? x ? 知,所以函数 f ( x) 为偶函数, 所以 f ? x ? =f ? 2-x ? =f ? x-2? , o s 所以函数 f ( x) 为周期为 2 的周期函数, 且 f ? 0? =0,f ?1? =1, 而 g ?x ? =x c ? ?为 ?x ?1? ? 1? ? 3? 偶函数,且 g ? 0 ? =g ? ? =g ? - ? =g ? ? =0 ,在同一坐标系下作 ?2? ? 2? ? 2? ? 1 3? ? 1 3? 出两函数在 ?- , ? 上的图像,发现在 ?- , ? 内图像共有 6 个 ? 2 2? ? 2 2? ? 1 3? 公共点,则函数 h ? x ? =g ? x ? -f ? x ? 在 ?- , ? 上的零点个数为 6, ? 2 2? 故选 B. 2.(2012 安徽理) (本小题满分 13 分)K] 设 f ( x) ? ae x ? 1 ? b(a ? 0) ae x (I)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ? 【解析】 (I)设 t ? ex (t ? 1) ;则 y ? at ? 3 x ;求 a , b 的值。 2 1 1 a 2t 2 ? 1 ? b ? y? ? a ? 2 ? at at at 2 1 ? b 在 t ? 1 上是增函数 at 1 ?b a ①当 a ? 1 时, y? ? 0 ? y ? at ? 得:当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x) 的最小值为 a ? ②当 0 ? a ? 1 时, y ? at ? 当且仅当 at ? 1(t ? e x ? 1 ?b ? 2?b at 1 , x ? ? ln a) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 a 1 2012 年全国高考数学试题分类汇编(函数与导数)有参考答案 (II) f ( x) ? ae x ? 1 1 ? b ? f ?( x) ? ae x ? x x ae ae 1 2 ? 2 ? ae ? 2 ? b ? 3 ?a ? 2 ? f (2) ? 3 ? ? ? ? ae e ?? 由题意得: ? 3?? f ?(2) ? ? ? ae 2 ? 1 ? 3 ?b? 1 ? 2 2 ? ? ae 2 ? 2 ? 3.(2012 安徽文)(本小题满分 12 分) 设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x) ? ax ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 【解析】 (I) f ( x) ? ax ? 3 x ,求 a , b 的值。 2 1 ? b(a ? 0) ax 1 1 ? b ? 2 ax ?b ? b?2 ax ax 1 当且仅当 ax ? 1( x ? ) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 a 3 1 3 (II)由题意得: f (1) ? ? a ? ? b ? ① 2 a 2 1 1 3 f ?( x) ? a ? 2 ? f ?(1) ? a ? ? ② ax a 2 由①②得: a ? 2, b ? ?1 4.(2012 北京理)( (本小题共 13 分) 已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx (1) 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a、b 的值; (2) 当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1) 上的最大值, 解: (1)由 ?1 ,c ? 为公共切点可得: f ( x) ? ax 2 ? 1(a ? 0) ,则 f ?( x) ? 2ax , k1 ? 2a , g ( x) ? x3 ? bx ,则 f ?( x)=3x 2 ? b , k2 ? 3 ? b , ? 2a ? 3 ? b ① 又 f (1) ? a ? 1 , g (1) ? 1 ? b , 2 2012 年全国高考数学试题分类汇编(函数与导数)有参考答案 ? a ? 1 ? 1 ? b ,即 a ? b ,代入①式可得: ? ?a ? 3 . ?b ? 3 1 4 (2) a 2 ? 4b ,? 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? ax 2 ? a 2 x ? 1 1 4 a 2 a 6 则 h?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ,令 h?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ? , x2 ? ? ; a ? 0 ,? ? a a ?? , 2 6 a? a? ? a ? a ? ? 原函数在 ? ? ?? ,? ? 单调递增,在 ? ? ,? ? 单调递减,在 ? ? ,? ? ? 上单 ? 2? ? 2 6? ? 6 ? 调递增 ①若 ?1≤ ? ,即 a≤2 时,最大值为 h(1) ? a ? a 2 a2 ; 4 ? 2? a? a a ②若 ? ? ?1 ? ? ,即 2 ? a ? 6 时,最大值为 h ? ?? ? ?1 2 6 a? a ③

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