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山东省烟台市2014届高三3月模拟考试 文科数学 Word版含答案


山东省烟台 2014 届高三第一次模拟考试
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟.

文科数学

2.使用答题纸时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔.要字 迹工整,笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效. 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一、选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.每小题给出四个选项,只有一个选 项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.设集合 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | log2 x ? 0} ,则 M ? N 等于 A. (?1,0) B. ( ?1,1) C. (0,1) D. (1,3)

2.若复数 z 的实部为 1 ,且 |z |? 2 ,则复数 z 的虚部是 A. ? 3 B. ? 3 C. ? 3i D. 3i

2 3. 若命题 p : ?? ? R , cos(? ? ? ) ? cos ? ;命题 q : ? x ? R , x ? 1 ? 0 . 则下面结论正

确的是 A. p 是假命题 B. ? q 是真命题 C. p ? q 是假命题 D. p ? q 是真命题

? x 2 ? 1, x ? 1 4.若函数 f ? x ? ? ? , 则 f ( f (e)) ? (其中 e 为自然对数的底数) ?ln x, x ? 1
A. 0 B. 1 C. 2 D. ln(e2 ? 1)

5.若一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是 直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的 个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.在等差数列 an ? 中, a1 ? ?2012 ,其前 n 项和为 S n ,若

?

S 2012 S10 ? ? 2002 ,则 S 2014 2012 10
频率 组距 0.054

的值等于 A.2011 B. -2012 C.2014 D. -2013 7. 如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,
50 ? , ?50 , 60 ? , ?60 , 70 ? , 其中成绩分组区间是: ? 40 , 100? ,则图中 x 的值等于 ?70 ,80? , ?80 ,90? , ?90 ,

A. 0.12

B. 0.18 ?

C. 0.012

D. 0.018

x 0.01 0.006 0

成绩 40 50 60 70 80 90 100

-1-

8.函数 y ? x sin x 在 ?? ? , ? ? 上的图象是

9.若函数 f ( x) ? 2sin(

?

x ? )(?2 ? x ? 14) 的图象与 x 轴交于点 A ,过点 A 的直线 l 与函 8 4
C. ?72 D. 72

?

数的图象交于 B 、 C 两点,则 (OB ? OC) ? OA ? (其中 O 为坐标原点) A. ?32 B. 32 10. 对任意实数 m, n ,定义运算 m ? n ? am ? bn ? cmn ,其中 a, b, c 为常数,等号右边的运 算是通常意义的加、乘运算.现已知 1 ? 2=4 , 2 ? 3=6 ,且有一个非零实数 t ,使得对任 意实数 x ,都有 x ?t ? x ,则 t ? A.4 B .5 C.6 D.7 二、填空题:本大题共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案填在答题卡相应位 置. 11.若直线 ax ? by ? 1 ? 0 平分圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1

? 0 的周长,则 ab 的取值范围是
12.若某程序框图如右图所示, 则该程序运行后输出的 i 值为

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 13. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? y ? 2 , 且目标函 ?x ? 4 y ? k ? 0 ?
数 z ? 3x ? y 的最小值为 ? 1 ,则实常数 k ? 14. 对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3 23 ? 3 ? 5

32 ? 1 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11
2

42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7



43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 …
3

根据上述分解规律,若 m ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 11 , p 的分解中最小的正整数是 21 ,则

m? p ?
15.已知抛物线 y ? 4 x 的准线与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线分别交于 A , B 两点,且 a 2 b2

| AB |? 2 3 ,则双曲线的离心率 e 为
三、解答题.本大题共 6 个小题,共 75 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理 步骤. 16.(本小题满分 12 分) 全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议,

-2-

2014 年 3 月在北京开幕.期间为了了解国企员工的工资收入状况,从 108 名相关人员中用 分层抽样方法抽取若干人组成调研小组,有关数据见下表: (单位:人) 相关人数 一般职工 中层 高管 (1)求 x , y ; (2)若从中层、高管抽取的人员中选 2 人,求这二人都来自中层的概率. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin ? 63 27 18 抽取人数

x
y
2

? 7? ? ? 2 x ? ? 2sin 2 x ? 1( x ? R) , ? 6 ?

(1)求函数 f ? x ? 的周期及单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,三内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,已知函数 f ? x ? 的图象经过点

??? ? ??? ? ? 1? ? A, ? , b, a, c 成等差数列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值. ? 2?
18.(本小题满分 12 分)

AD // BC , 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90 , BA ? BC .把 ?BAC 沿 AC
?

折起到 ?PAC 的位置,使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上,如图 2 所示,点 E、F 分别为棱 PC、CD 的中点. (1)求证:平面 OEF // 平面 APD ; (2)求证: CD ? 平面 POF ; (3)若 AD ? 3, CD ? 4, AB ? 5 ,求四棱锥 E ? CFO 的体积.

19.(本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 Sn ? 2 ? 2an , 数 列 {bn } 满 足 b1 ? 1 , 且

bn?1 ? bn ? 2 .
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

-3-

1 ? (?1)n 1 ? (?1) n an ? bn ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2 n . (2)设 cn ? 2 2
20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x +ax ?

a +1 ? 1. x

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 ?

1 ? a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) ,且两焦点与短轴的两个端点 2 2 a b

的连线构成一正方形. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点,若线段 AB 的垂直平分线经过点 (0, ? ) ,求 ?AOB ( O 为原点)面积的最大值.

1 2

参考答案及评分标准
一、选择题 CBDCD 二、填空题 11. ( ?? , ] 三、解答题 16.解: (1)由题意可得 CDADB

1 8

12. 8

13. 9

14. 11

15.2

x y 2 ? ? ,所以 x ? 7 , y ? 3 . 63 27 18

……………………3 分

(2)记从中层抽取的 3 人为 b1 , b2 , b3 ,从高管抽取的 2 人为 c1 , c 2 , 则抽取的 5 人中选 2 人的基本事件有: (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b1 , c1 ) , (b1 , c2 ) , (b2 , b3 ) ,

(b2 , c1 ) , (b2 , c2 ) , (b3 , c1 ) , (b3 , c2 ) , (c1 , c2 ) 共 10 种.
设选中的 2 人都来自中层的事件为 A ,

……8 分

则 A 包 含 的 基 本 事 件 有 : (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 共 3 种. ………………10 分

-4-

因此 P ( A) ?

3 ? 0.3 错误!未找到引用源。. 10

故 选 中 的 2 人 都 来 自 中 层 的 概 率 为 0 . 3 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。. 17.解: ……………………………………12 分

f ( x) ? sin(
? s i n (x2 ?

7? 1 3 1 3 ? 2 x) ? 2sin 2 x ? 1 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x 6 2 2 2 2
) 2? ?? , 2 ? 2 k? ?
………………………………………………3 分 ………………………………………………4 分

?
6

(1)最小正周期: T ? 由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

?
2

(k ? Z ) 可解得:

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

(k ? Z ) ,

所以 f ( x ) 的单调递增区间为: [k? ? (2)由 f ( A) ? sin(2 A ? 所以 A ?

?

?
6

)?

?
3

1 ? ? 5? ? 2 k? ( k ? Z ) 可得: 2 A ? ? ? 2k? 或 2 6 6 6
………………………………………………8 分 ………………9 分 ………………………………10 分

, k? ? ](k ? Z ) ; 3 6

?

………………6 分

,

又因为 b, a, c 成等差数列,所以 2a ? b ? c , 而 AB ? AC ? bc cos A ?

??? ? ????

1 bc ? 9,? bc ? 18 2

1 (b ? c)2 ? a 2 4a 2 ? a 2 a2 ? cos A ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 , 2 2bc 36 12

?a ? 3 2 .

………………………………………………12 分

18.解: (1)因为点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上 所以 PO ? 平面 ABC ,所以 PO ? AC 因为 AB ? BC , 所以 O 是 AC 中点, 所以 OE / / PA , PA ? 平面PAD 所以 OE // 平面PAD 同理 OF // 平面PAD 又 OE ? OF ? O, OE、OF ? 平面OEF …………………3 分 …………………2 分 …………………1 分

-5-

所以平面 OEF / / 平面 PDA (2)因为 OF / / AD , AD ? CD 所以 OF ? CD 又 PO ? 平面 ADC , CD ? 平面 ADC 所以 PO ? CD 又 OF ? PO ? O 所以 CD ? 平面 POF
? (3)因为 ?ADC ? 90 , AD ? 3, CD ? 4 ,所以 S?ACD ?

…………………5 分

…………………7 分

…………………8 分

1 ? 3 ? 4 ? 6 ,而点 O, E 分别 2
…………………10 分

是 AC , CD 的中点,所以 S ?CFO ?

1 3 S ?ACD ? , 4 2

由题意可知 ?ACP 为边长为 5 的等边三角形,所以高 OP ? 即 P 点到平面 ACD 的距离为

5 3, 2

…………11 分

5 3 ,故 VE ?CFO 4

5 3 ,又 E 为 PC 的中点,所以 E 到平面 CFO 的距离为 2 1 3 5 5 ? ? ? 3? 3. …………………12 分 3 2 4 8
………………………1 分 ……………2 分 ………3 分 ……………………4 分 ……………………………6 分 ……………………8 分

19.解: (1)当 n ? 1 , a1 ? 2 ;

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ,∴ an ? 2an?1 . ∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 , ∴ an ? 2n . 由 bn?1 ? bn ? 2 ,得 {bn } 是等差数列,公差为 2. 又首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1.

? 2n n为奇数 (2) cn ? ? ??(2n ? 1) n为偶数
3 2 n? 1 T2n ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? [? 3 ?7 ??

n( ?4

1) ]

……………10 分

?

22 n?1 ? 2 ? 2n 2 ? n . 3
2 ? 1, x

……………………………12 分

20.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x ) ? ln x +x ? 此时 f ( x ) ?
'

1 2 +1 ? 2 , ………………………………2 分 x x 1 2 2 f ' (2) ? +1 ? ? 1,又 f (2) ? ln 2+2 ? ? 1 ? ln 2+2 , 2 4 2
所以切线方程为: y ? (ln 2+2) ? x ? 2 ,

-6-

整理得: x ? y ? ln 2 ? 0 ; (2) f ( x ) ?
'

………………………… 5 分

1 1 ? a ax 2 ? x ? a ? 1 (ax ? a ? 1)( x ? 1) ?a? 2 ? ? , x x x2 x2
x ?1 ,此时,在 (0,1) f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减, 2 x

……6 分

' 当 a ? 0 时, f ( x) ?

在 (1, ??) f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增;

…………………………… 8 分

1? a a( x ? )( x ? 1) 1 a 当 ? ? a ? 0 时, f ' ( x ) ? , 2 x2
当?

1? a 1 ( x ? 1) 2 ? 1 即 a ? ? 时 f ' ( x) ? ? ? 0 在 (0, ??) 恒成立, 2 a 2 x2
…………………………………10 分

所以 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减; 当?

1 1? a 1? a ? a ? 0 时,? ? 1, , ??) f ' ( x ) ? 0 , f ( x) 单调递减,f ( x) 此时在 (0,1),( ? 2 a a 1? a ' ) f ( x) ? 0 单调递增; 在 (1, ………………………………12 分 a
综上所述:当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0,1) 单调递减, f ( x ) 在 (1, ??) 单调递增;

1? a 1? a 1 ) 单调递增; ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1), ( , ??) 单调递减, f ( x) 在 (1, 2 a a 1 当 a ? ? 时 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减. ……………………………………13 分 2
当? 21.解: (1)∵椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方 a2 b2 x2 y2 ? ? 1, 2b 2 b 2
…………2 分

形,∴ a ?

2b , ∴

又∵椭圆经过点 P (1,

2 ) ,代入可得 b2 ? 1 , 2
x2 ? y 2 ? 1. 2
1 2
…………4 分

∴故所求椭圆方程为

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 因为 AB 的垂直平分线通过点 (0, ? ) , 显然直线 AB 有斜率, 当直线 AB 的斜率为 0 时,则 AB 的垂直平分线为 y 轴,此时 x1 ? ? x2 , y1 ? y2

1 x12 所以 S?AOB = | 2 x1 || y1 |?| x1 || y1 | ,因为 ? y12 ? 1 ,所以 2 2

-7-

x1 2 x12 2 | x1 || y1 |? 2 | y1 |? ( ? y12 ) ? 2 2 2 2
所以 S ?AOB ?

2 2 ,当且仅当 | x1 |? 1 时, S ?AOB 取得最大值为 , ……………7 分 2 2

当直线 AB 的斜率不为 0 时,则设 AB 的方程为 y ? kx ? t

? y ? kx ? t ? 所以 ? x 2 ,代入得到 (2k 2 ? 1) x2 ? 4ktx ? 2t 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
当 ? ? 8(2k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 , 即 2k 2 ? 1 ? t 2

……………8 分


………………10 分

方程有两个不同的解又 x1 ? x2 ?

x ? x2 ?4kt ?2kt , 1 ? 2 2 2k ? 1 2 2k ? 1

y1 ? y2 1 ? y1 ? y2 t 2 2 ? ? 1 ,化简得到 2 所以 ,又 ? 2 2k ? 1 ? 2t x ? x k 2 2k ? 1 1 2 ?0 2
代入 ① ,得到 0 ? t ? 2 又原点到直线的距离为 d ?



…………………11 分

|t | k2 ?1

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 2 1 ? k 2

4k 2 ? 2t 2 ? 2 2k 2 ? 1

1 1 |t | 所以 S?AOB = | AB || d |? 2 1? k2 2 2 k2 ?1

4k 2 ? 2t 2 ? 2 | t | 4k 2 ? 2t 2 ? 2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

考虑到 2k 2 ? 1 ? 2t 且 0 ? t ? 2 化简得到 S?AOB = 因为 0 ? t ? 2 ,所以当 t ? 1时,即 k ? ? 综上, ?AOB 面积的最大值为

1 4t ? 2t 2 2

…………………13 分

2 2 . 时, S ?AOB 取得最大值 2 2
…………………14 分

2 . 2

-8-

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

-9-


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