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合情推理与演绎推理


育才中学 2010 届高三数学第一轮总复习教案

合情推理与演绎推理

杨忠武

合情推理与演绎推理 一、归纳推理 例 1. (1)观察圆周上 n 个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3 个点可以连 3 条弦,4 个点可以 连 6 条弦,5 个点可以连 10 条弦,你由此可以归纳出什么规律?

变式 1.设平面内有 n 条直线 (n ? 3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用

f (n) 表示这 n 条直线交点的个数, 则 f ( 4) =____________; 当 n ? 4 时, f (n) ?

. (用 n 表示)

变式 2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成 4 条线段,同时将圆分割成 4 部分; 画三条线段,彼此最多分割成 9 条线段,同时将圆分割成 7 部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分? (2) 猜 想 : 圆 内 两 两 相 交 的 n(n ≥ 2) 条 线 段 , 彼 此 最 多 分 割 成 条线段?同时将圆分割成 部分?

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杨忠武

强化训练 1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○?,按这种规律往下排, 那么第 36 个圆的颜色应是 .
7 5 9 8 13 9 b?m b > , > , > ,?若 a>b>0,m>0,则 与 之间的大小关系为 a?m a 10 8 11 10 25 21

2.由

.

3.下列推理是归纳推理的是 (填序号). ①A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得 P 的轨迹为椭圆 ②由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 ③由圆 x +y =r 的面积 ? r ,猜想出椭圆 ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 4.已知整数的数对列如 下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),?则第 60 个数对 是 . 二、类比推理 (一)数列中的类比 例 1.在等差数列 ?an ? 中,若 a10 ? 0 ,则有等式 a1 ? a2 ? ? ? ? ? an
2 2 2 2

x2 a2

?

y2 b2

=1 的面积 S= ? ab

? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a19?n (n ? 19, n ? N ? ) 成立,类比上述性质,相应地:在等比数列 ?bn ? 中,若 b9 ? 1 ,则
有等式 成立.

强化练习 1.定义“等和数列” ,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一常数,那么这个数列叫做等和 数列,这个常数叫做该数列的公和。已知数列{ a n }等和数列,且 a1 ? 2 ,公和为 5。那么 a18 的值为 _______________,这个数列前 n 项和 S n 的计算公式为_______________。

2.若数列 {an }(n ? N * ) 是等差数列,则有数列

a1 ? a 2 ? a3 ? ......? a n , (n ? N * )也是等差数列 ; 类比上述性质,相应地:若数列 n 是 等 比 数 列 , 且 , 则 有 数 列 cn ? 0 {cn }(n ? N * ) bn ?

d n ? __________ _______, (n ? N * )也是等比数列 。

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合情推理与演绎推理
S ?OM 1N1 S ?OM 2 N 2

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(二)几何中的类比 例 1.如图 1,若射线 OM,ON 上分别存在点 M1,M2 与点 N1,N2,则 =
OM1 ON · 1 ;如图 2,若不在 OM 2 ON2

同一平面内的射线 OP,OQ 和 OR 上分别存在点 P1,P2,点 Q1,Q2 和点 R1,R2,则类似的结论是什么?

例 2 . 已知 O 是△ABC 内任意一点,连结 AO、BO、CO 并延长交对边于 A′,B′,C′,则 这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.
OA' OB' OC ' S ?OBC S ?OCA S ?OAB S ?ABC + + = + + = =1, AA' BB ' CC ' S ?ABC S ?ABC S ?ABC S ?ABC

OA' OB' OC ' + + =1, AA' BB ' CC '

请运用类比思想,对于空间中的四面体 V—BCD,存在什么类似的结论?并用体积法证明.

强化练习 1.在平面几何中,有勾股定理: “设 ? ABC 的两边 AB、AC 互相垂直,则 AB ? AC ? BC .”拓展到空
2 2 2

间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是: “设 三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则 .”

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2.在平面几何中,△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比

AE AC = ,把这个结论类比到空间:在三棱 EB BC

锥 A—BCD 中(如图所示) ,而 DEC 平分二面角 A—CD—B 且与 AB 相交于 E,则得到的类比的结论 是 .

3.现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中一个的某顶 点在另一个的中心, 则这两个正方形重叠部分的面积恒为
a2 .类比到空间, 有两个棱长均为 a 的正方体, 4

其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为

.

(三)解析几何中的类比 例 1.已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 k PM 、 k PN 时,那么 k PM 与 k PN 之积是与点 P 的位置无关的定值.试对双曲

线

x2 y2 ? ? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明. a2 b2

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强化训练 1.已知两个圆: x 2 ? y 2 ? 1 , ①与 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 ② 则由①式减去②式可得上述两

圆的对称轴方程,将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命 题要成为所推广命题的一个特例,推广的命题为 .

2. 如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当 FB ? AB 时,其离心率为 类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率 e 等于 A. (

5 ?1 ,此类椭圆被称为 “黄金椭圆”. 2
) B F O A x y

5 ?1 2

B.

5 ?1 2

C. 5 ? 1

D. 5 ? 1

(四)定义、运算中的类比 例 1.电子计算机中使用二进制,它与十进制的换算关系如下表: 1 2 3 4 5 6 ……. 十进制 1 10 11 100 101 110 …….. 二进制 观察二进制 1 位数,2 位数,3 位数时,对应的十进制的数,当二进制为 6 位数能表示十进制中最大的数 是

强化训练 1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ① “mn=nm” 类比得到 “a· b=b· a” ; ② “ (m+n) t=mt+nt” 类比得到 “(a+b)· c=a· c+b· c” ; ③ “(m· n)t=m(n· t)” 类比得到“ ( a ·b ) ·c=a · ( b ·c ) ” ;④“t≠0,mt=xt ? m=x”类比得到“p≠0,a ·p=x·p ? a=x ”;⑤ “|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|” ;⑥“ 以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是 .
ac a a?c a = ”类比得到“ = ”. bc b b?c b

2.下面使用类比推理恰当的是 . ①“若 a·3=b·3,则 a=b”类推出“若 a·0=b·0,则 a=b” ②“(a+b)c=ac+bc”类推出“
a?b a b = + ” c c c a?b a b = + (c≠0)” c c c
n n n

③“(a+b)c=ac+bc”类推出“
n n n

④“ (ab) =a b ”类推出“(a+b) =a +b ”
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3.下面给出了关于复数的四种类比推理: ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则; 2 2 2 2 ②由向量 a 的性质|a| =a 类比得到复数 z 的性质|z| =z ; ③方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a, b, c ? R) 有两个不同实数根的条件是 b ? 4ac ? 0 可以类比得到:方程
2

az2 ? bz ? c ? 0 (a, b, c ? C) 有两个不同复数根的条件是 b 2 ? 4ac ? 0 ;
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比错误的是 A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ ( )

4.定义 A ? B, B ? C, C ? D, D ? A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的(A) 、 (B)所对应的运算结果可能是 ( )

(1)

(2)

(3) B. B ? D, A ? C

(4)

(A)

(B) D. C ? D, A ? D

A. B ? D, A ? D

C. B ? C , A ? D

三、演绎推理 100 100 例 1.一切奇数都不能被 2 整除,2 +1 是奇数,所以 2 +1 不能被 2 整除,其演绎推理的“三段论”的形 式为 .

例 2.有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b? ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因为
?



)A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误

例 3. “ ? AC,BD 是 菱 形 ABCD 的 对 角 线 , ? AC,BD 互 相 垂 直 且 平 分 。 ”补充以上推理的大前提 是 。 例 4.由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③正方形是平行四边形,根据 “三段论” 推理出一个结论,则这个结论是 。

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合情推理与演绎推理(答案) 一、归纳推理 例 1.解析:(1)设 f ( n) 为 n 个点可连的弦的条数,则

变式 1.【答案】5,

1 (n ? 1)( n ? 2) 2

解:由图 B 可得 f (4) ? 5 , 由 f (3) ? 2 , f (4) ? 5 , f (5) ? 9 , 图B

f (6) ? 14 ,可推得∵n 每增加 1,则交点增加 (n ? 1) 个,
∴ f (n) ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (n ? 1) 变式 2.(1)16,11(2) n , 强化训练 1.答案 白色 2.答案
b?m b > 3.答案 a?m a
2

?

(2 ? n ? 1)( n ? 2) 2

?

1 (n ? 1)( n ? 2) . 2

1 2 ( n ? n ? 2) 2
②4.答案 (5,7)

二、类比推理 (一)数列中的类比 例 1.分析 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是: 等差数列 用减法定义 性质用加法表述(若 m , n , p , q? N * , 且

m ? n ? p ? q , 则 am ? an ? a p ? aq ) ;
等比数列 用除法定义 性质用乘法表述(若 m , n , p , q? N * , 且

m ? n ? p ? q , 则 am ? an ? a p ? aq ).
由此,猜测本题的答案为: b1b2 ? ? ? bn ? b1b2 ? ? ? b17?n (n ? 17, n ? N ).
*

事实上,对等差数列 ?an ? ,如果 ak ? 0 ,则 an?1 ? a2k ?1?n ? an?2 ? a2k ?2?n ? ? ? ?

? ak ? ak ? 0 . 所以有: a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? (an?1 ? an?2 ? ? ? ? ? a2k ?2?n ? a2k ?1?n )( n ? 2k ? 1, n ? N * ) . 从 而 对 等 比 数 列 ?bn ? , 如 果 bk ? 1 , 则 有 等 式 :

b1b2 ? ? ? bn ? b1b2 ? ? ? b2k ?1?n (n ? 2k ? 1, n ? N * ) 成立.
强化练习 1.分析:此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义,解决此类问题要认真理解所给出的定义,结合所 学知识寻求正确解决方法。

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合情推理与演绎推理

杨忠武

解:∵{a n }是等和数列, a1 ? 2 ,公和为 5, ∴ a2 ? 3 ,则 a3 ? 2 , a4 ? 3 ,?知 a2n ? 3 , a2 n?1 ? 2 (n∈N*) 。 ∴ a18 =3,数列{a n }形如:2,3,2,3,2,3,??。

?5 n?n为偶数? ? ?2 ∴ Sn ? ? 。 ? 5 n ? 1 ?n为奇数? ? 2 ?2
2.解析:由已知“等差数列前 n 项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前 n 项的几何平均值 也应该是等比数列”不难得到 d n ? n c1 ? c2 ? c3 ? ....... cn (二)几何中的类比 例 1.解 类似的结论为:
VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2

, (n ? N * )也是等比数列 。

=

OP OR 1 1 · OQ · 1. OQ2 OR2 OP2

这个结论是正确的,证明如下: 如图,过 R2 作 R2M2⊥平面 P2OQ2 于 M2,连 OM2. 过 R1 在平面 OR2M2 作 R1M1∥R2M2 交 OM2 于 M1, 则 R1M1⊥平面 P2OQ2. 由 VO ? P1Q1R1 =
1 3 1 2 1 S ?P ·R1M1 1OQ1 3

= · OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1 = OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1, 同理, VO?P2Q2 R2 = OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2. 所以
VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2

1 6

1 6

=

OP 1 ? OQ1 ? R1 M 1 . OP2 ? OQ2 ? R2 M 2 R1M1 OR = 1. R2 M 2 OR2

由平面几何知识可得 所以
VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2

=

OP 1 ? OQ1 ? OR1 .所以结论正确. OP2 ? OQ2 ? OR2

例 2 . 证明 在四面体 V—BCD 中,任取一点 O,连结 VO、DO、BO、CO 并延长分别交四个面于 E、F、G、H 点.则
OE OF OG OH + + + =1. VE DF BG CH

在四面体 O—BCD 与 V—BCD 中:
1 S ?h OE h1 3 ?BCD 1 VO? BCD = = = . 1 VE h S ?BCD ? h VV ? BCD 3

同理有: ∴

OF VO?VBC OG VO?VCD OH VO?VBD = ; = ; = , DF VD?VBC BG VB?VCD CH VC ?VBD

OE OF OG OH VO?BCD ? VO?VBC ? VO?VCD ? VO?VBD VV ? BCD + + + = = =1. VE DF BG CH VV ?BCD VV ? BCD

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强化练习 1.分析 关于空间问题与平面问题的类比,通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比: 多面体 多边形; 面 边 体 积 面 积 ; 二面角 平面角 面 积 线段长; …… 由此,可类比猜测本题的答案:
2 2 2 2 S? ABC ? S ?ACD ? S ?ADB ? S ?BCD (证明略).

2.答案

AE S ?ACD = 3.答案 EB S ?BCD

a3 8

(三)解析几何中的类比

x2 y2 例 1.分析 类似的性质为:若 M、N 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上关于原点对称的两个点,点 P 是双曲线上 a b
任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 k PM 、 k PN 时,那么 k PM 与 k PN 之积是与点 P 的位置无 关的定值. 证明:设点 M、P 的坐标为( m , n ) 、 ( x, y ) ,则 N( ? m ,? n ). 因为点 M( m , n )在已知双曲线上,所以 n ?
2

b2 2 b2 2 2 2 m ? b y ? x ? b2 . ,同理 2 2 a a

则 k PM ? k PN

y ? n y ? n y 2 ? n2 b2 x2 ? m2 b2 ? ? ? ? ? ? (定值). x ? m x ? m x2 ? m2 a 2 x2 ? m2 a 2

强化训练 1.分析 将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况: 设圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , 与 ③ ④

( x ? c) 2 ? ( y ? d ) 2 ? r 2

其中 a ? c 或 b ? d ,则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程. 评注 本题通过类比推广,可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。 2. 答案:A。解析: 猜想出“黄金双曲线”的离心率 e 等于 得 AF
2

5 ?1 .事实上对直角△ ABF 应用勾股定理, 2

? BF ? AB ,即有 (a ? c)2 ? (b2 ? c2 ) ? (a 2 ? b2 ) ,
2 2 2

2

2

注意到 b ? c ? a , e ?

c 5 ?1 2 ,变形得 e ? e ? 1 ? 0, 从而e ? . a 2

(四)定义、运算中的类比 例 1.解:通过阅读,不难发现:

1 ? 1 ? 2 0 ,2 ? 0 ? 2 0 ? 1 ? 21 ,3 ? 1 ? 2 0 ? 1 ? 21 ,4 ? 0 ? 2 0 ? 0 ? 21 ? 1 ? 2 2 ,5 ? 1 ? 2 0 ? 0 ? 21 ? 1 ? 2 2 , 6 ? 0 ? 2 0 ? 1 ? 21 ? 1? 2 2 , 进而知7 ? 1? 2 0 ? 1? 21 ? 1? 2 2 写成二进制为: 111
于 是 知 二 进 制 为 6 位 数 能 表 示 十 进 制
6













111111 化成十进制为: 1 ? 2 0 ? 1 ? 21 ? 1 ? 2 2 ? 1 ? 2 3 ? 1 ? 2 4 ? 1 ? 2 5 ?

2 ?1 ? 63 。 2 ?1

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合情推理与演绎推理

杨忠武

强化训练 1.答案 2 2.答案 ③3.答案:D 。解析:由复数的性质可知。4.答案:B。 三、演绎推理 100 100 例 1.一切奇数都不能被 2 整除,2 +1 是奇数,所以 2 +1 不能被 2 整除,其演绎推理的“三段论”的形 式为 . 答案 一切奇数都不能被 2 整除, 大前提 100 2 +1 是奇数, 小前提 100 所以 2 +1 不能被 2 整除. 结论 例 2.有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因为 平面 ,直线 平面 ,直线 b? ? ? a ? ?
?





A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案:A。解析:直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。 例 3. “ ? AC,BD 是 菱 形 ABCD 的 对 角 线 , ? AC,BD 互 相 垂 直 且 平 分 。 ”补充以上推理的大前提 是 。答案:菱形对角线互相垂直且平分。 例 4.由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③正方形是平行四边形,根据 “三段论” 推理出一个结论,则这个结论是 。 答案:②③ ? ①。解析:②是大前提,③是小前提,①是结论。

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