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重庆市杨家坪中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 理

2015—2016 学年杨家坪中学高二下第一次月考数学理试卷
一、选择题 1. i 是虚数单位,复数 A. 2 ? i 【答案】B 试题分析:

7?i ?( ) 3?i B. 2 ? i

C. ?2 ? i

D. ?2 ? i

7 ? i ? 7 ? i ?? 3 ? i ? 20 ? 10i ? ? ? 2?i 3 ? i ? 3 ? i ?? 3 ? i ? 10

2.已知积分 A.2 【答案】A 试题分析:

? (kx ? 1)dx ? k ,则实数 k ? (
0

1

) C.1 D. ?1

B. ?2

kx ? (kx ? 1)dx ? ? ?2
0

1

?1

2

1 ? ? x ? |1 k ? 1 ? k ?k ? 2 0? 2 ?
)

3.已知 f(n ) =

1

n

+

1 1 1 + + ? + 2 ,则 ( n +1 n +2 n
1 1 ? 2 3

A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)=

B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)=
2

1 1 1 + + 2 3 4

1 1 ? 2 3 1 1 1 2 D.f(n)中共有 n -n+1 项,当 n=2 时,f(2)= ? ? 2 3 4
C.f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)= 【答案】D 4. 一质点做直线运动,由始点起经过 ts 后的位移为 s = 时刻是( A.4s 末 【答案】D ) B.8s 末 C.0s 与 8s 末 D.0s,4s,8s 末

1 4 t _ 4t 3 + 16t 2 ,则速度为零的 4

' 5.设函数 f ( x) ? ln(2 ? 3x) ,则 f ( ) ? (

1 3

) D. ? 3

A.

1 3

B.

1 2

C. ?2

【答案】D 试题分析: f ?? x ? ?

?3 ?1? ?3 ,所以 f ?? ? ? ? ?3 2 ? 3x ? 3 ? 2 ?1
1

6.函数 y ?

2x 的图象大致为( ln x



【答案】D 试题分析:函数的定义域为 (0,1) ? ?1. ? ?? .求导 y? ?

? x ?? ? ln x ? x ? ? ln x ? ' ? ln x ? 1 ,令 2 2 ? ln x ? ? ln x ?
x 在 ln x

结合定义域可知 (0,1) ? ?1.e? 令 y? ? 0 可得 x ? e , 即函数 y ? y? ? 0 可得 0 ? x ? e ,

? 0,1? , ?1.e? 上单调递减,在 ? e, ?? ? 上单调递增,由图可知选 D.
7.已知函数 f ( x) ? A. m ? 1 【答案】B

1 2 x ? m ln x ? 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围是() 2 B. m ? 1 C. m ? 1 D. m ? 1 1 2 x ? m ln x ? 2 x 在 定 义 域 内 是 增 函 数 , 求 导 得 2

试 题 分 析 : 由 函 数 f ( x) ?

f ?? x? ? x ?

m ? 2 ,则 f ? ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,即 x2 ? 2 x ? m ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒 x
2

成立,则 m ? 2 x ? x 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,设 g ? x ? ? 2x ? x 二次函数 g ? x ? 当 x ? 1 时有最小值 1 ,则 m ? 1 8.方程 x ﹣ 6x +9x﹣4=0 的实根的个数为( A.0 B.1 C.2D.3 【答案】C
3 2
3 2

2

? x ? 0? ,则 m ? g min ?x ? ,由



试题分析:令 f ? x ? ? x ? 6x ? 9x ? 4 ,则 f ' ? x ? ? 3x ?12x ? 9 ? 3? x ? 3?? x ?1? ,
2

1? x ? 3。 令 f ' ? x? ? 0 得 x ? 1 或 x ? 3 。 解 f ' ? x ? ? 0 得,x ? 1 或 x ? 3 ; 解 f ' ? x ? ? 0 得,
所以函数 f ? x ? 在 ? ??,1? 和 ? 3, ?? ? 上单调递增,在 ?1,3? 上单调递减。所以当 x ? 1 时,函 数 f ? x ? 取得极大值为 f ?1? ? 0 。当 x ? 3 时,函数 f ? x ? 取 得极小值为 f ? 3? ? ?4 。由数 形结合可知 f ? x ? ? x ? 6x ? 9x ? 4 ? 0 的实根个数为 2。故 C 正确。
3 2

9.若函数 f ( x) ? ( x3 ? 1)( x3 ? 2)?( x3 ? 100) ,则 f’(-1)=(



2

A.0 B. 【答案】C

C.3 (

) D.3 (



10 .已知 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的非负可导函数,且满足 xf ' ( x) ? f ( x) ≤ 0 ,对任意正 数 a , b ,若 a ? b ,则必有( ) A. af (b) ≤ bf (a) 【答案】A 试 B. bf (b) ≤ f (a) C. af (a) ≤ f (b) D. bf (a) ≤ af (b)









xf ' ( x ) ? f ( x ) ≤ 0 ? xf ? ? x ? ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ?

f ? x? ? x ? 0, f ? x ? ? 0? f ? ? x ? ? 0 . x

所 以 函 数 f ? x? 是 减 函 数 或 常 函 数 , 当 f ? x? 是 减 函 数 时 , 由 a ? b 可 得

f?a ?0 ? ? f? ?b

?b f? a ? 0 ?? a ? f? b









f ? x? ? 0



bf ? a ? ? af ?b? ? af (b) ≤ bf (a )
11. 在 R 上的可导函数 f ( x) ? 取得极小值,则

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c , 当 x ? (0,1) 取得极大值, 当 x ? (1,2) 3 2

b?2 的取值范围是(). a ?1 1 1 1 1 1 1 A. ( ,1) B. ( ,1) C. ( ? , ) D. ( ? , ) 4 2 2 4 2 2

【答案】A

3

12.对任意正数 x , y ,不等式

x 3y ? ≤ k 恒成立,则实数 k 的取值范围是( ) 3x ? y x ? 3 y
C. [1, ??) D. [

A. [ , ??) 【答案】B 试题分析:

5 4

B. [

6? 3 , ??) 4

6 3 , ??) 4

x 3y 1 3 y 1 3t ? ? ? ? ,设 t ? , f ? t ? ? x 3 ? t 3t ? 1 3x ? y x ? 3 y 3 ? y x ? 3 x y

由 f ? ?t ? ? 0 得 t ? 1 ?

4 4 ? 4 ? ? ? , 当 t ??0 , 1 ? , ?? ? 时 ? 时 f ? ?t ? ? 0 , 当 t ? ?1 ? 3 3? 3 ? ? ?

6? 3 4 ? 6? 3 ? f ? ?t ? ? 0 ,? f ? t ?max ? f ?1 ? ? ? 4 ?k ? 4 3? ?
二、填空题 2 13. 复数(m – 3m) + mi (m ? R ) 是纯虚数,则实数 m 的值是 【答案】3 14.已知函数 f ( x) 的导函数为 f '( x) ,且 满足 f ( x) ? 2 x 2 ? xf ?(2) ,则 f ?(5) =. 【答案】16 15.观察下列式子: 1 ?

1 1 1 7 1 1 5 1 3 ? , 1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,…, 2 4 3 2 2 3 4 2 3 2

根据上述规律,第 n 个不等式应该为. 【答案】 1 +

1 1 1 2n + 1 + 2 + …… + < 2 2 n +1 2 3 (n + 1)

16.已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? ln x 有公共点,则实数 k 的取值范围是.

4

【答案】 ( ??,

1 ] e2 l n x? x
, 令

试 题 分 析 : 令 kx ? 1 ? ln x , 则 k ?

1

f ? x? ?

l n x? x

1

, 则

1 ? x ? ? ln x ? 1? 2 ? ln x x x? , 当 2? l n f '? x? ? ? 2 x x2

0 即 0 ? x ? e2 时 f ' ? x ? ? 0 ; 当

2? l n x? 即 0 x ? e2 时, f ' ? x ? ? 0 。所以函数 f ? x ? 在 ? 0, e 2 ? 上单调递增,在 ? e 2 , ?? ? 上
2 单调递减。所以 x ? e2 时 f ? x ? 取得最大值为 f e ?

? ?

1 1 1 ,所以 f ? x ? ? 2 即 k ? 2 。 2 e e e

三、解答题 17.已知 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? (2a ? 3) x ? a 2 (a ? R) . (1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? ?1 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值; (2)若 a ? ?2 时,求 f ( x ) 的单调区间. 解:(1) 由题意得 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? (2a ? 3) ∴ f ?(?1) ? 3 ? 2a ? (2a ? 3) ? 2 ∴ a ? ?
3 2

1 2

(2) ∵ a ? ?2 ,∴ f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 4
2 ∴ f ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ?

1 3

令 f ?( x) ? 0 ,得

1 ? x ?1 3 1 3

∴ f ( x ) 单调递增区间为 (??, ) , (1 , ? ?)

1 1) f ( x) 单调递减区间为 ( , 3
18.已知 证明:略 19.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与利率的平方成正比,比例系数为 k (k ? 0) ,且知当利率为 0.012 时,存款量为 1.44 亿;又贷款的利率为 4.8% 时,银行吸收 0.048) ,则当 x 为多少时,银行可获 的存款能全部放贷出去;若设存款的利率为 x , x ? (0, 得最大收益? 解:由题意, 设存款量 f ( x) ? kx2 ,又当利率为 0.012 时,存款量为 1.44 亿,即 x ? 0.012 时,
5

a, b ? (0,??),且a ? b, ,求证: a 3 ? b 3 ? a 2 b ? ab2

y ? 1.44 ;由 1.44 ? k · (0.012)2 ,得 k ? 10000 ,那么 f ( x) ? 10000x2 ,

又设银行应支付的利息 g ( x) ? x · f ( x) ? 10000x3 , 设银行可获收益为 y ,则 y ? 480x2 ? 10000x3 , 由于, y? ? 960 x ? 30000 x2 ,则 y ? ? 0 ,即 960 x ? 30000 x 2 ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 0.032 .
0.032) 时, y ? ? 0 ,此时,函数 y ? 480x2 ? 10000x3 递增; 因为, x ? (0, x ? (0.032, 0.048) 时, y ? ? 0 ,此时,函数 y ? 480x2 ? 10000x3 递减;

故当 x ? 0.032 时, y 有最大值,其 值约为 0.164 亿. 20.已知函数 f ? x ? ? mx ?

m , g ? x ? ? 2 ln x . x

(1)当 m ? 1 时,判断方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上有无实根; (2)若 x ? ?1, e? 时,不等式 f ? x ? ? g ? x ? ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1) m ? 1 时,令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ?

1 ? 2 ln x , x

1 2 ? x ? 1? h '? x? ? 1 ? 2 ? ? ?0. x x x2
2

∴ h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数. 又 h ?1? ? 0 ,所以 f ? x ? ? g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上无实根.

m ? 2 ln x ? 2 恒成立,即 m ? x 2 ? 1? ? 2 x ? 2 x ln x 恒成立, x 2 x ? 2 x ln x 2 又 x ? 1 ? 0 ,则当 x ? ?1, e? 时, m ? 恒成立, x2 ? 1
(2) mx ?

?2 x 2 ln x ? ln x ? 2 2 x ? 2 x ln x 令 G ? x? ? ,只需 m 小于 G ? x ? 的最小值, G ' ? x ? ? , x2 ? 1 x2 ? 1

?

?

?

?

∵ 1 ? x ? e ,∴ ln x ? 0 .∴当 x ? ?1, e? 时 G ' ? x ? ? 0 ,∴ G ? x ? 在 ?1, e? 上单调递减, ∴

G ? x ? 在 ?1, e? 的最小值为 G ? e ? ?

4e 4e ? ? .则 m 的取值范围是 ? ??, 2 ?. e ?1 e ?1? ?
2

21. 已知 f(x)= x ? ax ? a(a ? 2, x ? R) ,g(x)= e
2

?x

, ? ( x) ? f ( x) ? g ( x)

6

(1)当a=1时,求 ? ( x) 的单调区间; (2)求 g(x)在点(0,1)处的切线与直线 x=1 及曲线 g(x)所围成的封闭图形的面积; (3)是否存在实数a,使 ? ( x) 的极大值为 3?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由. 解:(1)当 a=1 时, ?(x ) = (x 2 +

x + 1) e

-x

2x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 x2 ? x x( x ? 1) ? ?( x) ? ?? x ?? x e e ex
令 ? ( x) ? 0 ,则 0 ? x ? 1

? ? ( x) 在(0,1)上 ? ,在 (??,0), (1,??) ?

(2) g ?( x) ? ?e ? x , k ? g ?(0) ? ?1,?切线 l:y-1=-x, 即 y=-x+1
1 1 ? S ? ? (e ? x ? x ? 1)dx ? (?e ? x ? x 2 ? x) 0 2 1 0

?

1 1 ? 2 e

( x 2 ? ax ? a ) ? (3) ? ( x) = ex
由 ? ?( x) ? 0 得 x=0 或 2-a

? ?( x) ? ?

x?x ? (2 ? a )? ex

① 当 a<2 时? ? ( x) ,有 2-a ? 0

? ? ( x) 在 (??,0) ?, (0,2 ? a) ?, (2 ? a,??) ?
? ? ( x) 极大= ? (2 ? a) ?
令 h(x)=3 e
2? x

4?a ?3 e 2? a

即 4-a=3 e

2? a

? x ? 4( x ? 2) ,则 h?( x) ? 0 ,? h( x) ? h(2) ? 3 ? 2 ? 4 ? 1 ,? h( x) ? 0

无解? a ? 2 不满足题意 ②当 a=2 时 , ? ?( x) ? 0 ,? ? ( x) 在 (??,??) ? 无极值 综上:? a ? 2,?a的值不存在. 22.已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx , a ? 0 。 2

(1)若 b ? 2 ,且函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围。 (2) 设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C 2 交于点 P, Q , 过线段 PQ 的中点作 x 轴 的垂线分别交 C1 、C 2 于点 M , N 。证明:C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线不平
7

行。 解:(1) b ? 2 时,函数 h( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x ,且 2

h' ( x ) ?

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? x x

∵函数 h( x) 存在单调递减区间,∴ h' ( x) ? 0 有解。 ┅┅┅┅(2 分) 又∵ x ? 0 ,∴ ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 有 x ? 0 的解。 ① 当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2 x ? 1为开口向上的抛物线, ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 总有

x ? 0 的解;┅┅┅┅┅┅┅┅(4 分)
② 当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2 x ? 1 为开口向下的抛物线,而 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 有

x ? 0 的解,则 ? ? 4a ? 4 ? 0 ,且方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一正根,此时, ?1 ? a ? 0
综上所述, a 的取值范围为 (?1,0) ? (0,??) 。┅┅┅┅┅┅┅(7 分) (2)设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,且 0 ? x1 ? x2 ,则 点 M , N 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 , 2

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

1 2 ; | x1 ? x2 ? x x? 2 x1 ? x2
x ?x x? 1 2 2

C 2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? (ax ? b) |

?

a( x1 ? x2 ) ? b 。(9 分) 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 ,即

a( x1 ? x2 ) 2 ? ?b 2 x1 ? x2


2( x2 ? x1 ) a 2 2 ? ( x2 ? x1 ) ? b( x2 ? x1 ) x1 ? x2 2

a 2 a 2 ? ( x 2 ? bx 2 ) ? ( x1 ? bx1 ) ? y 2 ? y1 ? ln x 2 ? ln x1 2 2
8

x2 ? 1) x2 x1 所以 ln ┅┅┅┅┅┅(11 分) ? x2 x1 1? x1 2(
设t ?

x2 2(t ? 1) , t ? 1 ,① ,则 ln t ? 1? t x1
2(t ? 1) , t ? 1 ,则 1? t

令 h(t ) ? ln t ?

1 4 (t ? 1) 2 h' (t ) ? ? ? t (1 ? t ) 2 t (t ? 1) 2
当 t ? 1 时, h' (t ) ? 0 ,所以 h(t ) 在 [1,??) 上单调递增。 故 h(t ) ? h(1) ? 0 ,从而 ln t ?

2(t ? 1) 这与①矛盾,假设不成立, 1? t
┅┅┅(14 分)

∴ C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线不平行。

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