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2013年高考数学二轮复习专题辅导资料 专题(8)填空题解题策略


专题八:填空题解题策略专题辅导
【考情分析】 填空题是一种传统的题型,也是高考试卷中又一常见题型。近几年高考,都有一定数量 的填空题,且稳定了 4 个小题左右,每题 4 分,共 16 分,约占全卷总分的 11%。 预测 12 年高考的命题方向为: (1)保持题量和分值的稳定; (2)出题点多在:简单难度的填空题为分段函数求值、导数和定积分的求解以及简单 的三角、数列问题;中等难度的填空题为三角、数列、解析几何、立体几何的求值问题;难 度较大的填空题为考察合情推理的开放题; 【知识交汇】 数学填空题作为数学高考试题中第二大类型题,其特点是:形态短小精悍;跨度大;覆 盖面广;形式灵活;考查目标集中,旨在考查数学基础知识和学生的基本技能;重在考查学 生分析问题、 解决问题的能力以及严密的逻辑思维能力和运算能力。 填空题只要求直接写出 结果,不必写出计算或推理过程,其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简。 结果稍有毛病, 便得零分。 坚持"答案的正确性"、 "答题的迅速性"和"解法的合理性"等原则。 1.填空题诠释 填空题又叫填充题,是将一个数学真命题,写成其中缺少一些语句的不完整形式,要求 学生在指定的空位上,将缺少的语句填写清楚、准确。它是一个不完整的陈述句形式,填写 的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等; 填空题不要求学生书写推理或者演算的过程,只要求直接填写结果,它和选择题一样, 能够在短时间内作答, 因而可加大高考试卷卷面的知识容量, 同时也可以考查学生对数学概 念的理解、数量问题的计算解决能力和推理论证能力。填空题是将一个数学真命题,写成其 中缺少一些语句的不完整形式, 要求学生在指定空位上将缺少的语句填写清楚、 准确. 它是 一个不完整的陈述句形式,填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等. 填空题大多 能在课本中找到原型和背景,故可以化归为我们熟知的题目或基本题型. 填空题不需过程, 不设中间分值,更易失分,因而在解答过程中应力求准确无误。 根据填空时所填写的内容形式,可以将填空题分成两种类型: 一是定量型,要求考生填写数值、数集或数量关系,如:方程的解、不等式解集、函数 的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等. 由于填空题和选择题相比, 缺少选择的信息,所以高考题多数是以定量型问题出现。 二是定性型, 要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质, 如: 给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等. 近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题. 2.填空题解题策略 填空题缺少选择的信息, 故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上。 但填空 题既不用说明理由, 又无需书写过程, 因而解选择题的有关策略、 方法有时也适合于填空题。 填空题虽题小,但跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地结合一些问题,突出 训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力,突出以图助算、列表 分析、精算与估算相结合等计算能力. 想要又快又准地答好填空题,除直接推理计算外,还 要讲究一些解题策略,尽量避开常规解法。 传统型填空题: (1)直接求解法 直接求解法是直接从题设出发,抓住命题的特征,利用定义、性质、定理、公式等,经 过变形、推理、计算、判断而得结果。这是解填空题时常用的基本方法;
1

(2)特殊值法 当填空题有暗示,结论唯一或其值为定值时,我们可以取一些特殊值来确定这个“定 值” ,特别适用于题目的条件是从一般性的角度给出的问题; (3)数形结合法 由于填空题不必写出论证过程,因而可以画出辅助图形进行分析并帮助解答; (4)等价转化法 将所给的命题等价转化为另一种容易理解的语言或容易求解的模式; (5)升华公式法 在解填空题时,常由升华的公式解答,使之起点高、速度快、准确率高; (6)特征分析法 有些问题看似非常复杂,一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特征,此问题就能迎刃而 解; (7)归纳猜想法 由于填空题不要求推证过程,因此,我们也可用归纳、猜想得出结论; 开放型填空题 (1)多选型填空题 多选型填空题是指: 给出若干个命题或结论, 要求从中选出所有满足题意的命题或结论。 这类题不论多选还是少选都是不能得分的。因此,要求同学们有扎实的基本功,而举反例是 否定一个命题的最有效方法; (2)探索型填空题 探索型填空题是指:从给定的题设中探究其相应的结论,或从题目的要求中探究其必 须具备的相应条件; (3)新定义型填空题 即定义新情景,给出一定容量的新信息(考生未见过) ,要求考生依据新信息进行解题。 这样必须紧扣新信息的意义,学会语言的翻译、新旧知识的转化,便可使问题顺利获解; (4)组合型填空题 组合型填空题是指: 给出若干个论断要求考生将其重新组合, 使其构成符合题意的命题。 解题时,要求考生对知识点间的关系有一个透彻的理解和掌握,准确地阐述自己的观点,理 清思路,进而完成组合顺序; 3.填空题减少失分的方法 (1)回顾检验:填空题解答之后再回顾,即再审题,这是最起码的一个环节,可以避 免审题上带来的某些明显的错误; (2)赋值检验:若答案是无限的、一般性结论时,可赋予一个或几个特殊值进行检验, 以避免知识性错误; (3)逆代检验:若答案是有限的、具体的数据时,可逐一代入进行检验,以避免因扩 大自变量的允许值范围而产生增解致错; (4)估算检验:当解题过程中是否等价变形难以把握时,可用估算的方法进行检验, 以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误; (5)作图检验:当问题具有几何背景时,可通过作图进行检验,以避免一些脱离事实 而主观意想的错误; (6)多种检验:一种方法解答之后,再用其它方法解之,看它们的结果是否一致,从 而可避免单一的方法造成的策略性错误; (7)静态检验:当问题处在运动状态但结果是定值时,可取其特殊的静止状态进行检 验,以避免非智力因素引起的心理性错误。
2

【思想方法】 下面以一些典型考题为例, 介绍解填空题的几种常用方法与技巧, 从中体会到解题的要 领:快——运算要快,力戒小题大作;稳——变形要稳,不可操之过急;全——答案要全, 力避残缺不齐;活——解题要活,不要生搬硬套;细——审题要细,不能粗心大意。 题型 1:传统解法之直接求解法 直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推 理和准确的运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出选项“对号入座” ,作出相应 的选择. 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法。 例 1. 11 广东理, 等差数列 ? a n ? 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1, a k ? a 4 ? 0 , ( 11) 则k ?
解法一 由1 ?

.
: S 9 ? S 4 ,即 1 6 ( a1 ? a 9 )9 2 1 6 ? (a1 ? a 4 )4 2 ) ? 0 得 : k ? 10. ,? 9 a 5 ? 2 ( a 1 ? a 4 ), 即 9(1 ? 4d) ? 2(2 ? 3d), ? d ? ? 1 6 ,

( k ? 1) ? 1 ? 3 ? ( ?

解法二 : S 9 ? S 4 ,? a 5 ? a 6 ? a 7 ? a 8 ? a 9 ? 0 ,? a 7 ? 0 , 从而 a 4 ? a 10 ? 2 a 7 ? 0 ,? k ? 10 .

例 2.(11 湖南理,11) 如图 4, E F G H 是以 O 为圆心, 半径为 1 的圆的内接正方形, 将一颗豆子随机地扔到该圆内, A 表示事件 用 “豆子落在正方形 E F G H 内” B 表示事件 , “豆
( = = 子落在扇形 O H E (阴影部分) , (1)P A) _ _ _ _ _ _ ; P B | A) _ _ _ _ _ _ 内” 则 (2)(

答案: (1)

2

?

( = ; (2) P B | A)

1 4


S正 S圆 2

( = 解析: (1)由几何概型概率计算公式可得 P A)

=

?



2 1 ? P A B) ? ( 4 = 1 ( = = (2)由条件概率的计算公式可得 P B | A) 。 2 P A) ( 4

?

题型 2:传统解法之特值法 例 3. (2010 安徽文数,15)若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的
a , b 恒成立的是

(写出所有正确命题的编号).
b ? 2 ;③ a ? b ? 2 ;④ a ? b ? 3 ;⑤
2 2 3 3

① a b ? 1 ;② a ?

1 a

?

1 b

? 2。

答案:①,③,⑤; 【解析】令 a ? b ? 1 ,排除②②;由 2 ? a ? b ? 2 a b ? a b ? 1 , 命 题 ① 正 确 ; a ? b ? (a ? b ) ? 2ab ? 4 ? 2ab ? 2
2 2 2

, 命 题 ③ 正 确 ;

1 a

?

1 b

?

a?b ab

?

2 ab

? 2 ,命题⑤正确。

3

例 4.设 { a n } 是公比为 q 的等比数列, S n 是它的前 n 项和,若 {S n } 是等差数列,则 q=______________; 解析:因为非零的常数列 { c } 是公比为 1 的等比数列,且前 n 项和数列{nc}是公差为 c 的等差数列,可知 q=1; 例 5.椭圆
x
2

?

y

2

9

4

? 1 的焦点为 F1 、 F 2 ,点 P 为其上的动点,当 ? F1 P F 2 为钝角时,

点 P 横坐标的取值范围是_______________________; 解析:设 P(x,y),则当 ? F1 P F2 ? 9 0 ? 时,点 P 的轨迹为 x ? y ? 5 ,由此可得点 P
2 2

的横坐标 x ? ?

3 5



又当 P 在 x 轴上时, ? F1 P F2 ? 0 ,点 P 在 y 轴上时, ? F1 P F 2 为钝角,由此可得点 P
3 5 5 3 5 5

横坐标的取值范围是: ?

? x ?



题型 3:传统解法之数形结合法 据题设条件作出研究问题的曲线或有关图形, 借助几何图形的直观性作出正确判断。 习 惯上也叫数形结合法。 例 6 . 11 江 苏 , 14 ) 设 集 合 A ? {( x , y ) | (
m 2
B ? {( x , y ) | 2 m ? x ? y ? 2 m ? 1, x , y ? R } , 若 A ? B ? ? ,

? ( x ? 2) ? y
2

2

? m , x, y ? R} ,
2

则实数 m 的取值范围是

______________ 解析:当 m ? 0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以 m 为半径的圆,集合 B 是在两条
2 ? 2m ? 1 2 2 2

平行线之间, ?

? m ? (1 ?

2 )m ?

? 0

,因为 A ? B ? ? , 此时无解;当

m ? 0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以

m 2

和 m 为半径的圆环,集合 B 是在两条平行

线之间,必有

? ? ? ? ?

2 ? 2 m ?1 2 2?2m 2

?m

?m

?

2 ?1 2

? m ?

2 ? 1 .又因为

m 2

? m ,?
2

1 2

? m ?

2 ?1

题型 4:传统解法之等价转化法 例 7.11 四川文, 函数 f ( x ) 的定义域为 A, x1 , x 2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 时总有 x1 ( 16) 若 则称 f ( x ) 为单函数.例如,函数 f ( x ) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命题: ①函数
f (x) ? x
2

? x2



(x ? R)是单函数;
x

②指数函数

f (x) ? 2

(x ? R)是单函数;
4

③若 f ( x ) 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是_________. (写出所有真命题的编号) 答案:②③④ 解析:对于①,若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,则 x1 ? ? x 2 ,不满足;②是单函数;命题③实际上是 单函数命题的逆否命题,故为真命题;根据定义,命题④满足条件。 题型 5:传统解法之特征分析法 例 8. (11 陕西文,14)设 n ? N ? ,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根的充要 (1) ..
2

条件是 n ? 。 【分析】直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断计算。 【解】 x ?
4? 16 ? 4n 2

? 2?

4 ? n ,因为 x 是整数,即 2 ?

4 ? n 为整数,所以

4 ? n 为整数,且 n ? 4 ,又因为 n ? N ? ,取 n ? 1, 2 , 3, 4 验证可知 n ? 3, 4 符合题意;反

之 n ? 3, 4 时,可推出一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根。 .. 【答案】3 或 4。
2

( 2 ) ( 11

湖 南 文 , 12 ) 已 知 。

f (x)

为 奇 函 数 ,

g ( x ) ? f ( x ) ? 9, g ( ? 2 ) ? 3, 则 f ( 2 ) ?

答案:6; 解 析 : g ( ? 2 )? f
f (2) ? ? f (?2) ? 6 。

? (

2 ?)

则 ? 9

f3 , ?

( , ?) f ( x ) 为 奇 函 数 , 所 以 ?2又 6

题型 6:传统解法之归纳猜想法 例 9. 设 { a n } 是首项为 1 的正项数列,且 ( n ? 1) a n ? 1 ? n a n ? a n ? 1 a n ? 0 (n=1,2,
2 2

3,??) ,则它的通项公式是 a n ? ________________。
2 解析:因为 a 1 ? 1 ,所以 2 a 2 ? 1 ? a 2 ? 0 ,而 a 2 ? 0 ,则 a 2 ?

1 2



又 因 为 3a 3 ? 2 ?
2

1 2
2

?

1 2

a 3 ? 0 ,a 3 ? 0, 所 以 a 3 ? 1 n

1 3

同理a4 ?

1 4

,归纳得an ?
3



例 10. 方程 x ? lg x ? 1 8 的 根 x ? ____________。 (结果精确到 0.1) 解析:由已知, x ? ( 2 , 3 ) , 则 x ? lg x ? 0 。而 3 1 8 ? 2 .6 2 ,又结果需要精确
3

到 0.1,所以当 x=2.6 时, x ? lg x ? 1 7 .9 9 ; 当 x ? 2 .5 时 , x ? lg x ? 1 6 .0 2 ,故填
3 3

x ? 2 .6 。
5

题型 7:开放型填空题之多选型填空题 例 11.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量” { a n } 是公比为 q 的无 。 穷等比数列,下列“基量”为_________组; (1)S 1 与 S 2 ; (2)a 2 与 S 3 ; (3)a 1 与 a n ; (4) 与 a n(n 为大于 1 的整数,S n 为 { a n } q 的前 n 项和) 解析:因 a 1 与 q 确定,则唯一确定一个数列,对(1)S 1 与 S 2 确定,即 a 1 , a 1 ? a 1 q 确 定,即 a 1 、 q 确 定 ;对(2)当 a 2 ? 2 , S 3 ?
7 2

时,有 a 1 ? 2 , q ?

1 2

或 a1 ?

1 2
an q

,q=2 这

两个数列;对(3)当 n 为奇数, q ? ? 2 时, a n 相等;对(4)q 确定, a 1 ? 的。故填(1) 。 (4)

n ?1

是唯一

题型 8:开放型填空题之探索型填空题 例 12.若两个长方体的长、宽、高分别为 5cm、4cm、3cm,把它们两个全等的面重合在 一起组成大长方体,则大长方体的对角线最大为________cm。 解析:当大长方体的长、宽、高分别为 5cm、4cm、6cm 时,其对角线长为 7 7 cm。 当大长方体的长、宽、高分别为 5cm、8cm、3cm 时,其对角线长为 7 2 cm。 当大长方体的长、宽、高分别为 10cm、4cm、3cm 时,其对角线长为 5 5 cm。 综上,大长方体的对角线最大为 5 5 cm。 题型 9:开放型填空题之新定义型填空题 例 13.定义“等和数列” ,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常 数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。 已知数列 { a n } 是等和数列且 a 1 ? 2 ,公和为 5,那么 a 1 8 的值为_______,且这个数列 前 21 项和 S 2 1 的值为_____________。 解:由定义及已知,该数列为{2,3,2,3,??},所以 a 1 8 ? 3 , S 2 1 ? 5 2 。 题型 10:开放型填空题之组合型填空题 例 14. ? , ? 是两个不同的平面,m、n 是平面 ? 及 ? 之外的两条不同直线,给出四个 论断: (1) m ? n , (2) ? ? ? , (3) n ? ? , (4) m ? ? 。以其中三个论断作为条件,余下 一个论断为结论,写出你认为正确的一个命题________ 解析:通过线面关系,不难得出正确的命题有: _;

6

( 1) m ? ? , n ? ? , ? ? ? ? m ? n ( 2 ) m ? ?, n? ?, m ? n ? ?? ?

题型 11:填空题检验方法 (1)回顾检验 例 15.满足条件 c o s ? ? ? 错解:? c o s
2? 3 ? ? 1 2 4? 3 1 2 , cos 4? 3 ? ? 1 2 , ?? ? 2? 3

且 ? ? ? ? ? ? 的角 ? 的集合 _____ 或
4? 3 2? 3 2? 3 , ? 2? 3

___。

。 ;其次角 ? 的

检验:根据题意,答案中的

不满足条件 ? ? ? ? ? ? ,应改为 ? };

取值要用集合表示。故正确答案为{ (2)赋值检验

例 16.已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ? 3 n ? 2 n ? 1 ,则通项公式 a n =_________;
2

错解:? a n ? S n ? S n ? 1 ? 3 n ? 2 n ? 1 ? [ 3 ( n ? 1 ) ? 2 ( n ? 1 ) ? 1 ]
2 2

? 6 n ? 1, ? a n ? 6 n ? 1

检 验 : 取 n ? 1 时 , 由 条 件 得 a 1 ? s1 ? 6 , 但 由 结 论 得 a1 ? 5 。 故 正 确 答 案 为
( n ? 1) ?6 an ? ? ?6 n ? 1 (n ? 2 )

(3)估算检验 例 17.不等式 1 ? 1 g x ? 1 ? lg x 的解是___ _______;

错解:两边平方得 1 ? lg x ? (1 ? lg x ) ,即 lg x (lg x ? 3 ) ? 0 , 0 ? lg x ? 3 ,
2

解得 1 ? x ? 1 0 ;
3

检验:先求定义域得 x ? 立;若
1 10

1 10

。若 x ? 1 ,则 1 ? lg x ? 0 , 1 ? lg x ? 0 ,原不等式成

? x ? 1 时, 1 ? lg x ? 1 ? lg x ,原不等式不成立。故正确答案为 x ? 1 。

(4)作图检验 例 18.函数 y ? | lo g 2 | x ? 1|| 的递增区间是___________;
7

y

0

1

2

x

错解:( 1, ? ? )
? | lo g 2 ( x ? 1 )| ( x ? 1 ) ? | lo g 2 (1 ? x )| ( x ? 1 )

检验:? y ? ?

作图可知正确答案为 [ 0 , 1 ) 与 [ 2 , ? ? ) 。 (5)多种检验 例 19.若
1 x ? 9 y ? 1 ( x , y ? R ) ,则 x ? y 的最小值是_________。
?

错解:? 1 ?

1 x

?

9 y

? 2

9 xy

?

6 xy

, xy ? 6

? x ? y ? 2

xy ? 1 2

检验:上述错解在于两次使用重要不等式,等号不可能同时取到。换一种解法为:
? x ? y ? ( x ? y )( 1 x ? 9 y ) ? 10 ? y x ? 9x y ? 10 ? 2 y x ? 9x y ? 16 ,

? x ? y 的最小值为 16。

(6)极端检验 例 20.已知关于 x 的不等式 ( a ? 4 ) x ? ( a ? 2 ) x ? 1 ? 0 的解集是空集,求实数 a 的
2 2

取值范围________

__;
6 5

2 2 错解:由 ? ? ( a ? 2 ) ? 4 ( a ? 4 ) ? 0 ,解得 ? 2 ? a ?


6 5

检验:若 a ? ? 2 ,则原不等式为 ? 1 ? 0 ,解集是空集,满足题意;若 a ?
2 等式为 6 4 x ? 8 0 x ? 2 5 ? 0 ,就是 (8 x ? 5 ) ? 0 ,解得 x ?
2

,则原不

5 8

,不满足题意。故正确答案

8

为: ? 2 ? a ?

6 5



(7)静态检验 例 21. 在正方体 A B C D — A 1 B 1 C 1 D 1 中, N 分别为棱 D 1 D 、 B C 的中点, 为棱 A 1 B 1 M、 P 上的任意一点,则直线 AM 与 PN 所成的角等于________ 错解:乱填一个角。 检验:设点 P 与点 B 1 重合,则容易证明 A M ? B 1 N ,即 AM 与 PN 所成角等于 9 0 ? 。由题 意知所求角是个定值,故正确答案为 9 0 ? 。 【思维总结】 1.在解答填空题时,基本要求就是:正确、迅速、合理、简捷。一般来讲,每道题都 应力争在 1~3 分钟内完成。填空题只要求填写结果,每道题填对了得满分,填错了得零分, 所以, 考生在填空题上失分一般比选择题和解答题严重。 我们很有必要探讨填空题的解答策 略和方法; 解答选择、 填空题的基本策略是准确、 迅速。 但填空题要保持填写结果形式和结果正确, 不像解答题能分步得分,稍有不慎就前功尽弃,为此要加强平时的积累和总结。 2.根据填空时所填写的内容形式,可以将填空题分成两种类型: 一是定量型,要求学生填写数值、数集或数量关系,如:方程的解、不等式的解集、函 数的定义域、值域、最大值或最小值、 线段长度、 角度大小等等。 由于填空题和选择题相比, 缺少选择支的信息,所以高考题中多数是以定量型问题出现。 二是定性型,要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质, 如:给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。 填空题是数学高考的三种基本题型之一,其求解方法分为:直接运算推理法、赋值计算 法、规律发现法、数形互助法等等; 解题时,要有合理的分析和判断,要求推理、运算的每一步骤都正确无误,还要求将答 案表达得准确、完整。合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本 要求。 ;

9


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