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高中数学132球的体积和表面积教案新人教版A版必修2(数学教案)

1.3.2 球的体积和表面积 整体设计 教学分析 本节教材直接给出了球的表面积和体积公式,并用两个例题来说明其应用.值得注意的 是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上,这是高考的重点. 三维目标 掌握球的表面积和体积公式,并能应用其解决有关问题,提高学生解决问题的能力,培 养转化与化归的数学思想方法. 重点难点 教学重点:球的表面积和体积公式的应用. 教学难点:关于球的组合体的计算. 课时安排 约 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨,有一座新异奇秀的半球形建筑.由香 港好世界饮食服务(中国)有限公司等三方合资兴建,1996 年 9 月正式开业,既是岛城饮 食服务业的“特一级”店,又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积 11 380 平方米,现酒 店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店, 那么, 需要多少面积 的这种化学材料呢? 思路 2.球既没有底面,也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球 的表面积与体积呢?球的大小与球的半径有关, 如何用球半径来表示球的体积和面积?教师 引出课题:球的体积和表面积. 推进新课 新知探究 球的半径为 R,它的体积和表面积只与半径 R 有关,是以 R 为自变量的函数.事实上, 2 如果球的半径为 R,那么 S=4π R ,V= ?R . 4 3 3 注意:球的体积和表面积公式的证明以后证明. 应用示例 思路 1 例 1 如图 1 所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: 图1 2 (1)球的体积等于圆柱体积的 ; 3 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 活动:学生思考圆柱和球的结构特征,并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读 懂图形. 证明: (1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R,高为 2R. 则有 V 球= ?R ,V 圆柱=π R ·2R=2π R ,所以 V 球= V圆柱 . 3 2 3 4 3 2 3 (2)因为 S 球=4π R ,S 圆柱侧=2π R·2R=4π R ,所以 S 球=S 圆柱侧. 点评:本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组 合体的结构特征. 变式训练 1.如图 2(1)所示, 表面积为 324π 的球, 其内接正四棱柱的高是 14,求这个正四棱柱的表面 积. 2 2 图2 解:设球的半径为 R,正四棱柱底面边长为 a,则轴截面如图 2(2) ,所以 AA′=14,AC= 2a , 又∵4π R =324π ,∴R=9. ∴AC= 2 AC' 2 ?CC' 2 ? 8 2 .∴a=8. ∴S 表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为 576. 2 有一种空心钢球,质量为 142 g,测得外径(直径)等于 5 cm,求它的内径(钢的密度为 3 7.9 g/cm ,精确到 0.1 cm). 解:设空心球内径(直径)为 2x cm,则钢球质量为 4? 5 3 4? 3 ?( ) ? x ]=142, 3 2 3 5 3 142 ? 3 3 ∴x = ( ) ? ≈11.3,∴x≈2.24,∴直径 2x≈4.5. 2 7.9 ? 4 ? 3.14 7.9·[ 答:空心钢球的内径约为 4.5 cm. 例 2 如图 3 所示,表示一个用鲜花做成的花柱,它的下面是一个直径为 1 m、高为 3 m 的 圆柱形物体,上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花 150 朵,那么装饰这个花柱 大约需要多少朵鲜花(π 取 3.1)? 图3 活动:学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积(不含下底 面)与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积. 解:圆柱形物体的侧面面积 S1≈3.1×1×3=9.3(m ), 半球形物体的表面积为 S2≈2×3.1×( 2 2 1 2 2 ) ≈1.6(m ), 2 所以 S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m ). 10.9×150≈1 635(朵). 答:装饰这个花柱大约需要 1 635 朵鲜花. 点评:本题主要考查球和圆柱的组合体的应用,以及解决实际问题的能力. 变式训练 有一个轴截面为正三角形的圆锥容器, 内放一个半径为 R 的内切球, 然后将容器注满水, 现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容器中 水的高度为多少? 分析:转化为求水的体积.画出轴截面,充分利用轴截面中的直角三角形来解决. 解:作出圆锥和球的轴截面图如图 4 所示, 图4 圆锥底面半径 r= R ? 3R , tan 30? 圆锥母线 l=2r= 2 3R ,圆锥高为 h= 3r =3R, ∴V 水= ? 3 r 2h ? 4? 3 ? 4? 3 5? 3 R ? ·3R2·3R ? R ? R , 3 3 3 3 球取出后,水形成一个圆台,下底面半径 r= 3R ,设上底面半径为 r′, 则高 h′=(r-r′)tan60°= 3( 3R ? r ' ) , ∴ 5? 3 ? R ? h' (r2+r′2+rr′),∴5R3= 3( 3R ? r ' )(r ' 2 ? 3Rr'?3R 2 ) , 3 3 3 ∴5R = 3(3 3R 3 ? r '3 ) , 解得 r′= 3 4 3 R ?6 16 R, 3 ∴h′=( 3 ? 3 12 )R. 答:容器中水的高度为( 3 ? 3 12 )R. 思路 2 例 1 (2006 广东高考,12)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积 为____________. 活动:学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形. 分析:画出球的轴截面可得,球的直径是正方体的对角线,所以球的半径 R= 2 3 3 ,则该球 2 的表面积为 S=4

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