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【新】2019高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质三相似三角形的判定及性质相似三角形的性质学案含解析

2.相似三角形的性质

1.相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 2.两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方. 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高,应包括一 切“对应点”连接的线段;同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径.

利用相似三角形性质计算 如图,已知△ABC 中,CE⊥AB 于点 E,BF⊥AC 于点 F,若 S△ABC=36 cm ,S△AEF=4 cm , 求 sin A 的值.
2 2

由题目条件证明△AEC∽△AFB,得 AE∶AF=AC∶AB,由此推知△AEF∽△ACB,进而 求出线段 EC 与 AC 的比值. ∵CE⊥AB 于点 E,BF⊥AC 于点 F, ∴∠AEC=∠AFB=90°. 又∵∠A=∠A,∴△AEC∽△AFB. ∴

AE AC = . AF AB

又∵∠A=∠A,∴△AEF∽△ACB. ∴? ? = AC ∴

?AE?2 S△AEF= 4 . ? ? S△ACB 36
AE 2 1 = = . AC 6 3

设 AE=k,则 AC=3k, ∴EC=2 2k.

1

EC 2 2 ∴sin A= = . AC 3

利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有 关,解决此类问题,要善于联想,变换比例式,从而达到目的.

1.如图,D,E 分别是 AC,AB 上的点,∠ADE=∠B,AG⊥BC 于点 G,AF⊥DE 于点 F.若

AD=3,AB=5,求:

(1) 的值; (2)△ADE 与△ABC 的周长之比; (3)△ADE 与△ABC 的面积之比. 解:(1)在△ADE 与△ABC 中, 因为∠ADE=∠B,∠BAD 为公共角, 所以△ADE∽△ABC,所以 =

AG AF

AG AB 5 = . AF AD 3

(2)△ADE 与△ABC 的周长之比等于它们的相似比, 即 AD∶AB=3∶5.

?AD?2 9 (3)△ADE 与△ABC 的面积之比等于它们相似比的平方,即? ? = . ?AB? 25
2.如图,在?ABCD 中,AE∶EB=2∶3. (1)求△AEF 与△CDF 周长的比; (2)若 S△AEF=8,求 S△CDF. 解:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD 且 AB=CD. ∵ ∴ ∴

AE 2 = , EB 3 AE 2 AE 2 = ,即 = . AE+EB 2+3 AB 5 AE 2 = . CD 5

又由 AB∥CD 知△AEF∽△CDF,
2

∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长=2∶5. (2)S△AEF∶S△CDF=4∶25, 又 S△AEF=8, ∴S△CDF=50. 利用相似三角形的性质解决实际问题 如图,一天早上,小张正向着教学楼 AB 走去,他发现教学楼后面有一水塔 DC,可过 了一会抬头一看:“怎么看不到水塔了?”心里很是纳闷.经过了解,教学楼、水塔的高分 别是 20 m 和 30 m,它们之间的距离为 30 m,小张身高为 1.6 m.小张要想看到水塔,他与 教学楼之间的距离至少应有多少米?

此题的解法很多,其关键是添加适当的辅助线,构造相似三角形,利用相似三角形的 知识解题. 如图,设小张与教学楼的距离至少应有 x m,才能看到水塔.

连接 FD,由题意知,点 A 在 FD 上,过 F 作 FG⊥CD 于点 G,交 AB 于点 H, 则四边形 FEBH,四边形 BCGH 都是矩形. ∵AB∥CD,∴△AFH∽△DFG. ∴AH∶DG=FH∶FG. 即(20-1.6)∶(30-1.6)=x∶(x+30),解得 x=55.2(m). 故小张与教学楼的距离至少应有 55.2 m 才能看到水塔.

此类问题是利用数学模型解实际问题, 关键在于认真分析题意, 将实际问题转化成数学 问题,构造相似三角形求解.

3.如图,小明欲测量一座古塔的高度,他站在该塔的影子上前后移 动,直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔 18 m,已知小明的身高是 1.6 m,他的影长是 2 m. (1)图中△ABC 与△ADE 是否相似?为什么?
3

(2)求古塔的高度. 解:(1)△ABC∽△ADE. ∵BC⊥AE,DE⊥AE,∴∠ACB=∠AED=90°. ∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)得△ABC∽△ADE,∴ = . ∵AC=2 m,AE=2+18=20 m,BC=1.6 m. ∴ 2 1.6 = ,∴DE=16 m. 20 DE

AC BC AE DE

答:古塔的高度为 16 m. 4.有一块三角形铁片 ABC,已知最长边 BC=12 cm,高 AD=8 cm,要把它加工成一个 矩形铁片,使矩形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB,AC 上,且矩形的长是宽的 2 倍.则加工成的铁片的面积为多少?

解:本题有图(1)和图(2)两种情况. 如图(1),矩形的长 EF 在 BC 上,G、H 分别在 AC、AB 上,高 AD 交 GH 于 K,设矩形的宽 为 x cm,则长为 2x cm.由 HG∥BC,得△AHG∽△ABC.得 AK∶AD=HG∶BC,所以(8-x)∶8 24 =2x∶12,即 x= (cm). 7 1 152 2 2 则 S 矩形 EFGH=2x = (cm ). 49 如图(2),矩形的宽 MN 在 BC 上,类似地可求得 S 矩形 MNPQ=18(cm ). 1 152 2 2 即加工成的铁片的面积为 cm 或 18 cm . 49
2

课时跟踪检测(四) 一、选择题 1.如图,△ABC 中,DE∥BC,若 AE∶EC=1∶2,且 AD=4 cm,则 DB 等于( )

4

A.2 cm

B.6 cm C.4 cm

D.8 cm

解析:选 D 由 DE∥BC,得△ADE∽△ABC, ∴

AD AE AD AE 1 = ,∴ = = . AB AC DB EC 2

∴DB=4×2=8(cm). 2.如图,在?ABCD 中,E 是 BC 的中点,AE 交对角线 BD 于点 G,且 △BEG 的面积是 1 cm ,则?ABCD 的面积为( A.8 cm
2 2

) B.10 cm
2

C.12 cm

2

D.14 cm

2

解析:选 C 因为 AD∥BC,所以△BEG ∽△DAG,

BE BE 1 因为 BE=EC,所以 = = . BC DA 2
所以

S△BEG ?BE?2 1 =? ? = , S△DAG ?DA? 4
2

即 S△DAG=4S△BEG=4(cm ). 又因为 AD∥BC,所以 = 所以

AG DA =2, EG BE

S△BAG AG = =2, S△BEG EG
2

所以 S△BAG=2S△BEG=2(cm ), 所以 S△ABD=S△BAG+S△DAG=2+4=6(cm ), 所以 S?ABCD=2S△ABD=2×6=12(cm ). 3.如图所示,在?ABCD 中,AB=10,AD=6,E 是 AD 的中点,在 AB 上取一点 F,使△
2 2

CBF∽△CDE,则 BF 的长是(

)

A.5 B.8.2 C.6.4 解析:选 D ∵△CBF∽△CDE, ∴

D.1.8

BF CB = . DE CD DE·CB 3×6 = =1.8. CD 10
)

∴BF=

4.如图,AB∥EF∥CD,已知 AB=20,DC=80,那么 EF 的值是(

5

A.10 B.12 C.16 解析:选 C ∵AB∥EF∥CD, ∴ ∴

D.18

AE AB 20 1 = = = . EC DC 80 4 EF EC 4 = = . AB AC 5

4 4 ∴EF= AB= ×20=16. 5 5 二、填空题 5.(广东高考)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE,AC 与 DE 交于 △CDF的周长 点 F, 则 =________. △AEF的周长

解析:由 CD∥AE,得△CDF∽△AEF, △CDF的周长 CD AB 于是 = = =3. △AEF的周长 AE AE 答案:3 6.如图,在△ABC 中有一个矩形 EFGH,其顶点 E,F 分别在 AC,AB 上,G,H 在 BC 上, 若 EF=2FG,BC=20,△ABC 的高 AD=10,则 FG=________.

解析:设 FG=x,因为 EF=2FG,所以 EF=2x. 因为 EF∥BC,所以△AFE∽△ABC,

AM EF 10-x 2x 所以 = ,即 = , AD BC 10 20
解得 x=5,即 FG=5. 答案:5 7.如图所示,在矩形 ABCD 中,AE⊥BD 于 E,S
矩形 ABCD

=40 cm .S△ABE∶S△DBA=1∶5,则

2

AE 的长为________.
6

解析:因为∠BAD=90°,AE⊥BD, 所以△ABE∽△DBA. 所以 S△ABE∶S△DBA=AB ∶DB . 因为 S△ABE∶S△DBA=1∶5, 所以 AB∶DB=1∶ 5. 设 AB=k cm,DB= 5k cm, 则 AD=2k cm. 因为 S 矩形 ABCD=40 cm , 所以 k·2k=40,所以 k=2 5(cm). 所以 BD= 5k=10 (cm),AD=4 5(cm). 1 又因为 S△ABD= BD·AE=20, 2 1 所以 ·10·AE=20. 2 所以 AE=4(cm). 答案:4 cm 三、解答题 8.如图,已知△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,D 为 AB 的中点,E 是 AC 上的点,BE,CD 交于点 M.若 AC=3AE,求∠EMC 的度数. 解:如图,作 EF⊥BC 于点 F, 设 AB=AC=3, 3 则 AD= ,BC=3 2, 2
2 2 2

CE=2,EF=FC= 2.
∴BF=BC-FC=2 2. ∴EF∶BF= 2∶2 2=1∶2=AD∶AC. ∴△FEB∽△ADC,∴∠2=∠1. ∵∠EMC=∠2+∠MCB, ∴∠EMC=∠1+∠MCB=∠ACB=45°. 9.如图,?ABCD 中,E 是 CD 的延长线上一点,BE 与 AD 交于点 F,

7

DE= CD.
(1)求证:△ABF∽△CEB; (2)若△DEF 的面积为 2,求?ABCD 的面积. 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠A=∠C,AB∥CD. ∴∠ABF=∠E. ∴△ABF∽△CEB. (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF. 1 ∵DE= CD, 2 ∴

1 2

S△DEF ?DE?2 1 =? ? = , S△CEB ?EC? 9

S△DEF ?DE?2 1 =? ? = . S△ABF ?AB? 4
∵S△DEF=2, ∴S△CEB=18,S△ABF=8, ∴S 四边形 BCDF=S△CEB-S△DEF=16. ∴S?ABCD=S 四边形 BCDF+S△ABF=16+8=24.

10.如图所示,甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆 AB 的高度,甲在 操场上 C 处直立 3 m 高的竹竿 CD,乙从 C 处退到 E 处恰好看到竹竿顶 端 D 与旗杆顶端 B 重合,量得 CE=3 m,乙的眼睛到地面的距离 FE= 1.5 m;丙在 C1 处也直立 3 m 高的竹竿 C1D1,乙从 E 处退后 6 m 到 E1 处,恰好看到竹竿顶端

D1 与旗杆顶端 B 也重合,量得 C1E1=4 m,求旗杆 AB 的高.
解:设 F1F 与 AB,CD,C1D1 分别交于点 G,M,N,

GB=x m,GM=y m.
因为 MD∥GB, 所以∠BGF=∠DMF,∠GBF=∠MDF, 所以△BGF∽△DMF, 所以 = . 又因为 MD=CD-CM=CD-EF=1.5 (m),
8

MD MF GB GF

1.5 3 所以 = .① x 3+y 又因为 ND1∥GB,同理可证得△BGF1∽△D1NF1, 所以 即

ND1 NF1 = , GB GF1
4

1.5 =

x

y+3+6

.②
?x=9, ? ? ?y=15.

解方程①②组成的方程组,得?

又 AB=GB+GA=9+1.5=10.5(m), 即旗杆 AB 的高为 10.5 m.欢迎下载!

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