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等比数列前n项和的性质






等比数列的前n项和的性质

复习回顾 引入新课
1、等比数列前n项和公式: q ?1 , ?na1 ?na1 ? S n ? ? a1 ? a1 q n 或 Sn ? ? a ? a q ? 1 n q ? 1。 ? 1-q ? 1-q ? ? 2、数学思想:整体代入法。 3、两个求和方法: (1)拆项分组求和法; (2)错位相减求和法;

q ?1 , q ? 1。

1 、数列1 ,a,a , ?,a , ?的前n项和为( D ) n ?1 n ?1 1? an 1 ? a 1? a A. B. D.以上均不正确 C . 1? a 1? a 1? a 2、若等比数列 {an }的前n项和为S n , 则数列 {S n }中( D )
A.任意一项都不为0 C.至多有有限项为0
B.必有一项为0

2

n?1

D.可以有无数项为0
n

3、若等比数列 {a n }的前n项和S n ? 2 ? 1 ,数列{bn }满足: bn ? a n ,则{bn }的前那n项和Tn ?
2

1 n (4 ? 1) 。 3

合作探究 形成规律
a1 n a1 a1 ? a1q n ? Sn ? ? q ? Sn ? 1-q 1-q 1-q a1 令A ? ? ? 0 则:S n ? Aqn - A 1-q
这个形式和等比 数列等价吗?

等比数列前n项和的性质一:

数列 {an }是等比数列 ?

S n ? Aqn - A( A ? 0)
相反 数

1 、若等比数列 {an }的前n项和S n ? 4n ? a,求a的值。
提示:

S n ? Aqn - A( A ? 0)

系数和常数互为相反数

? a ? ?1
1 、若等比数列 {an }的前n项和S n ? 3n?1 ? 2a,求a的值。
1 1 1 n 化简到: S n ? ? 3 ? 2a ? ? 2a ? 0 ? a ? ? 3 3 6

我们知道,等差数列有这样的性质:
如果?an ?为等差数列 ,则S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 也成等差数列。

新的等差数列首项为 S k,公差为k 2 d。
那么,在等比数列重,也有类似的性质吗?

等比数列前n项和的性质二:
怎么 证明?

如果?an ?为等比数列 ,则S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 也成等比数列

新等比数列首项为 S k,公比为q k 。

2、等比数列 {an }的前n项和为S n,若S m ? 10 ,S 2m ? 30 , 求S 3m的值。
解:? S m,S 2m - S m,S3m - S 2m 成等比数列

? (S 2m - S m ) ? S m ? (S3m - S 2m )
2

即: (30 - 10) 2 ? 10? (S3m - 30)

解得:S3m ? 70

S10 31 3、等比数列 {a n }的前n项和为S n,a1 ? ?1, 若 ? , S 5 32 S15 求 的值。 S10

S10 31 ? ? 解: S 5 32

? 设S10 ? 31k , S5 ? 32k (k ? 0)

? S5,S10 - S5,S15 - S10 成等比数列
? (S10 - S5 ) 2 ? S5 ? (S15 - S10 ) 993 2 k 即: (31k - 32k ) ? 32k ? (S15 - 31k ) 解得: S15 ? 32

S15 993 ? ? S10 992

2、等比数列 {a n }的前n项和为S n,若S10 ? 20 , S 20 ? 80 ,则S 30 ?
260



3、任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X、Y、Z,则下列等式中恒成立的是( D) A.X+Z=2Y C.Y2=XZ B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X) 210

4、书上第58页,第2题。

等比数列前n项和的性质三:

?an ?共有2n项,则: 若等比数列
S偶 S奇 ?q

1 4、若等比数列 {a n }的公比为 ,且a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60, 3 则{a n }的前100项和为 80 。
解: 令X ? a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60
Y ? a2 ? a4 ? ? ? a100

Y 1 由等比数列前 n项和性质知: ? q ? X 3

则S100 ? X ? Y

? Y ? 20

即:S100 ? X ? Y ? 80

5、已知一个等比数列其首项是1,项数是偶数,所有奇 数项和是85,所有偶数项和是170,求此数列的项数? 提示:

q?

S偶 S奇

170 ? ?2 85

S n ? S 偶 ? S奇 ? 170? 85 ? 255
由等比数列前 n项和公式得:
1 ? 2n 255 ? 1-2

?n?8

5、在等比数列 {an }中,a1 ? an ? 66 ,a2 ? an?1 ? 128 , 前n项和S n ? 126 ,求n及公比q。
解:? a1an

? a2 ? an?1 ? 128

又有a1 ? an ? 66
两式联立解得:

?a1 ? 2 ?a1 ? 64 或? ? ?a n ? 64 ?a n ? 2 显然,q ? 1。

(1)当a1 ? 2,an ? 64时有:

2 - 64q Sn ? ? 126 1? q

a1 ? a n q Sn ? 1-q

解得:q ? 2

又an ? a1q 得:64 ? 2 ? 2

n?1

n ?1

解得:n ? 6 (2)当a1 ? 64 ,an ? 2时, 同理可得: 1 q ? ,n ? 6 2
1 综上所述: n ? 6,q ? 或2。 2

6、已知等比数列 {a n }前n项和为S n,若a 2 a3 ? 2a1, 5 且a 4与2a7的等差中项为 ,求S 5。 4

S5 ? 31
S 3 ? 7,求S 5。

7、已知正项等比数列 {an }前n项和为S n,若a2 a4 ? 1 ,

31 S5 ? 4

8、已知数列 {an }的前n项和S n 满足:S n ? 4an ? 2, 求数列 {an }的通项公式。
2 4 n ?1 an ? ? ? ( ) 3 3

等差数列前n项和的性质: ① 数列 {an }是等比数列 ? S n ? Aqn - A( A ? 0)
② ?an ?为等比数列? S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 也成等比数列。
且新等比数列首项为 S k,公比为q k 。

?an ?共有2n项,则: ③ 若等比数列
S偶 S奇 ?q

? ? ? 如果 a 为公比为 q 的等比数列 , 对 ? m 、 p ? N 有: ④ n

S m? p ? S m ? q S p
m


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