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高一数学 2.3.1《平面向量基本定理》学案(新人教A版版必修4)


一、学习目标:要求学生掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量表示一个

向量;或一个向量分解为两个向量. 二、学习重难点:平面向量的基本定理及其应用. 三、学习过程:
回顾复习:

1、向量的加法运算( 平行四边形法则): 2、向量的减法运算: 3、实数与向量的积: 4、向量共线定理: 问题 1:由平行四边形法则思考:
[来源:学科 ZXXK ] 网

是不是每一个向量都可以分解成两 个不共线向量?且分解是唯一?

问题 2:对于平面上两个不共线向量 e1 ,e2 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示?

? 动手操作: e1 , e2 是不共线 向量, a 是平面内任一向量

[来源:学 网] .科.

e1
OA = e1 OB = e2

a

e2
OM =λ 1 e1 ON =λ 2 e2

M M O N B

C M

? OC = a = OM + ON =λ 1 e1 +λ 2 e2

得平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这

? ? 一平面内的任一向量 a ,有且只有一对 实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2
注意几个问题: 1?这个定理也叫________________; 2? e1 、 e2 必须________,且它 是这一平面内所有向量的一组 _ _____;

? 3?λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 ___________确定的数量.

思考: 平面内的任一向量是否都可以用形如 λ1 e1 +λ2 e2 的向量表示?

【知识应用】

1. 在

ABCD 中,(1)已知

=a,

= b ,试用 a , b 来表示



.

(2)已知

=c,

= d ,试用 c , d 表示向量



.

2. 给定平面内任意两个不共线向量 e1 , e2 试作出向量 3 e1 +2 e2 , e1 -2 e2 .

e1

e2

思考:

来 学 [ 源 : 科网 ]

平面向量基本定理 与前面所学的平面向量共线定理 , 在内容和表述形式上有什么 区别和联系?

问题 3:

来 [ 源:Zxxk.Co m]

完成教材《必修 4》P69 的例 1、例 2、例 3;

反思:如何运用好平面向量二个的基本定理,你能总结出一点心得吗?

巩固练习:

1. 已知:不共线向量 e1 , e2 ,求作向量 a =

1 2

e1 -2 e2 .

e1

e2

2.已知 a , b 不共线,且 c =λ1 a +λ2 b (λ1 ,λ2 ∈R),若 c 与 b 共线,则 λ1 =

.

3.已知矢量 a = e1 -2 e2 , b =2 e1 + e2 ,其中 e1 、 e2 不共线,则 a + b 与 c =6 e1 -2 e2 的关 系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

4. 已知:不共线向量 e1 , e2 ,并且 e1 -3 e2 =λ 1 e1 +λ 2 e2 ,求实数 λ 1 ,λ 2 .

5. 已知:基底{ a , b },求实数x,y满足向量等式:3x a +(10-y) b =(4y+7) a + 2x b .

6. 在△ABC 中,

=a,

= b ,点 G 是△ABC 的重心,试用 a , b 表示



7. 已知:ABCDEF 为正六边形,

=a, .

= b ,试用 a , b 表示向量

8. 已知 a =2 e1 -3 e2 , b = 2 e1 +3 e2 ,其中 e1 , e2 不共线,向量 c =2 e1 -9 e2 ,问是

否存在这样的实数 ?、? , 使d ? ? a ? ? b 与 c 共线.

? ?

?

?

9、已知 e1 , e2 是平面内所有向量的一组基底,又 a = e1 +2 e2 , b =2 e1 - e2 , c =- e1 +8 e2 ,若用

a , b 作为基底表示向量 c ,则 c =_________________.

探究证明: 已 知 : M 是 平 行 四 边 形 ABCD 的 中 心 , 求 证 : 对 于 平 面 上 任 一 点 O , 都 有 .

总结一下前面关于三 点共线问题的题型,再完成下面证明:

OB 设 OA、 不 共 线 , 点 P 在 O 、 A 、 B 所 在 的 平 面 内 , 且
??? ? ??? ??? ? ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB(t ? R) .求证:A、B、P 三点共线.
来 学 [ 源: 科网 ]

??? ?? ? ?


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