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等差与等比综合


等差数列与等比数列综合应用 知识点 一. 等差、等比数列综合问题: 只要把条件转化基本量 a1 , d 或 a1 , q 的关系,再通过解方程找出关系求 解。 1..数列 ?a n ?的通项 a n 与前 n 项和 S n 的关系: ⑴ S n ? a1 ? a2 ? ? ? a n ; 2..两个重要变形: ?n ? 2 ? ⑴ an ? a1 ? ?a2 ? a1 ? ? ?a3 ? a2 ? ? ? ? ?an ? an?1 ? ; ⑵
?S (n ? 1) ⑵ an ? ? 1 . ? ? S ? S n ? 2 n n ? 1 ?

a n ? a1 ?

a . a 2 a3 ? ? ?? n a1 a 2 a n?1

3 数列求和问题: ⑴ 分组求和:问题分为等差数列和等比数列两组, ( 或两组等差数 列) ,(或两组等比数列) 利用公式求和。 ⑵ 裂项相消求和:求和式是分式的一般先把通项裂项分开,再把求和 式的每一项都裂项,于是中间的项都互相抵消,剩下头尾的“对称”的 项,即前面剩几项,后面也剩几项。如: a n ?
1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n?n ? 1? 1 1 1 ? ? , n?n ? 1? n n ? 1

Sn ?

1 ? 1 ? 1? ? 1 1? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ?1 ? 2? ? 2 3? ? n n ? 1?

⑶ 错位相减求和:求和式是等差数列与等比数列的乘积的,求和方法 是求和式两边乘公比后再两式相减, 转化为等比数列求和化简可得。 如:

an ? n ? 2 n?1 ,

S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 ,…①

两边同乘公比 q ? 2 得:

2S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ?n ? 1? ? 2n?1 ? n ? 2n …②
于是①-②得:
? Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?1

1 ? 2n ? n?2 ? ? n ? 2n , 1? 2
n

∴ S n ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? ?n ? 1?2n ? 1
1

4.数列的应用问题: 对于数列的应用题,一是要分清是等差数列还是等 比数列,即它们的首项,公差或公比是什么;二是求某一项还是求和。 例 1 : (1) 数列 ?an ? 的通项是 an ?
Sn
1 ,则其前 n 项和为 ?2n ? 1??2n ? 1?

? ___
1? 1 1 ? 1 ? ? ? ? ,裂项求和: ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

析:∵ an ? ∴

Sn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? n ? 1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?? 2 ? 2n ? 1? 2n ? 1

(2)求和: S ? 1 1 ? 2 1 ? 3 1 ? ? ? n 1 . n n

.
n 1 ? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ?2? ? ?

2

4

8

2

1 1 1 ? n?1 ? n? 析: (3)S ? ?1 ? 2 ? ? ? n? ? ? ? ? ? ??? n ? ? n ?2 4 2 ? 2

1?

1 2

n2 ? n ?1? ? ?1? ? ? 2 ?2?

n

(4) S ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? ? ? n ? 1 n n

2

4

8

2





S n ? 1?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3? 3 ? ?? n ? n 2 2 2 2



2S n ? 1 ?

1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2
n 1 ? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ?2? ? ?

两式相减得:

1 1 1 1 n ? S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ? 2 2 2 2 2

1?

1 2

?

n 2 n?1

n ?1? ? 1 ? ? ? ? n?1 2 2 ? ?

n

1 n ? n ?1 n 2 2 (5)错误!未找到引用源。 (6)错误!未找到引用源。

∴ S n ? ?1 ?

例 2:在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ?
an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2 n ?1
2

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

解: (1) an?1 ? 2an ? 2n ,两边同除 2 n 得:

an ?1 a ? nn ? 1 ,即 bn?1 ? bn ? 1 , n 2 2 ?1

则 ?bn ? 为等差数列, b1 ? 1 ,公差 d ? 1 , bn ? n , an ? n2n?1 . (2) (错位相消法) S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?2 ? n ? 2n?1

2S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n
两式相减,得 S n ? n ? 2n ? 1? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1
2 例 3:等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a 2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

?1? (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?
解: ( Ⅰ ) 设 数 列 ?an ? 的 公 比 为 q , ∵ an ? 0 , ∴ q ? 0 , 由 已 知
2 2a1 ? 3a 2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 得:

? ?2a1 ? 3a1 q ? 1 ? 2 2 ? ? 9a1 q ? a1 q 5 ? a1 q

?

?

1 ?1? 1 1 解得: q ? , a1 ? ,∴ an ? ? ? ? 3 ? 3? 3 3

n ?1

?

1 3n

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ? ??1 ? 2 ? ? ? n ? ? ? 故 1 ??
bn 2 1 ? ?1 ? ?2? ? ? n?n ? 1? ? n n ? 1?

n?n ? 1? , 2

?1? ∴数列 ? ? 的前 n 项和为: ? bn ?
? 1 1 1 1 ? 1 1? 1 ?? 2n ?1 ? ? ? ? ?2?(1 ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ? 1 n ?1 ? ? ? ?? ?

三、练习题 1 . 已 知 {a n } 是 一 个 公 差 大 于 0 的 等 差 数 列 , 且 满 足

a3 a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 .
(Ⅰ) 求数列{a n } 的通项公式: (Ⅱ)等比数列{bn } 满足:b1 ? a1 , b2 ? a2 ? 1 ,若数列 cn ? a n ? bn ,求数 列{cn } 的前 n 项和 S n .
3

1 解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2 ? a7 ? 16 .得 2a1 ? 7d ? 16 ① , ②

由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55

由 ① 得 2a1 ? 16 ? 7d 将 其 代 入 ② 得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。 即
256 ? 9d 2 ? 220

∴ d 2 ? 4 ,又 d ? 0,? d ? 2 ,代入①得 a1 ? 1 , ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 . (Ⅱ)? b1 ? 1, b2 ? 2,?bn ? 2 n?1 ,∴ cn ? an ? bn ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ,

S n ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 ,
∴ 2S n ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n 两式相减得: ? S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? 2 ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n 整理得:

? Sn ? 1 ?

4(1 ? 2 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 4 ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? 2n?1 ? 3 ? (2n ?1) ? 2n
∴ S n ? 3 ? (2n ? 1) ? 2n ? 2n?1 ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n 2. 设 ?a n ?是等差数列, 且 a1 ? b1 ? 1, ?bn ?是各项都为正数的等比数列,
a3 ? b5 ? 21 , a5

? b3 ? 13 .
(2)求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n
? ? ? bn ?

(1)求 ?a n ?, ?bn ?的通项公式;

2、解: (1)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且
?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? 解得 d ? 2 , q ? 2 . ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1 .
4

(2)

an 2n ? 1 ? n ?1 . bn 2

∴ Sn ? 1 ?

3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 1 2 2 2 2



1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? ② 2 2 2 2 2 2n ① -②得: 1 2 2 2 2 2n ? 1 S n ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2
1 1 ? 2n ? 1 ?1 1 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? ? n ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 ?2 2
n ?1 1 ? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ?2? ?

1 1? 2

?

2n ? 1 2n

? 1? 2 ?

2 2
n ?1

?

2n ? 1 2 2n ? 1 ? 3 ? n ?1 ? n 2 2 2n

∴ Sn ? 6 ?

2n ? 3 . 2 n ?1

3 已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,其前 n 项和为 S n ,若 S n ? 99 ,且

a4 , a7 , a12 成等比数列.
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 Tn ?
3 1 1 1 ? ? ? ? ,证明: Tn ? . 4 S1 S 2 Sn

3.解;(Ⅰ)因为 S9 =99 ,得 a5 =11 ;
2 由 a4 , a7 , a12 成等比数列,得 a7 =a4 a12 ,

即 ?11 ? 2d ? = ?11 ? d ??11 ? 7 d ? , d ? 0 ,所以 d =2 ,
2

故 an ? 2n ? 1 ,


Tn =





Sn ?

n ? a1 ? an ? ? n ? n ? 2? 2



1 1?1 1 ? ? ? ? ? Sn 2 ? n n ? 2 ?

1 1 1 + +? + S1 S 2 Sn

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 = ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? 2 ?? 3 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? ? n ?1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ??
1? 1 ? 1 1 ?? 3 1 ? 1 1 ? 3 = ?1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 2 ? 2 ? n ? 1 n ? 2 ?? 4 2 ? n ? 1 n ? 2 ? 4

故 Tn ?

3 4

4、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n 2 ? n ,n∈N﹡,数列{bn}满 足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.
5

4【解析】(1)由 Sn= 2n 2 ? n ,得

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;

2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n 2 ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2 n?1 ,n∈N﹡. (2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡ 所以

Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 22 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n?1 , 2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1 )] ? (4n ? 5)2n ? 5
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.

5. [2014· 北京卷] 已知{an}是等差数列, 满足 a1=3, a4=12, 数列{bn} 满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. 5.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得

d=

a4-a1 12-3
3 = 3

=3.

所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…). 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 q3= 解得 q=2. 所以 bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1. 从而 bn=3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知 bn=3n+2n-1(n=1,2,…). 3 数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1), 2 数列{2
n-1

b4-a4 20-12 = =8, b1-a1 4-3

1-2n }的前 n 项和为 1× =2n-1, 1-2

3 所以,数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2n-1. 2 7(15 北京文科)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 .
6

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几 项相等? 7. 【解析】 试题解析: (Ⅰ) 设等差数列 ?an ? 的公差为 d.因为 a4 ? a3 ? 2 , 所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 .所以

an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2

(n ? 1, 2, ?) .

(Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q . 因为 b2 ? a3 ? 8 ,b3 ? a7 ? 16 , 所以 q ? 2 ,b1 ? 4 .所以 b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 . 由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 .所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 8. ( 15 年 安 徽 文 科 ) 已 知 数 列 ?an ? 是 递 增 的 等 比 数 列 , 且

a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8.
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ? 和 Tn 。 8【答案】 (1) an ? 2n?1 (2)
2n ?1 ? 2 2n ?1 ? 1

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项 Sn Sn ?1

7

2n ?1 ? 2 ? = 1 ? n ?1 . 2 ? 1 2n ?1 ? 1 1

9 设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ?1 ? 2an . (Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? log2 an?1 ,且数列 {bn } 的前 n 项
1 1 1 ? ?? ? Tn . 和为 Tn ,求 T1 T2

9 解: (Ⅰ)由已知,有 Sn ? ?1 ? 2an 当 n ? 1 时, a1 ? ?1 ? 2a1 ,即 a1 ? 1 . 当 n ? 2 时, Sn?1 ? ?1 ? 2an?1 ②,

①,

a ? 2an?1 ? n ? 2? ①-②得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 , 即 n .
n ?1 a 所以 ? n ? 是 2 为公比,1 为首项的等比数列,即 an ? 2 .

(3 分) (5 分)

n (Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 bn ? log2 an?1 ? ln 2 ? n ,

(6 分)

所以

Tn ? 1 ? 2 ? ? ? n ?

n(n ? 1) 2 .
8

(8 分)

2 2 2 2 1 1 1 ? ? ? ??? ? ?? ? n ? n ? 1? Tn 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 所以 T1 T2
1 1 ? ? 1 1 1 1 1 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ?1 ? = ? 2 2 3 3 4 1 ? 2n ? 2 ?1 ? ? = ? n ?1 ? = n ? 1

(9 分)

(12 分)

10.已知数列 ?an ? 是等差数列,其前 n 项和为 S n , a3 ? a9 ? 24, S5 ? 30. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式

? 1 ? (2) 求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an ? an ? 2 ?
5(a1 ? a5 ) ? 30, a1 ? a5 ? 2a3 ? 12, a3 ? 6 , 2

10.解(1)因为数列 ?an ? 是等差数列,设其首项是 a1 , 公差是 d ,由题意

a3 ? a9 ? 2a6 ? 24, a6 ? 12 , S5 ?
可求得 a1 ? 2, d ? 2, an ? 2n .

(2)因为 an ? 2n, an ? 2 ? 2(n ? 2) , 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? ), an ? an ? 2 2n ? 2(n ? 2) 8 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 8 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n ? 2 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 8 2 n ?1 n ? 2

=

n(3n ? 5) 16(n ? 1)(n ? 2)

11.(2016 年北京.文)(15)已知{an}是等差数列,{bn}是等差数列,且

b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 cn= an+ bn,求数列{cn}的前 n 项和.

3n ? 1 11【答案】 (Ⅰ) an ? 2n ? 1 ( n ? 1 , 2 , 3 , ??? ) ; (Ⅱ) n ? 2
2

9

(II)由(I)知, an ? 2n ? 1 , bn ? 3n ?1 . 因此 cn ? an ? bn ? 2n ? 1 ? 3n ?1 .从而数列 ?cn ? 的前 n 项和

S n ? 1 ? 3 ? ??? ? ? 2n ? 1? ? 1 ? 3 ? ??? ? 3n ?1 ?
12. (2016 年浙江.文) 17.设数列{ =2 +1, . ; (II)求数列{

n ?1 ? 2n ? 1? 1 ? 3n 3n ? 1 ? ? n2 ? 2 1? 3 2
.已知 =4,

}的前 项和为

(I)求通项公式

}的前 项和

.12 【答案】 (1 )

; (2)

.

10

13. ( 2017 北京 . 文)( 15 )已知等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 满足

a1=b1=1, a2+a4=10, b2b4=a5.
(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求和: b1 ? b3 ? b5 ? ? ? b2n?1 .
1 ? d ? 1 ? 3d ? 10

13. 【 解 析 】 ( I ) 设 公 差 为 d ,
an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 .

,所以 d ? 2 ,所以

(Ⅱ)设 ?bn ? 的公比为 q , b2 . b4 = a 5 ? qq3 ? 9 ,所以 q 2 ? 3 所以 ?b2n-1? 是以 b1 ? 1 为首项, q1 ? q2 ? 3 为公比的等比数列, 所以 b1+b3+b5+?+b2n-1 ?
1? (1 ? 3n ) 3n ? 1 . ? 1? 3 2

14. (2017 天津.文) (18) 已知 {an } 为等差数列, 前 n 项和为 S n (n ? N* ) ,

{bn } 是 首 项 为

2

的 等 比 数 列 , 且 公 比 大 于

0 ,

b2 ? b3 ? 12, b3 ? a4 ? 2a1 , S11 ? 11b4 .
(Ⅰ)求 {an } 和 {bn } 的通项公式;
11

(Ⅱ)求数列 {a2 nbn } 的前 n 项和 (n ? N* ) . 14.【答案】 (1) an ? 3n ? 2 . bn ? 2n .(2) Tn ? (3n ? 4)2n ? 2 ? 16 .

由此可得 an ? 3n ? 2 .所以, {an } 的通项公式为 an ? 3n ? 2 , {bn } 的通项 公式为 bn ? 2n . (Ⅱ)设数列 {a2 nbn } 的前 n 项和为 Tn ,由 a2 n ? 6n ? 2 ,有
Tn ? 4 ? 2 ? 10 ? 22 ? 16 ? 23 ? ? ? (6n ? 2) ? 2 n , 2Tn ? 4 ? 22 ? 10 ? 23 ? 16 ? 24 ? ? ? (6n ? 8) ? 2 n ? (6n ? 2) ? 2 n ?1 ,

上述两式相减,得 ?Tn ? 4 ? 2 ? 6 ? 22 ? 6 ? 23 ? ? ? 6 ? 2 n ? (6n ? 2) ? 2 n ?1

12 ? (1 ? 2n ) ? ? 4 ? (6n ? 2) ? 2n ?1 ? ?(3n ? 4)2n ? 2 ? 16 .得 1? 2
Tn ? (3n ? 4)2n ? 2 ? 16 .所以,数列 {a2 nbn } 的前 n 项和为 (3n ? 4)2n ? 2 ? 16 .

15. (2016 年山东.文) (19) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 3n 2 ? 8n , ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn ?1 . (I)求数列 ?bn ? 的通项公式; (II)令 cn ?

(an ? 1) n ?1 .求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . (bn ? 2) n

15.【答案】 (Ⅰ) bn ? 3n ? 1 ;(Ⅱ) Tn ? 3n ? 2 n ? 2

?a1 ? b1 ? b2 【解析】 : (Ⅰ)由题意得 ? ,解得 b1 ? 4, d ? 3 ,得到 ?a 2 ? b2 ? b3
bn ? 3n ? 1 。

12

16. ( 2016 年 天 津 . 文 ) (18) 已 知 ?an ? 是 等 比 数 列 , 前 n 项 和 为

S n ? n ? N ?? ,且

1 1 2 ? ? , S6 ? 63 . a1 a2 a3

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若对任意的 n ? N ?, b n 是 log 2 an 和 log 2 an ?1 的等差中项,求数 列 ? ?1? bn 2 的前 2n 项和.
n

?

?

16.【答案】 (Ⅰ) a n ? 2 n ?1 (Ⅱ) 2n 2

13



解 : 由 题 意 得 1 1 1 即数列 {bn } 是 bn ? (log 2 a n ? log 2 a n ?1 ) ? (log 2 2 n ?1 ? log 2 2 n ) ? n ? , 2 2 2 1 首项为 ,公差为 1 的等差数列. 2
2 设数列 {( ?1) n bn } 的前 n 项和为 Tn ,则





T2 n ? (?b12 ? b22 ) ? (?b32 ? b42 ) ? ? ? ? ? (?b22n ?1 ? b22n ) ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? b2 n ?

2n(b1 ? b2 n ) ? 2n 2 2

近年高考全国卷试题回顾 1(2013 全国 1 卷)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0, S5=-5. ? ? 1 ? ? ?的前 n 项和. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列? ? ?a2n-1a2n+1? ? 1.解:(1)设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ n(n-1) d. 2

?3a1+3d=0, 由已知可得? 解得 a1=1,d=-1. ?5a1+10d=-5, 故{an}的通项公式为 an=2-n. 1 ? 1 1 1? 1 - ?, (2)由(1)知 = = ? a2n-1a2n+1 (3-2n)(1-2n) 2?2n-3 2n-1? ? ? 1 ? ? ?的前 n 项和为 数列? ? ?a2n-1a2n+1? ?
14

1 1 1 1 1 ? 1? 1 n - ? - + - +…+ ?= . 2n-3 2n-1? 1-2n 2?-1 1 1 3 2.(2013 全国 2 卷)17.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a11,a13 成等 比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2. 2.解:(1)设{an}的公差为 d.由题意,a2 即(a1+10d)2=a1(a1 11=a1a13, +12d),于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知 a3n-2=-6n+31, 故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列.从而 Sn= (a1+a3n-2)= 2

n

n
2

(-6n+56)=-3n2+28n.

3 ( 2014 全国 1 卷)已知 ?an ? 是递增的等差数列, a 2 , a 4 是方程
x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的根。

(I)求 ?an ? 的通项公式;

?a ? (II)求数列 ? n 的前 n 项和. n ? ?2 ?

3 【解析】 : (I ) 方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为 2,3,由题意得 a2 ? 2 , a4 ? 3 , 设数列 ?an ? 的公差为 d,,
3 1 a1 ? 则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d= ,从而 2 ,所以 ?an ? 的通项公式为: 2

an ?

1 n ?1 2

a n?2 ?a ? ? n ?1 ,则: (Ⅱ)设求数列 ? n 的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 n n n ? 2 2 ?2 ?

3 4 5 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 3 4 5 n ?1 n ? 2 S n ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 两式相减得 Sn ?

1 3 ?1 1 1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 Sn ? ? ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? ? n?2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n?2 2 4 ?2 2 2 ? 2 4 4? 2 ? 2



15

以 Sn ? 2 ?

n?4 2n ?1

4.(2016 全国 1 卷) (17)已知 ?an ? 是公差为 3 的等差数列,数列 ?bn ?
1 满足 b1 ? 1, b2 ? , anbn ?1 ? bn ?1 ? nbn 。 3

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)求 ?bn ? 的前 n 项和。

1 4. 解: (Ⅰ) 由已知 a1b2 ? b2 ? b1 , 由 b1 ? 1, b2 ? , 得 a1 ? 2 。 所以数列 ?an ? 3 是首项为 2,公差为 3 的等差

数列,通项公式为 an ? 3n ? 1 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)和 anbn?1 ? bn?1 ? nbn ,得
1 为 1,公比为 的等比数列。 3

bn ?1 1 ? ,因此数列 ?bn ? 是首项 bn 3

1 3n ? 3 ? 1 。 记数列 ?bn ? 前 n 项和为 Sn ,则 Sn ? 1 2 2 ? 3n ?1 1? 3 5. (2016 新课标Ⅲ.文) (17)已知各项都为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 1?
2 an ? (2an ?1 ? 1)an ? 2an ?1 ? 0 .

(I)求 a2 , a3 ;

(II)求 ?an ? 的通项公式.

1 1 1 5.【答案】 (Ⅰ) a2 ? , a3 ? ; (Ⅱ) an ? n ?1 . 2 4 2

【解析】

7.(2017 全国 1 卷.文)17.记 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知

S2=2,S3=-6.
(1)求 ?an ? 的通项公式;
16

(2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2 是否成等差数列。 7.解:

8.(2017 全国Ⅱ卷.文)17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比 数列{bn}的前 n 项和为 Tn, a1=-1,b1=1, a2 ? b2 ? 2 . (1) 若 a3 ? b3 ? 5 ,求{bn}的通项公式; 8.解: (2)若 T=21,求 S1.

9. ( 2017

全 国

III

卷 . 文 ) 17 . 设 数 列

?an ?

满 足

a1 ? 3a2 ? ? ? (2n ?1)an ? 2n .
(1)求 ?an ? 的通项公式;

? a ? (2)求数列 ? n ? 的前 n 项和. ? 2n ? 1 ?
17

9.解:

18


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