当前位置:首页 >> 数学 >>

极坐标与参数方程知识点总结大全(学生版)

坐标系与参数方程知识点总结大全
一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点 P ? x, y ? 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ,称 为平面直角坐标系中的 : ,简称 . 的作用下,点 P ? x, y ? 对应到点

二、极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立

如图所示 选定一个 单位,一个

,在平面内取一个定点

,叫做

,自

引一条射线

,叫做

;再

单位(通常取弧度)及其正方向(通常取

时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景 ,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ;平面直角 坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 边的角 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的 ,记为 .有序数对 可取任意实数. ,记为 ;以 ,记作 为始边, . 为终

叫做点 M 的

叫做点 M 的

一般地,不作特殊说明时,我们认为 特别地,当点 如果规定 点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 在

时,它的极坐标为 ? 0,? ??? ? R ? .和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. ,那么除 外,平面内的点可用唯一的极坐标 表示;同时,极坐标 表示的

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点, x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示:

(2)互化公式:设 标的互化公式如表:

是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是

,极坐标是

(

),于是极坐标与直角坐



直角坐标

极坐标

互化公式

在一般情况下,由

确定角时,可根据点

所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点,半径为 的圆

圆心为

,半径为 的圆

圆心为

,半径为 的圆

(1) 过极点,倾斜角为 的直线 (2)

过点

,与极轴垂直的直线

过点

,与极轴平行的直线

注: 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一 ,即

都表示同一点的坐

标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足

极坐标方程即可.例如对于极坐标方程



可以表示为



多种形式,其中,只有

的极坐标满足方程

.

三、参数方程
1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 由方程组 的变数 叫做 ①所确定的点 ,简称 都是某个变数 的函数①,并且对于 的每一个允许值,

都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程 ,联系变数 ,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做 .

2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数 中的一个与参数 的关系,例如 ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系

,那么

就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使

的取值范围保持一致.

注: 普通方程化为参数方程, 参数方程的形式不一定唯一。 应用参数方程解轨迹问题, 关键在于适当地设参数, 如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3.圆的参数 如图所示,设圆 的半径为 ,点 从初始位置 出发,按逆时针方向在圆 上作匀速圆周运动,设 ,

则 这就是圆心在原点 圆心为

. ,半径为 的圆的参数方程,其中 的几何意义是 转过的角度.

,半径为 的圆的普通方程是

,它的参数方程为:

4.椭圆的参数方程

以坐标原点

为中心,焦点在

轴上的椭圆的标准方程为

其参数方程

为 其参数方程为

,其中参数

称为

;焦点在 仍为

轴上的椭圆的标准方程是 ,通常规定参数 的范围为 ∈

,其中参数

注:椭圆的参数方程中,参数

的几何意义为椭圆上任一点的

,要把它和这一点的旋转角

区分开来,

除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在 到

的范围内),在其他任何一点,两个角的数值都

不相等。但当 5.双曲线的参数方程

时,相应地也有

,在其他象限内类似。

以坐标原点

为中心,焦点在 轴上的双曲线的标准方程为

其参数方程为

,其中

焦点在

轴上的双曲线的标准方程是 都是双曲线上任意一点的

其参数方程为

注:以上参数

6.抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线 的参数方程为

注:参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的 7.直线的参数方程

经过点

,倾斜角为

的直线 的普通方程是



而过

,倾斜角为

的直线 的参数方程为

.

注:直线参数方程中参数的几何意义: 过定点 为起点,任一点 当点 当点 当点 在 在 与 上方时, 下方时, 重合时, ,倾斜角为 的直线 的参数方程为 的数量, ,其中 表示直线 上以定点

为终点的有向线段 ; ; .

我们也可以把参数 理解为以点 度与原直角坐标系中的单位长度相同。

为原点,直线 向上的方向为正方向的数轴上的点

的坐标,其单位长


相关文章:
极坐标与参数方程知识点总结大全.doc
极坐标与参数方程知识点总结大全 - 极坐标与参数方程 一、参数方程 1.参数方程
极坐标与参数方程知识点总结大全(学生版).doc
极坐标与参数方程知识点总结大全(学生版) - 坐标系与参数方程知识点总结大全 一
极坐标与参数方程知识点总结.doc
极坐标与参数方程知识点总结 - 第一部分:坐标系与参数方程 【考纲知识梳理】 1
极坐标与参数方程题型及解题方法(学生版).doc
极坐标与参数方程题型及解题方法(学生版) - 极坐标与参数方程题型与方法归纳 1
极坐标与参数方程知识点总结大全.doc
极坐标与参数方程知识点总结大全 - 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P
极坐标与参数方程知识点总结与经典例题分析.doc
极坐标与参数方程知识点总结与经典例题分析 - 极坐标与参数方程 一、 知识总结 1、 极坐标 ★极坐标与直角坐标的转化 ? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ...
极坐标与参数方程知识点.doc
极坐标与参数方程知识点 - 参数方程和极坐标系 极坐标系 1、定义:在平面内取一
高中数学极坐标与参数方程知识点.doc
高中数学极坐标与参数方程知识点 - 极坐标与参数方程知识点 (一)曲线的参数方程
极坐标与参数方程基本知识点.doc
极坐标与参数方程基本知识点 - 极坐标与参数方程基本知识点 一、极坐标知识点 1
极坐标与参数方程知识点(一).doc
极坐标与参数方程知识点(一) - 极坐标与参数方程知识点(一) 1、极坐标与直角
极坐标与参数方程知识点总结大全.doc
极坐标与参数方程知识点总结大全 - 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P
参数方程和极坐标方程知识点归纳.doc
参数方程和极坐标方程知识点归纳 - 专题九:坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系
选修专题:极坐标与参数方程归纳教师版.doc
选修专题:极坐标与参数方程归纳教师版 - 选修专题:第二部分极坐标与参数方程 1
高考专题复习---极坐标与参数方程.doc
高考专题复习---极坐标与参数方程 - 高考专题复习---极坐标与参数方程 极坐标与参数方程知识点总结及例题归纳(一) 【知识汇编】 x ? x0 ? t cos ? 参数...
极坐标与参数方程知识点总结.doc
极坐标与参数方程知识点总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。极坐标与参数方程知识点和基本题型,以及历年高考例题汇编 极坐标与参数方程知识点总结题型一、参数...
高中数学重点:极坐标与参数方程全面详细系统复习总结.doc
高中数学重点:极坐标与参数方程全面详细系统复习总结 - 高中数学重点:极坐标与参数方程全面详细系统复习总结 (一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中,如果...
极坐标与参数方程知识点、题型总结.doc
极坐标与参数方程知识点、题型总结 - 极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、 ?
高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总.doc
高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总 - 高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总 【知识汇编】 x ? x0 ? t cos ? 参数方程:直线参数方程: ...
4-4极坐标及参数方程知识点及高考题汇编[1].doc
4-4极坐标参数方程知识点及高考题汇编[1] - 1. 极坐标参数方程知识点 1. 伸缩变换: 设点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换 ? :...
高考文科数学复习第一轮 极坐标与参数方程(学生版1).doc
高考文科数学复习第一轮 极坐标与参数方程(学生版1...【知识要点梳理】: 知识点一:极坐标 1.极坐标系...总结升华:应用数形结合,抓住对称点与已知点之间的极...