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河南省郑州市2013届高三第一次质量预测试卷(word版)数学理.com]


2013 年高三理科数学试题卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有 —项是符合题目要求的. 1. 若集合 A={0,1,2,x},B={ 1,X2} A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 2. 若复数 z=2-i,则 A. 2-I 3. 直线 等于 B. 2 + i 与曲线 C. 4 + 2i 相切于点 A(l, D. 6+3i =A,则满足条件的实数 x 的个数有 D. 4 个

3),则 2a+b 的值等于 A. 2 B. -1 C. 1 D. —2

4. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞 行训 练中,有 5 架歼-15 飞机准备着舰.如果甲、乙两 机必须相 邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么 不同的着舰方法 有 A. 12 B. 18 C. 24 D.48

5. 执行如图所示的程序框图,若输入 x==2,则输出 y 的值为 A. 5 B. 9 C. 14 D. 41 〉 ,则 该函数的大致图象是

6. 图中阴影部分的面积 S 是 h 的函数(

7. 已知双曲线 为 A. B. C.

!的离心率为

,则双曲线的渐近线方程

D.

8. 把 70 个面包分 5 份给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之 和的 1/6 是较小的两份之和,问最小的 1 份为.
-1-

A.2

B. 8

C. 14

D. 20 的

9. 在三棱锥 A—BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直, 面积分别为 A. B. ,则该三棱锥外接球的表面积为 C. D.

10. 设函数 象 恰好为函数 A. B . C.

,把 f(x)的图象按向量 a=(m,0)(m>0)平移后的图 的图象,则 m 的最小值为 D. 上有一条长为 6 的动弦 AB,则 AB 中点到 X 轴的最短距

11. 已知抛物线 离为 A. B.

C. 1

D. 2 ,对任意 , 恒成立,则

12. 设函数 实数 m 的取值范围是 A. D. B.

C.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知 |a-b|=_______ 14. —个几何体的三视图如图所示(单位:m)则该几何体 的体积为______m 3 . a=(l,2),b=(x,6),且 a//b,则

15. 若 x,y 满足条件

,当且仅当 x=y = 3 时,Z=ax-y 取最小值,

则实数 a 的取值范围是______. 16 已知 bn=n-8,则 ,数列 的最小值为_____. 的前 n 项和为 Sa,数列 的通项公式为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.

-2-

17. (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为Δ ABC 三个内角 A,B,C 的对边, ( I ) 求 B ; (II)若Δ ABC 的面积为 18. (本小题满分 12 分) 某高校组织自主招生考试,共有 2 000 名优秀学生参加笔试,成绩均介于 195 分到 275 分之间, 从中随机抽取 50 名同学的成绩进行统计, 将统计结果按如下方 式分成八组:第一组 [195,205),第二组[205,215),?,第八组[265,275].如图是 按上述分组方法得到的频率分 布直方图,且笔试成绩在 260 分(含 260 分)以上 的同学进入面试. (I )估计所有参加笔试的 2 000 名学生中, 参加 面试的学生人数; (II)面试时,每位考生抽取三个问题,若三 个问 题全答错,则不能取得该校的自主招生资 格;若三个 问题均回答正确且笔试成绩在 270 分以上,则获 A 类资格;其它情况下获 B 类资格.现已知某中学有三人获得面试资 格,且仅有一人笔试成绩为 270 分以上,在回答三个面试问题时,三人对每一 个 问题正确回答的概率均为 ,用随机变量 X 表示该中 学获得 B 类资格的人数,求 X 的分 布列及期望 EX. 19. (本小题满分 12 分) 如图, Δ ABC 是等腰直角三角形 , ,求 b 的取值范围.

D, E 分别为 AC,AB 的中点,沿 DE 将Δ ADE 折起,得 到如图 所示的四棱锥 (I)在棱 上找一点 F ,使 EF//平面


(II )当四棱锥 A'-BCDE 体积取最大值时,求平面 弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

与平面

夹角的佘

的左、右焦点分别为 F1,F2,点 A 在椭圆 C 上, ,过点 F2 且与坐标轴不垂

-3-

直的直线交椭圆于 P,Q 两点. ( I ) 求椭圆 C 的方程; ( I I ) 线段 OF2 上是否存在点 M(m,0),使得 实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 (I)求函数 f(x)的单调区间; ( I I ) 若数列 的通项公式 ,求证: 若存在,求出

22. 如图:AB 是

(本小题满分 10 分)选修 4 —1 :几何证明选讲 的直径,G 是 AB 延长线上的一点,GCD 是

的割线,过点 G 作 AG 的垂线,交直线 AC 于点 E,交直线 AD 于点 F,过点 G 作 的切线,切点为 H.

求证: (I)C,D,E,F 四点共圆; (II)若 GH=6,GE=4,求 EF 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 为参数) , 在极

坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 为极轴)中,直 线 l 的方程为 ( I ) 求曲线 C 在极坐标系中的方程; (II)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 ( I ) 当 a = l 时,求 (II)当 时, . 的解集; 恒成立,求实数 a 的取值范围.

-4-

2013 年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学 一、 选择题 BAABC DA 参考答案

BDCCD 二、

填空题 14. 6 ? ? ;
? 2 3? 15. ? ? , ? ; ? 3 5?

13. 2 5 ; 三、解答题

16. ? 4 .

17.解:⑴由正弦定理得 2sin B cos C ? 2sin A ? sin C ,――――2 分 在 ?ABC 中, sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? sin C cos B ,
?sin C (2cos B ?1) ? 0 ,又? 0 ? C ? ? ,sin C ? 0 ,

? cos B ?

⑵? S?ABC

1 ? ,注意到 0 ? B ? ? ,? B ? .―――――6 分 2 3 1 ? ac sin B ? 3,? ac ? 4 ,――――8 分 2

由余弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c2 ? ac ? ac ? 4 , 当且仅当 a ? c ? 2 时, “=”成立,
?b ? 2 为所求.

――――12 分

18.解:⑴设第 i(i ? 1, 2,?,8) 组的频率为 f i , 则由频率分布直方图知
f 7 ? 1 ? (0.004 ? 0.01 ? 0.01 ? 0.02 ? 0.02 ? 0.016 ? 0.008) ?10=0.12.

所以成绩在 260 分以上的同学的概率 p ?

f7 ? f8 ? 0.14 , 2

故这 2 000 名同学中,取得面试资格的约为 280 人. ――――-4 分 ⑵不妨设三位同学为甲、乙、丙,且甲的成绩在 270 分以上, 记事件 M , N , R 分别表示甲、乙、丙获得 B 类资格的事件,
1 1 3 1 7 则 P( M ) ? 1 ? ? ? , P( N ) ? P( R) ? 1 ? ? ,――――6 分 8 8 4 8 8 1 所以 P( X ? 0) ? P( M N R) ? , 256

-5-

17 , 256 91 , P( X ? 2) ? P( MN R ? M NR ? M NR) ? 256 147 , P( X ? 3) ? P( MNR) ? 256 P( X ? 1) ? P( M N R ? M N R ? M NR) ?

所以随机变量 X 的分布列为:

X

0
1 256

1
17 256

2
91 256

3
147 256

P


― ― ― ― 10

E ( X )? 0 ?

1 17 91 147 5 ? ? 1 ? ?2 ? ? 3 ? .――――12 分 256 256 256 256 2

19.解:⑴ F 为棱 A?B 的中点.证明如下: 取 A?C 的中点 G ,连结 DG, EF , GF ,则由中位线定理得
DE // BC, DE ? 1 1 BC ,且 GF // BC, GF ? BC. 2 2

所以 DE // GF , DE ? GF ,从而四边形 DEFG 是平行四边形, EF // DG. 又 EF ? 平面 A?CD , DG ? 平面 A?CD , 故 F 为棱 A?B 的中点时,
EF / / 平面A?CD .――――4 分

⑵在平面 A?CD 内作 A?H ? CD 于点 H ,
DE ? A?D ? ? DE ? CD ? ? DE ? 平面A?CD ? A?H ? DE , A?D ? CD ? D ? ?

又 DE ? CD ? D, ? A?H ? 底面 BCDE ,即 A?H 就是四棱锥 A? ? BCDE 的 高. 由 A?H ? AD 知,点 H 和 D 重合时, 四棱锥 A? ? BCDE 的体积取最大 值.――――8 分 分别以 DC, DE, DA? 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系如图,

-6-

则 A? ? 0, 0, a ? , B?a,2a,0? , E ?0, a,0? ,
???? ???? ? A?B ? ? a, 2a, ? a ? , A?E ? ? 0, a, ?a ? , ?? 设平面 A?BE 的法向量为 m ? ? x, y, z ? ,

?? ???? ? ?m ? A?B ? 0, ?ax ? 2ay ? az ? 0, ? x ? 2 y ? z ? 0, 由 ??? ???? 得? 即? ? ? y ? z, ? ?m ? A?E ? 0, ?ay ? az ? 0, ?? 所以,可取 m ? ? ?1,1,1? .同理可以求得平面 A?CD 的一个法向量
? n ? ? 0,1, 0 ? .

?? ? ?? ? m ? n ?1? 0 ? 1?1 ? 1? 0 3 ? cos m, n ? ?? ? ? ? , 3 3 ?1 m?n
故平面 A?CD 与平面 A?BE 夹角的余弦值为
3 . ――――12 分 3

3 20.解:⑴由题意 ?AF1 F2 ? 90? , cos ?F1 AF2 ? , 5 ???? ? ???? 3 ???? ? 5 ???? ???? ? 注意到 | F1 F2 |? 2 ,所以 | AF1 |? ,| AF2 |? , 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? 4 , 2 2

所以 a ? 2, c ? 1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , 即所求椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1 .――――4 分 4 3

⑵存在这样的点 M 符合题意.――――-5 分 设线段 PQ 的中点为 N , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), N ( x0 , y0 ) ,直线 PQ 的斜率为
k (k ? 0) ,

注意到 F2 (1, 0) ,则直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,
? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 消 y 得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 3 ? y ? k ( x ? 1), ?

由求根公式得: x1,2

8k 2 ? (8k 2 ) 2 ? 4(4k 2 ? 3)( ?12) ? , 2(4k 2 ? 3)

-7-

所以 x1 ? x2 ?

x1 ? x2 8k 2 4k 2 ,故 , x ? ? 0 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 3k ,? 2 ) .―――――8 分 2 4k ? 3 4k ? 3

又点 N 在直线 PQ 上,所以 N (

??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? ???? ? 由 QP ? MP ? PQ ? MQ 可得 PQ ? ( MQ ? MP) ? 2 PQ ? MN ? 0 ,

即 PQ ? MN ,所以 kMN

3k 4k 2 ? 3 ? ? 1 ,――――10 分 ? 4k 2 k m? 2 4k ? 3 0?

整理得 m ?

k2 1 1 ? ? (0, ) , 2 4k ? 3 4 ? 3 4 k2

1 所以在线段 OF2 上存在点 M (m,0) 符合题意,其中 m ? (0, ) .――――12 4

分 21. 解: ⑴由题意, 函数的定义域为 (?1,1) ? (1,??) , f ?( x) ? 1分 当 a ? 0 时,注意到
1 a ? 0, ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 , 1? x (1 ? x) 2 1 a , ――― ? 1 ? x (1 ? x) 2

即 函 数 f ( x) 的 增 区 间 为 (?1,1), (1,??) , 无 减 区 间; ―――2 分 当 a ? 0 时, f ?( x) ?
1 a x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? a ? ? , 1 ? x (1 ? x) 2 (1 ? x)(1 ? x) 2

由 f ?( x) ? 0 ,得 x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? a ? 0 , 此方程的两根 x1 ?
a ? 2 ? a 2 ? 8a a ? 2 ? a 2 ? 8a , x2 ? , 2 2

其中 ? 1 ? x1 ? 1 ? x2 ,注意到 (1 ? x)(1 ? x) 2 ? 0 , 所以 f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? x1或x ? x2 ,
f ?( x) ? 0 ? x1 ? x ? 1或1 ? x ? x2 ,
-8-

即函数 f ( x) 的增区间为 (?1, x1 ), ( x2 ,??) , 减区间为 ( x1 ,1), (1, x2 ) , 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的增区间为 (?1,1), (1,??) ,无减区间; 当 a ? 0 时 , 函 数 f ( x) 的 增 区 间 为 (?1, x1 ), ( x2 ,??) , 减 区 间 为
( x1 ,1), (1, x2 ) ,

其中 x1 ? 6分

a ? 2 ? a 2 ? 8a a ? 2 ? a 2 ? 8a , x2 ? . ―- 2 2

⑵证明:当 a ? 1 时,由⑴知,函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? 数,――7 分

x 在 (0,1) 上为减函 1? x

x x , ? f (0) ? 0 ,即 ln(1 ? x) ? 1? x 1? x 1 1 1 令x? , (m ? N ? ) ,则 ln(1 ? )? m m 2013 ? 2 ? 1 2013 ? 2 ? 1 2013 ? 2m 1 1 即 ln(1 ? )2013 ? m , m 2013 ? 2 ? 1 2

则当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ?

所以 am ? (1 ?

1 m )2013 ? e 2 ,―――10 分 m 2013 ? 2 ? 1
1 2 1 4 1 2m

1

又 am ? 0,? a1 ? a2 ??? am ? e ? e ??? e 22. 证明:⑴连接 DB ,

?e

1?

1 2m

? e ? 3 .――――12 分
A

? AB 是⊙ O 的直径,
??ADB ? 900 ,
D O

在Rt ?ABD与Rt ?AFG中,?ABD ? ?AFE ,

C F E

B G

H

又??ABD ? ?ACD ,
?ACD ? ?AFE ,
?C, D, E, F 四点共圆.――――5 分


C、D、F、E 四点共圆 ? GE ? GF ? GC ? GD ? 2 ? ? GH ? GE ? GF 2 GH 切 ? O于点H ? GH ? GC ? GD ?

又因为 GH ? 6, GE ? 4 ,所以 GF ? 9, EF ? GF ? GE ? 5 . 10 分
-9-

―――

23.解:⑴曲线 C 的普通方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 即 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,化为极坐标方程是 ? ? 4 cos? .――――5 分 ⑵?直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,
? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, 由? 得直线 l 与曲线 C 的交点坐标为 (2, 2), (4, 0) , ? x ? y ? 4,

所以弦长 OA ? 2 2 .――――10 分 24.解:⑴原不等式可化为 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 , 依题意,当 x ? 2 时, 3x ? 3 ? 3, 则 x ? 2, 无解,
1 1 ? x ? 2 时, x+1 ? 3, 则 x ? 2, 所以 ? x ? 2 , 2 2 1 1 当 x < 时, 3-3x ? 3, 则 x ? 0, 所以 0 ? x < , 2 2



综上所述:原不等式的解集为 ? 0, 2 ? . ⑵原不等式可化为 x ? 2a ? 3 ? 2 x ? 1 , 因为 x ? ?1, 2? ,所以 x ? 2a ? 4-2x , 即 2x ? 4 ? 2a ? x ? 4 ? 2x , 故 3x ? 4 ? 2a ? 4 ? x 对 x ? ?1, 2? 恒成立,

――――5 分

当 1 ? x ? 2 时, 3x ? 4 的最大值 2 , 4 ? x 的最小值为 2, 所以为 a 的取值范围为 1.――――10 分

- 10 -


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