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高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-3-4 平面与平面垂直的性质

一、选择题 1.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,在平面 AB1 上任取一点 M, 作 ME⊥AB 于 E,则( A.ME⊥平面 AC C.ME∥平面 AC [答案] A [解析] 由于平面 AB1⊥平面 AC,平面 AB1∩平面 AC=AB,ME ⊥AB,ME?平面 AB1,所以 ME⊥平面 AC. 2.在空间中,下列命题正确的是( ) ) B.ME?平面 AC D.以上都有可能 A.若三条直线两两相交,则这三条直线确定一个平面 B.若直线 m 与平面 α 内的一条直线平行,则 m∥α C.若平面 α⊥β,且 α∩β=l,则过 α 内一点 P 与 l 垂直的直线 垂直于平面 β D.若直线 a∥b,且直线 l⊥a,则 l⊥b [答案] D [解析] 选项 A 中,若有 3 个交点,则确定一个平面,若三条直 线交于一点,则不一定能确定一个平面,如正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1,AB,AD 两两相交,但由 AA1,AB,AD 不能确定一个平面, 所以 A 不正确;选项 B 中,缺少条件 m 是平面 α 外的一条直线,所 以 B 不正确;选项 C 中,不满足面面垂直的性质定理的条件,必须 是 α 内垂直于 l 的直线,所以 C 不正确;由于两条平行直线中的一条 与第三条直线垂直,那么另一条也与第三条直线垂直,所以 D 正确. 3.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行, 那么这两个平 面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂 直; ③垂直于同一条直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线 与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是( A.①和② C.③和④ [答案] D 4.在空间,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 [答案] D [解析] 当两平行直线都与投影面 α 垂直时,其在 α 内的平行投 影为两个点,当两平行直线所在平面与投影面 α 相交但不垂直时,其 在 α 内的平行投影可平行,故 A 错;在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 直线 AA1 与平面 BCC1B1 及平面 CDD1C1 都平行, 但平面 BCC1B1 与平 面 CDD1C1 相交,故 B 错;同样,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平 面 BCC1B1 及平面 CDD1C1 都与平面 ABCD 垂直,但此二平面相交, 故 C 错;由线面垂直的性质定理知 D 正确. 5.设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的 是( ) ) ) B.②和③ D.②和④ A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β B.若 l∥α,α∥β,则 l?β C.若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β [答案] C [解析] l⊥α,α⊥β?l∥β 或 l?β,A 错; l∥α,α∥β?l∥β 或 l?β,B 错; l⊥α,α∥β?l⊥β,C 正确; 若 l∥α,α⊥β,则 l 与 β 位置关系不确定,D 错. 6.如图所示,三棱锥 P-ABC 的底面在平面 α 内,且 AC⊥PC, 平面 PAC⊥平面 PBC,点 P,A,B 是定点,则动点 C 的轨迹是( ) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 [答案] D [解析] ∵平面 PAC⊥平面 PBC, AC⊥PC, 平面 PAC∩平面 PBC =PC,AC?平面 PAC,∴AC⊥平面 PBC. 又∵BC?平面 PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90° . ∴动点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆,除去 A 和 B 两点. 7.如图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1 ⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在( ) A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 内部 [答案] A [解析] ∵AC⊥AB,AC⊥BC1,∴AC⊥平面 ABC1, 又∵AC?平面 ABC,∴平面 ABC1⊥平面 ABC, ∴C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在平面 ABC1 与平面 ABC 的交线 AB 上,故选 A. 8.在正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC [答案] C ) [解析] ∵D、F 分别为 AB、CA 中点,∴DF∥BC. ∴BC∥平面 PDF,故 A 正确. 又∵P-ABC 为正四面体, ∴P 在底面 ABC 内的射影 O 在 AE 上. ∴PO⊥平面 ABC. ∴PO⊥DF. 又∵E 为 BC 中点,∴AE⊥BC, ∴AE⊥DF. 又∵PO∩AE=O,∴DF⊥平面 PAE,故 B 正确. 又∵PO?面 PAE,PO⊥平面 ABC, ∴面 PAE⊥面 ABC,故 D 正确. ∴四个结论中不成立的是 C. 二、填空题 9. 如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面是一直角梯形, AB∥CD, BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中点,则 BE 与平 面 PAD 的位置关系为________. [答案] 平行 1 [解析] 取 PD 的中点 F, 连接 EF, AF, 在△PCD 中, EF 綊2CD. 又∵AB∥CD 且 CD=2AB,∴EF 綊 AB, ∴四边形 ABEF 是平行四边形,∴EB∥AF. 又∵EB?平面 PAD,AF?平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD. 10.如图所示,平面 α⊥平面 β,A∈α,B∈β,AA′⊥A′B′, BB′⊥A′B′,且 AA′=3,BB

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