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2016_2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.1曲线与方程课件北师大版选修2_1_图文

§4 曲线与方程 4.1 曲线与方程

学课前预习学案

某森林公园修建连接东、西两座高山的索道,两 端挂起的缆线自然下垂近似成拋物线形.缆线两 端各离地面100 m,两端间的水平距离为400 m.现某人乘坐的空中客运缆车行走100 m处的 高度为70 m,那么,缆线的中点(即拋物线顶点) 最低处距地面的高度是多少呢?

[提示]

以缆线所在平面内地面上水平线为 x 轴,过
2

缆线中点的铅直线为 y 轴,建立直角坐标系,设缆线 中点高度为 h(m),设缆线所在的拋物线方程为 x = 2p(y-h)(-200≤x≤200). 因为点 A(200,100)、B(100,70)在拋物线上,代入方程
?2002=2p?100-h?, 得? 解方程组,得 h=60(m).故 2 ?100 =2p?70-h?,

缆线中点(即拋物线顶点)最低处高度为 60 m.

方程的曲线与曲线的方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种 二元方程 条件的点的集合或轨迹)上的点与一个___________ 的实数解建立了如下的关系: 曲线上点的坐标 都是这个方程的解; (1)__________________ 以这个方程的解为坐标 的点都在曲线上. (2)_______________________ 那么这条曲线叫作方程的曲线,这个方程叫作曲线 的方程.

[强化拓展] (1)定义中两个条件是轨迹的性质的体现.条件“ 曲线上点的坐标都是这个方程的解”,它的含义 是曲线上没有坐标不适合方程的点,也就是说曲 线上所有的点都适合这个条件而毫无例外,这通 常称之为轨迹的纯粹性;而条件“以这个方程的 解为坐标的点都在曲线上”,它的含义是符合条 件的点都在曲线上而毫无遗漏,这通常称之为轨 迹的完备性.二者缺一不可.

(2)如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x0,y0)在 曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0. (3)求曲线的方程的一般步骤 ①建系:建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示 曲线上任意一点M的坐标; ②分析:写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}; ③翻译:用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0; ④化简:化方程f(x,y)=0为最简形式; ⑤证明:说明以化简后的解为坐标的点都在曲线上.

1.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( A.y2=x 与 y= x B.y=lg x 与 y=2lg x y+1 C. =1 与 lg(y+1)=lg(x-2) x- 2 D.x2+y2=1 与|y|= 1-x2
2

)

解析: 考察每一组曲线方程中x和y的取值范围, 不难发现A、B、C中各对曲线的x与y的取值范围不 一致,故选D. 答案: D

2.方程x2+xy-x=0表示的曲线是( ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 解析: 方程化为x(x+y-1)=0,∴x=0或x+y- 1=0,故方程表示两条直线. 答案: C

3.到两个坐标轴距离相等的点所满足的方程是 ________. 解析: 设点的坐标为(x,y),则|y|=|x|. 答案: |y|=|x|

|MA| 4. 已知线段 AB, |AB|=2, 动点 M 满足 = 2, |MB| 建立适当的直角坐标系, 求动点 M 所满足的方程. 解析: 以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中点为坐

标原点建立直角坐标系. ∴A(-1,0),B(1,0),设 M(x,y), ?x+1?2+y2 |MA| ∵ =2,∴ 2 2=2. |MB| ?x-1? +y 10 整理得 x +y - x+1=0. 3
2 2

10 ∴动点 M 满足的方程为 x +y - x+1=0. 3
2 2

讲课堂互动讲义

曲线与方程的概念问题 下列命题正确的是( ) x A.方程 =1 表示斜率为 1,在 y 轴截距为 2 y-2 的直线;

B.△ABC三个顶点的坐标A(0,3),B(-2,0), C(2,0);BC边上的中线方程为x=0 C.到x轴距离等于5的点的轨迹方程是y=5 D.曲线2x2-3y2-2x+m=0过原点的充要条件 是m=0 [思路导引] 可从两个方面来判断,一方面以方程 的解为坐标的点是否都在曲线上,另一方面曲线 上点的坐标是否都是方程的解.

[边听边记] 在A的方程中要求y≠2,因此漏掉 (0,2);在B中BC边上的中线是线段x=0(0≤y≤3)而 不是直线x=0;在C中满足条件轨迹为y=5或y= -5;对于D,当曲线过原点时,一定有m=0, 若m=0,则方程一定过原点,故选D. 答案: D

[名师妙点] 解决这类问题,应该紧扣定义,如果曲 线上点的坐标都是方程的解,即“点不比解多”, 称为纯粹性;如果以这个方程的解为坐标的点都在 曲线上,即“解不比点多”称为完备性,只有点和 解一一对应,才能说曲线的方程,方程的曲线.

1. (1)如图所示的图形的方程与图中曲线的方程对应正确 的是( )

(2)判定 A(3, -4)和 B(4,5)两点是否在曲线 x2+y2=25 上. (3)已知方程 x2+y2=5 表示的曲线 F 经过点 A( 2,m), 求 m 的值.

解析: (1) 序号 结论 理由 因为 x2+y2=1 表示以原点为圆心, 不 A 正 确 半径为 1 的圆,以方程 x2+y2=1 的解为坐标的点不都是曲线上的
? ? 点,如 ? ?

2 2? ? 2 2 ,- ?适合方程 x + y 2 2?

=1,但不在所给的曲线上.

B

不 正 理由同上,如点 (- 1,1)适合 x2- y2= 确 0,但不在所给曲线上. 因为曲线上的点的坐标不都是方程lg 不 正 x + lg y= 1 的解,如 ( - 1,- 1) 在所 确 给的曲线上,但不适合方程 lg x+ lg y=1

C

D

正确 符合上述两种情况

(2)将 A 点的坐标代入所给的方程,得 32+(-4)2=25, 等式成立. 即 A 点的坐标满足所给方程,所以点 A(3,-4)在曲线 x2+y2=25 上; 将 B 点坐标代入所给方程,得 4 +5 ≠25 等式不成立. 即 B 点的坐标不满足所给方程,所以点 B(4,5)不在曲线 x2+y2=25 上. (3)因为 A( 2,m)在曲线 x2+y2=5 上,所以有( 2)2+m2 =5,则 m=± 3.
2 2

答案:

(1)D

求曲线方程 设圆 C:(x-1) +y =1,过原点 O 作圆的任 意弦,求所作弦的中点的轨迹方程.
2 2

[思路导引] 本题可用直接法,也可用定义法、坐 标转移法、参数法求解.

解析:

方法一(直接法):
?1 ? ? ? M?2,0?, ? ?

设 OQ 为过 O 的一条弦,P(x,y)为其中点, 则 CP⊥OQ,设 OC 中点为

? 1? 1 1 1 ? ?2 2 则|MP|= |OC|= ,得方程?x-2? +y = , 2 2 4 ? ?

由圆的范围知 0<x≤1.

方法二(定义法): ∵∠OPC=90° , ∴动点 P 在以
?1 ? ? ? M?2,0?为圆心, OC ? ?

为直径的圆上,

? 1? 1 ? ?2 2 用圆的方程得解:?x-2? +y = .(0<x≤1) 4 ? ?

方法三(代入法、坐标转移法或相关点法):
? ? x = x 1, ? 2 设 Q(x1,y1),则? y1 ? y= , ? 2 ? ?x1=2x, ?? ?y1=2y.

又∵(x1-1)

2

2 +y1=1,

∴(2x-1)2+(2y)2=1(0<x≤1).

方法四(参数法): 设动弦 OQ 所在直线方程为 y=kx,Q(x1,y1), 又 Q 在圆 C 上,∴(x1-1)2+k2x2 1=1 即(1+k
2

x1 2 )x1-2x1=0.∴x= = 2
? 1? 1 ? ?2 2 得?x-2? +y = . 4 ? ?

1 2,又 y=kx, 1+ k

消去参数 k

? 1? 1 ? ?2 2 故所求轨迹方程为?x-2? +y = (0<x≤1). 4 ? ?

[名师妙点] 求曲线轨迹方程的常用方法: (1)直接法:如果题目中的条件有明显的等量关系 或者可以推出某个等量关系,即可用求曲线方程 的五个步骤直接求解. (2)定义法:如果动点的轨迹满足某种已知曲线的 定义,则可依定义写出轨迹方程. (3)代入法:如果动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1 ,y1),而Q(x1,y1)又在某已知曲线上,则可先列 出关于x,y,x1,y1的方程组,利用x,y表示x1, y1,把x1,y1代入已知曲线方程即得所求.

(4)参数法:如果动点P(x,y)的坐标之间的关系不 易找到,可考虑将x,y用一个或几个参数来表示, 消去参数即得其轨迹方程. (5)交轨法:写出动点所满足的两个轨迹方程后, 组成方程组消参即可得解,此法常适用于求两动 直线交点的轨迹方程.

2.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1 交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M 的轨迹方程. 解析: 方法一:设点M的坐标为(x,y), 因为M为线段AB的中点, 所以A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y). 当x≠1时,因为l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4), 所以kPA·kPB=-1.

4- 0 4- 2y 而 kPA= (x≠1),kPB= , 2-2x 2- 0 2 2- y 所以 · =-1(x≠1). 1- x 1 整理,得 x+2y-5=0(x≠1). 当 x=1 时,A,B 的坐标分别为(2,0),(0,4), 所以线段 AB 的中点坐标是(1,2), 它满足方程 x+2y-5=0. 综上所述,点 M 的轨迹方程是 x+2y-5=0.

方法二:设 M 的坐标为(x,y), 则 A, B 两点的坐标分别是(2x,0), (0,2y), 连接 PM. 因为 l1⊥l2,所以 2|PM|=|AB|. 而|PM|= ?x-2?2+?y-4?2,|AB|= ?2x?2+?2y?2, 所以 2 ?x-2?2+?y-4?2= 4x2+4y2, 化简,得 x+2y-5=0,即为所求轨迹方程.

方法三:连接 PM,OM. 因为 l1⊥l2,OA⊥OB. 所以 O,A,P,B 四点共圆,且该圆的圆心为 M, 所以|MP|=|MO|. 所以点 M 的轨迹为线段 OP 的中垂线. 4- 0 因为 kOP= =2,OP 的中点坐标为(1,2). 2- 0 1 所以点 M 的轨迹方程是 y-2=- (x-1), 2 即 x+2y-5=0.

在边长为 1 的正方形 ABCD 中,边 AB,BC 上分别有一个动点 Q,R,且|BQ|=|CR|.求直线 AR 与 DQ 的交点 P 的轨迹方程.

[思路导引] → 引入参数t →

建立适当的坐标系,设P?x,y?

用参数表示直线AR与DQ的方程 → 解方程组,用参数t表示x,y → 消去参数t得x,y满足的方程

3.过点 M(0,1)的直线 l 交曲线 4x2+y2=4 于 A,B → 1 → 两点, O 是坐标原点, l 上的动点 P 满足OP= (OA 2 → +OB). 当 l 绕点 M 旋转时, 求动点 P 的轨迹方程.

解析: 当直线 l 斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=kx+1,
?y=kx+1, 由? 2 2 消去 y 并化简,得 (4+k2)x2+ ?4 x + y = 4 ,

2kx-3=0. 设直线 l 与曲线的交点 A(x1,y1),B(x2,y2).设 动点 P(x,y), 2k 则 x1+x2=- 2, 4+ k 8 ∴y1+y2= 2. 4+ k

?x +x y1+y2? 1 → → → 2 ? 1 ? ∵ OP = ( OA + OB ) = ? , ? = 2 2 2 ? ? ? k 4 ? ? ? - , 2 2?. ? 4 + k 4 + k ? ?

? ?x=- k 2, 4+ k ? ∴? 4 ? y= 2 ? 4 + k ?



消去参数 k,得 4x2+y2-y=0. 当 k 不存在时,线段 AB 的中点为原点(0,0),也满 足上述方程. 所以点 P 的轨迹方程是 4x2+y2-y=0.

◎过原点作直线l与曲线y=x2-4x+6交于A、B两 点,求线段AB中点M的轨迹方程.

【错解】

设直线 l 的方程为 y=kx,

把它代入曲线方程 y=x2-4x+6 中, 得 x2-(4+k)x+6=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y), 由根与系数的关系知 x1+x2=4+k, x1+x2 4+k ∴ x= = ,y=kx,消去 k, 2 2 得 y=2x2-4x,故所求的轨迹方程为 y=2x2-4x.

【错因】 这位同学在解题过程中犯的错误是忽视 了变量的取值范围,求轨迹方程时,一定要清除 “多余”,弥补“遗漏”,以保证相应轨迹的纯粹 性与完备性.

【正解】

设直线 l 的方程为 y=kx,把它代入曲线

方程 y=x2-4x+6 中,得 x2-(4+k)x+6=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y), 由根与系数的关系知 x1+x2=4+k, x1+x2 4+k ∴x= = ,y=kx, 2 2 消去 k,得 y=2x2-4x, 又由于直线与曲线有两个交点,

所以 Δ=(4+k)2-24>0, 解得 k<-4-2 6或 k>- 4+ 2 6 4+ k 由 x= ,得 x<- 6或 x> 6. 2 从而可得,线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是 y=2x2 -4x(x<- 6或 x> 6).