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高二数学上学期期中试题新人教A版


河北省唐山市丰南区第一中学 高二上学期期中考试数学试题
参考公式: 锥体体积公式 柱体体积公式

1 V ? Sh 3
V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 其中 S 为底面面积, h 为高
2

球的表面积,体积公式 S ? 4? R

4 V ? ? R3 3
第Ⅰ卷

其中 R 为球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每个小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的 1.直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 与直线 x ? (a ?1) y ? (a2 ?1) ? 0 平行但不重合,则 a 等于 A.-1 或 2 B.-1 C.2 D.

2 3

2.下列命题正确的是( ) A.一条直线与一个平面平行,它就和这个平面内的任意一条直线平行 B.平行于同一个平面的两条直线平行 C.与两个相交平面的交线平行的直线,必平行于这两个平面 D.平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线也与此平面平行 3.两圆 x2 ? y 2 ? 9 和 x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 9 ? 0 的位置关系是( A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 )

4.如果直线 l ⊥平面?,①若直线 m ⊥ l ,则 m ∥?;②若 m ⊥?,则 m ∥ l ;③若 m ∥?,则 ) m ⊥ l ;④若 m ∥ l ,则 m ⊥?,上述判断正确的是( A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 5 某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )

A.4 3

B.8 3

C. 12 3

D.24 3

6. 入射光线沿直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 射向直线 l: y ? x 被直线反射后的光线所在的方程是 ( ) A. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. x ? 2 y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D . 2x ? y ? 3 ? 0 7. 已知点 P( x, y) 在圆 x ? y ? 2 y ? 0 上运动, 则
2 2

y ?1 的最大值与最小值分别为 ( x?2



A. 3, ? 3

B.

3 3 ,? 3 3

C.1,-1

D. 3, ?
D1

3 3
C1

8. 右图的正方体中,M、N 是棱 BC、CD 的中点, m] 则异面直线 AD1 与 MN 所成的角为( A. 30 C.60 B. 45 D. 90
A

)度

A1

B1

D

N C M B

9. 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? 3 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? 3 ? 0 都经过点

A (2, ?1) ,则同时经过点 ( D1 , E1 ) 和点 ( D2 , E2 ) 的直线方程为 (
A. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0



D . 2x ? y ? 2 ? 0

SA ? 面 ABC , AB ? BC 且 AB ? SA ? 1 , 10. 已知 S , A, B, C 是球 O 上的点, BC ? 2 ,
则球 O 的表面积( ) ? A. B. 2 ? C. 3 ? D.4 ?

11. 若圆上恰好存在两个点 P, Q ,他们到直线 l : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 的距离为 1,则称该圆为 “完美型”圆。下列圆中是“完美型”圆的是(
2 2 A. x ? y ? 1 2 2 B. x ? y ? 16



2 2 2 2 C. ( x ? 4) ? ( y ? 4) ? 4 D. ( x ? 4) ? ( y ? 4) ? 16

AB 上 存 在 一 点 P , 使 得 12. 在 长 方 体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1中 , A 1 A ? AB? 2 , 若 棱

D1P ? PC ,则棱 AD 的长的取值范围是(
A . [1, 2] B. (0,1] C. (0, 2)

) D. (1, 2]

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请把答案填在答题卡上。 13. 已知 A(2, 3), B(5, 2 3) ,直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的两倍,则直线 l 的斜率 为_____________。
2 2 14. 动点在圆 x ? y ? 1上运动,它与定点 B (?2, 0) 连线的中点的轨迹方程是

15.棱长为 3 ,各面都为等边三角形的正四面体内任取一点 P ,由点 P 向各面引垂线,垂线 段长度分别为 d1 , d2 , d3 , d4 ,则 d1 ? d2 ? d3 ? d4 的值为 。

16.已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 与直线 l : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 交于 A, B 两点,若圆 C2 的圆心在线段

AB 上 , 且 圆 C2 与 圆 C1 相 切 , 切 点 在 圆 C1 的 劣 弧 AB 上 , 则 圆 C2 的 最 大 面 积 为
为 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 10 分) 已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的中 (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长。

18. (本小题满分 12 分) 理科做三问,文科做(Ⅰ) (Ⅲ) 如图,正三棱锥 S—ABC 中,底面的边长是 3,棱锥的侧面 积等于底面积的 2 倍,M 是 BC 的中点.求: (Ⅰ)

AM 的值; SM

(Ⅱ)二面角 S—BC—A 的大小; (Ⅲ)正三棱锥 S—ABC 的体积。网]

19. (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证 AC⊥BC1; (Ⅱ)求证 AC1//平面 CDB1; (Ⅲ)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值. 20.( 本小题满分 12 分 ) 已知矩形 ABCD 的对角线交于点

P(2, 0) ,边 AB 所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 (?1,1) 在边 AD 所在的直线上,
(1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程; (2)已知直线 l : (1 ? 2k ) x ? (1 ? k ) y ? 5 ? 4k ? 0(k ? R) ,求证:直线 l 与矩形 ABCD 的 外接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线 l 的方程.

21.(本小题满分 12 分)如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°.点 E、F 分别在边 CD、CB 上,点 E 与点 C、D 不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O.沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置,

使平面 PEF⊥平面 ABFED. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 POA; (Ⅱ)记三棱锥 P- ABD 体积为 V1,四棱锥 P—BDEF 体积为 V2.求当 PB 取得最小值时的

V1 : V2 值.

22. (本小题满分 12 分) 已知圆 O:x +y =4 和点 M(1,a). (1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值,并求出切线方程; (2)若 a= 2,过点 M 的圆的两条弦 AC、BD 互相垂直,求 AC+BD 的最大值.

2

2

2012—2013 学年度第一学期高二年级期中考试 数学试卷答案 选择题:1--12:BDABA,CBCAD,DB 填空题:13. 3
2 2 14. ( x ? 1) ? y ?

1 4

15.

6

16. ?

17 .解: (1)直线 AB 的斜率为 k ?

?1 ? 5 ?6 ? ? 6 ………….2 分 ?2 ? (?1) ?1

直线 AB 的方程为 y ? 5 ? 6( x ? 1) 即 6 x ? y ? 11 ? 0 …………..5 分 (2)设 M 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则由中点坐标公式得

x0 ?

?2 ? 4 ?1 ? 3 ? 1, y0 ? ? 1, 故 M (1,1) ………………………8 分 2 2

AM ? (1 ? 1)2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5 ……………………………….10 分
18.解:文科每一问 6 分 理科(Ⅰ)∵SB=SC,AB=AC,M 为 BC 中点, ∴SM⊥BC,AM⊥BC. 由棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍,即

1 1 AM 3 3 ? BC ? SM ? 2 ? BC ? AM , 得 ? . 2 2 SM 2
…………………………………4 分 (Ⅱ)作正三棱锥的高 SG,则 G 为正三角形 ABC 的 中心,G 在 AM 上, GM ?

1 AM . 3

∵SM⊥BC,AM⊥BC, ∴∠SMA 是二面角 S—BC—A 的平面角. ………………………………6 分 在 Rt△SGM 中, ∵ SM ?

2 2 AM ? ? 3GM ? 2GM , 3 3

∴∠SMA=∠SMG=60° 即二面角 S—BC—A 的大小为 60°。………………………………8 分 (Ⅲ)∵△ABC 的边长是 3, ∴ AM ?

3 3 3 3 3 , GM ? , SG ? GM tan 60 ? ? 3? , 2 2 2 2 1 1 9 3 3 9 3 S ?ABC ? SG ? ? ? ? . ………………………………12 分 3 3 4 2 8

∴ VS ? ABC ?

19.(Ⅰ)∵直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC ∴CC1⊥AC ∵AC=3,BC=4,AB=5,∴ BC⊥AC, 又 ∵ CC1∩BC=C ∴AC⊥平面 C1CB B1 ∴AC⊥BC1………………………….3 分 (Ⅱ)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, ∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∴DE//AC1, ∵DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1, ∴AC1//平面 CDB1……………………………..7 分 (Ⅲ)∵DE//AC1,∴∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角,…………………………………..9 分 在△CED 中,ED ?

1 5 1 5 1 AC 1 = , CD ? AB ? , CE ? CB1 ? 2 2 , 2 2 2 2 2

? cosCED ?

8 2?2 2 ? 5 2

?

2 2 . 5

∴异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为

2 2 . ……………………………12 分 5

20.解: (1)由 l AB : x ? 3 y ? 6 ? 0 且 AD ? AB ,点 (?1,1) 在边 AD 所在的直线上

? AD 所在直线的方程是: y ? 1 ? ?3( x ? 1) 即 3x ? y ? 2 ? 0


………2 分

? x ? 3y ? 6 ? 0 ? ?3x ? y ? 2 ? 0



A(0, ?2)







4



? AP ? 4 ? 4 ? 2 2 ? 矩形 ABCD 的外接圆的方程是: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 ………6 分
(2)直线 l 的方程可化为: k (?2 x ? y ? 4) ? x ? y ? 5 ? 0

l 可看作是过直线 ?2 x ? y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 5 ? 0 的交点 (3, 2) 的直线系 , 即 l 恒过定点
Q(3, 2) 由 (3 ? 2)2 ? 22 ? 5 ? 8 知点 Q 在圆 P 内,所以 l 与圆 P 恒相交,………9 分
设 l 与圆 P 的交点为 M , N , MN ? 2 8 ? d (d 为 P 到 l 的距离)
2

设 PQ 与 l 的夹角为 ? ,则 d ? PQ ? sin ? ? 5 sin ? 当 ? ? 900 时, d 最大, MN 最短 此时 l 的斜率为 ?

1 1 , l 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 3) 2 2

即 l : x ? 2 y ? 7 ? 0 …………….12 分 21.(Ⅰ)证明:在菱形 ABCD 中,∵ ∵
EF ? AC ,∴ PO ? EF , BD ? AC ,∴ BD ? AO .1 分

∵ 平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF 平面 ABFED ? EF ,且 PO ? 平面 PEF , ∴ PO ? 平面 ABFED , 2分 ∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PO ? BD . 3分 ∵ AO PO ? O ,所以 BD ? 平面 POA . 4分 (Ⅱ)连结 OB ,设 AO BD ? H . 由(Ⅰ)知, AC ? BD .∵ ?DAB ? 60? , BC ? 4 , ∴

BH ? 2 , CH ? 2 3 .

5分

设 OH ? x ( 0 ? x ? 2 3 ) . 由(Ⅰ)知, PO ? 平面 ABFED ,故 ?POB 为直角三角形. ∴ ∴

PB2 ? OB2 ? PO2 ? (BH 2 ? OH 2 ) ? PO2 ,
PB2 ? 4 ? x2 ? (2 3 ? x)2 ? 2x2 ? 4 3x ? 16 ? 2( x ? 3)2 ? 10

7分

当 x ? 3 时, PB 取得最小值,此时 O 为 CH 中点. ∴ ∴ ∴
1 S?CEF ? S?BCD , 4 3 3 S梯形BFED ? S?BCD ? S?ABD , 4 4 1 1 V1 ? S?ABD ? PO , V2 ? S梯形BFED ? PO .∴ 3 3

8分

10 分
V1 S 4 ? ?ABD ? . V2 S梯形BFED 3

∴ 当 PB 取得最小值时, V1 : V2 的值为 4 : 3 . ………………………12 分 22.解:(1)由条件知点 M 在圆 O 上, 所以 1+a =4,则 a=± 3. ……………………….2 分 当 a= 3时,点 M 为(1, 3),kOM= 3,k 切=- 此时切线方程为 y- 3=- 3 , 3
2

3 (x-1).即 x+ 3y-4=0, 3 3 , 3

当 a=- 3时,点 M 为(1,- 3),kOM=- 3,k 切= 此时切线方程为 y+ 3=

3 (x-1).…………………………….4 分 3

即 x- 3y-4=0.所以所求的切线方程为 x+ 3y-4=0 或 x- 3y-4=0. ….5 分 (2)设 O 到直线 AC、BD 的距离分别为 d1,d2(d1,d2≥0), 则 d1 +d2 =OM =3……………………………….6 分 于是 AC=2 4-d1 ,BD=2 4-d2 . 所以 AC+BD=2 4-d1 +2 4-d2 . 则(AC+BD) =4(4-d1 +4-d2 +2 4-d1 =4(5+2 16-4 d1 +d2 =4(5+2 4+d1 d2 ). 因为 2d1d2≤d1 +d2 =3, 9 3 2 2 所以 d1 d2 ≤ ,当且仅当 d1=d2= 时取等号.……………………..10 分 4 2 5 2 2 所以 4+d1 d2 ≤ . 2 5 2 所以(AC+BD) ≤4×(5+2× )=40. 2 所以 AC+BD≤2 10, 即 AC+BD 的最大值为 2 10………………………………………12 分
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4-d2 )

2

+d1 d2 )

2

2


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