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1.1《正弦定理和余弦定理》试题(新人教必修5).


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1.1 正弦定理和余弦定理测试题 正弦定理和余弦定理测试题
第 1 题. 直角 △ ABC 的斜边 AB = 2, 内切圆半径为 r ,则 r 的最大值是( A. 2 答案:D 第 2 题. 在 △ ABC 中,若 sin B sin C = cos A.等边三角形 C.直角三角形 答案:B B.1 C. )

2 2

D. 2 ? 1

2

A , △ ABC 是( 则 2



B.等腰三角形 D. 等腰直角三角形

第 3 题. 在 △ ABC 中,若 ∠A = 120 ,AB = 5,BC = 7 ,
o

则 △ ABC 的面积 S = 答案:



15 3 4

第 4 题. 在已知 △ ABC 的两边 a,b 及角 A 解三角形时,解的情况有下面六种: A. a < b sin A ,无解 B. a = b sin A ,一解 C. b sin A < a < b ,两解 D. a ≥ b ,一解 F. a > b ,一解 E. a ≤ b ,无解 每种情况相对应的图形分别为(在图形下面填上相应字母) :

答案:C D A B E F 第 5 题. 正弦定理适用的范围是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.任意三角形

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高考资源网——提供高考试题、高考模拟题,发布高考信息题 本站投稿专用信箱:ks5u@163.com,来信请注明投稿,一经采纳,待遇从优 答案:D 第 6 题. 在 △ ABC 中,若此三角形有一解,则 a,b,A 满足的条件为_________. 答案: a = b sin A 或 b < a . 第 7 题. 在 △ ABC 中,已知 b = 3 , c = 3 3 , ∠B = 30 ,则 a = ________.
o

答案: 3 或 6 第 8 题. 如图,已知 △ ABC 中, AD 为 ∠BAC 的平分线,利用正弦定理证明 A

AB BD = . AC DC

θ θ

B

α
D

π ?θ
C

AB BD ? = ? sin α sin θ AB BD ? 答案:证明:由正弦定理得 . = ?? AC DC AC DC ? = sin ( π ? α ) sin θ ? ?

第 9 题. 在 △ ABC 中,已知 sin A + sin B = sin C ,求证: △ ABC 为直角三角形.
2 2 2

答案:证明:设

a b c = = = k ( k > 0) , sin A sin B sin C a b c 则 sin A = , sin B = , sin C = . k k k
2 2 2

代入 sin A + sin B = sin C , 得到

a2 b2 c2 + = , k2 k2 k2

∴ a2 + b2 = c2 . ∴△ ABC 为直角三角形.

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o o

答案:解:依题设得 C = 75 .
o

若 a = m ,由正弦定理,得

b=

a sin C m sin 45o 6 = = m, o sin A sin 60 3 a sin C m sin 75o 3 2 + 6 = = m. sin A sin 60o 6 6m 3 +1 ,c = m, 2 2 3 2? 6 m ,b = 2

c=

若 b = m ,同理可得 a =

若 c = m ,同理可得 a =

(

3 ?1 m .

)

第 11 题. 利用余弦定理说明 △ ABC 的内角 C 为锐角、直角、钝角的充要条件分别为

a 2 + b2 > c 2 、 a 2 + b2 = c 2 、 a 2 + b2 < c 2 .
答案: △ ABC 中, C 为锐角 ? cos C > 0 ? 在 ∠ 为锐角的充要条件为 a + b > c .
2 2 2

a 2 + b2 ? c2 > 0 ? a 2 + b 2 > c 2 , ∠C 故 2ab

同理可说明 ∠C 为直角、钝角的充要条件分别为 a + b = c , a + b < c .
2 2 2 2 2 2

第 12 题. 证明:设三角形的外接圆的半径是 R ,则 a = 2 R sin A , b = 2 R sin B , c = 2 R sin C . 答案: 证明: 如图1, △ ABC 的外接圆的半径是R, △ ABC 是直角三角形,∠C = 90 设 当 时, ABC 的外接圆的圆心 O 在 Rt△ ABC 的斜边 AB 上. Rt△ ABC 中, △ 在

o

BC = sin A , AB

AC = sin B , AB a b 即 = sin A , = sin B . 2R 2R 所以 a = 2 R sin A , b = 2 R sin B .
又 c = 2 R = 2 R sin 90 = 2 R sin C .
o

B



a
b

当 △ ABC 是锐角三角形时,它的外接圆的
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A

C
图1

高考资源网——提供高考试题、高考模拟题,发布高考信息题 本站投稿专用信箱:ks5u@163.com,来信请注明投稿,一经采纳,待遇从优 圆心 O 在三角形内(图2) ,作过 O , B 的直径

A , B ,联结 A1C ,则 △ A1 BC 是直角三角形, ∠A1CB = 90o , ∠BAC = ∠BA1C .
在 Rt△ A1 BC 中,

BC a = sin ∠BA1C ,即 = sin ∠BA1C = sin A . A1 B 2R

所以, a = 2 R sin A . 同理, b = 2 R sin B , c = 2 R sin C . 当 △ ABC 是钝角三角形时,不妨设 ∠A 为钝角,它的外接圆的圆心 O 在 △ ABC 外(图 3) .作过 O , B 的直径 A1 B ,联结 A1C .则 △ A1CB 是直角三角形, ∠A1CB = 90 ,
o

∠BA1C = 180o ? ∠BAC .
o 在 Rt△ A1 BC 中, BC = 2 R sin ∠BA1C ,即 a = 2 R sin 180 ? ∠BAC ,

(

)

即 a = 2 R sin A .类似可证, b = 2 R sin B , c = 2 R sin C . 如果它的外接圆半径等于 R , a = 2 R sin A , = 2 R sin B , 则 b 综上, 对任意三角形 △ ABC , c = 2 R sin C .

A A1 B O B
图2

A

C O A1

C
图3

第 13 题. 若 2, x 为三边组成一个锐角三角形,求 x 的范围. 3,

?cos A > 0, ? 答案:解:Q△ ABC 为锐角三角形,∴ ?cos B > 0, 1 < x < 5 , 且 ?cos C > 0 ?
?2 2 + 32 ? x 2 > 0, ? x 2 < 13, ? 2 2 2 ?3 + x ? 2 > 0, ? 2 即? ∴ ? x > 5, x 2 + 2 2 ? 32 > 0, ? ? 1 < x < 5. ? ?1 < x < 5. ?
∴ 5 < x < 13 .

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sin A a >1? >1? a > b ? A > B . sin B b

第 15 题. 在 △ ABC 中, A 最大,C 最小,且 A = 2C , a + c = 2b ,求此三角形三边之比. 答案:解:由正弦定理得

a sin A sin 2C a = = = 2 cos C ,即 cos C = ,由余弦定理得 c sin C sin C 2c
2

a 2 + b 2 ? c 2 ( a + c )( a ? c ) + b cos C = = . 2ab 2ab
Q a + c = 2b ,∴ cos C =

2b ( a ? c ) + b 2ab

a+c a+c 2 (a ? c) + 2 = 2 . 2a

a+c a 2 ,整理得 2a 2 ? 5ac + 3c 2 = 0 ,解得 a = c 或 a = 3 c . ∴ = 2c 2a 2 Q A = 2C ,∴ a = c 不成立. 3 c+c a+c 2 5 ∴b = = = c. 2 2 4 3 5 ∴ a∶b∶c = c∶ c∶c = 6∶∶4 . 5 2 4 故此三角形三边之比为 6 5 4 . ∶∶ 2(a ? c) +

) 第 16 题. 在 △ ABC 中, b cos A = a cos B ,则三角形为( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 答案:C

D.等边三角形

第 17 题. 在 △ ABC 中, cos A cos B > sin A sin B ,则 △ ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形 答案:C

第 18 题. 在 △ ABC 中,已知 B = 30 , b = 50 3 , c = 150 ,那么这个三角形是(
o



A.等边三角形 C.等腰三角形 答案:D

B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

2sin 5sin 若 第 19 题. 在 △ AOB 中,OA = ( 2 cos α, α ) ,OB = ( 5 cos β, β ) , OA OB = 5 ,

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

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A. 3 答案:D

B.

3 2

C. 5 3

D.

5 3 2

第 20 题. ⑴已知 △ ABC 中, a = 10 , b = 8 , A = 70° ,求 B ; ⑵已知 △ ABC 中, a = 50 , b = 25 6 , A = 45° ,求 B . 答案:⑴

a b b sin A 8 × sin 70° = , sin B = = ≈ 0.752 , sin A sin B a 10

查表得 B1 ≈ 48.8° 或 B2 ≈ 131.2° , 由于 B2 + A = 131.2° + 70° > 180° ,因此 B2 应舍去,

∴ B ≈ 48.8° .


a b b sin A 25 6 2 3 = , sin B = = × = , sin A sin B a 50 2 2

B1 = 60° 或 B2 = 120° , 由 于 A + B1 < 180° , A + B2 < 180° , 因 此 所 求 B1 = 60° 或 B2 = 120° .
第 21 题. 已知 △ ABC 中, ∠A = 60° , ∠B = 45° ,且三角形一边的长为 m ,解这个三角 形. 答案:依题意,有 ∠C = 75° , 若 a = m ,由

a b c = = ,得 sin A sin B sin C

b=

a sin 45° 6 6 = a= m, sin 60° 3 3 a sin C m sin 75° 3 2 + 6 m; = = sin A sin 60° 6
6 3 +1 m,c = m; 2 2

c=

若 b = m ,同理可得 a =

若 c = m ,则有 a =

3 2? 6 m , b = ( 3 ? 1)m . 2

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