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高二数学专题测试(椭圆与双曲线)


高二数学专题测试(椭圆与双曲线)
班级 一、选择题(每小题 5 分) 姓名 成绩 )

9 1.设定点 F1(0,-3) 、F2(0,3) ,动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ? (a ? 0) ,则点 P 的轨迹是( a A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段

2.椭圆

x2 y2 x2 y2 和 ? ? 1 ? ? k ?k ? 0? 具有 a2 b2 a2 b2 A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点
x y ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 16 4
2 2

( D.相同的长、短轴 ( D. 10



3.椭圆



A.3

B. 11

C. 2 2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1?m ? n ? 0?和双曲线 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 有相同的焦点 F1,F2 , P 是两曲线 4、若椭圆 m n a b
的一个交点,则 PF 1 ? PF 2 的值是 A、 m ? a B、 ( C、 m ? a
2 2



1 ?m ? a ? 2

D、 m ? a

5、设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三 角形,则椭圆的离心率是 ( )

2 ?1 (B) 2 (C) 2 ? 2 (D) 2 ? 1 2? x2 y2 , ?F1 PF2 ? ? 1 的两个焦点,P是椭圆上的点,当 ?F1 PF2 ? 6、已知 F1 (?3,0), F2 (3,0) 是椭圆 3 m n 2 (A) 2
的面积最大,则有 ( )

A m ? 12, n ? 3

B m ? 24, n ? 6

C m ? 12, n ? 6

3 D m ? 6, n ? 2

二、填空题(每小题 5 分) 7、若方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则实数 k 的取值范围是 k ?5 3? k

. .

8、过点 P(3, 0) 且长轴长是短轴长的三倍的椭圆的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1 有两个不同的交点,则 m 的取值范围是 9、直线 y ? x ? m 与椭圆 3 2
10、求与双曲线

.

x2 y 2 ? ? 1 共焦点,且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程是 16 4

.

11、已知定圆 F1:x2+y2+10x+24=0,定圆 F2:x2+y2-10x+9=0,动圆 M 与定圆 F1,F2 都外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程是 . 12、已知双曲线 x - AB 的斜率为___
2

y2 =1,过 P(2,1)点作一直线交双曲线于 A、B 两点,并使 P 为 AB 的中点,则直线 3
___.
1

? x2 13、 F1 , F2 是椭圆 ? y 2 ? 1的两个焦点,过 F2 作倾斜角为 的弦 AB,则 ?F1 AB 的面积为 4 2
三、解答题
2 2 14. (10 分)椭圆 x ? y ? 1 ?a > b > 0? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、 Q 两点,且 OP ? OQ ,其中 O 为坐 a2 b2 标原点.

(1)求

1 1 ? 2 的值; 2 a b
3 ≤ e ≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范围. 3 2

(2)若椭圆的离心率 e 满足

2

15. (15 分)过椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1上一点P( x0 , y 0 )向圆O : x 2 ? y 2 ? 4 引两条切线 PA、PB、A、 8 4

B 为切点,如直线 AB 与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点. (1)若 PA ? PB ? 0 ,求 P 点坐标; (2)求直线 AB 的方程(用 x0 , y0 表示) ; (3)求△MON 面积的最小值. (O 为原点)

3

16、 (10 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 与射线 y= 2 x (x ? 0) 交于点 A,过 A 作倾斜角互补的两条直线,它 2 4

们与椭圆的另一个交点分别为点 B 和点 C。 (1)求证:直线 BC 的斜率为定值,并求这个定值。 (2)求三角形 ABC 的面积最大值。

4

1 、D 7、k>5

2、A
2

3、D

4 、A
2

5、D
2

6、A 9、

x y x ? y2 ? 1 或 ? ?1 9 9 81 4x 2 4 y 2 ? ? 1?x ? 0? 11、 12、 6 9 91
8、 14 [解析]:设 P( x1 , y1 ), P( x 2 , y 2 ) ,由 OP ⊥ OQ
2 2

??
4 3

5, 5

?

10、

x2 y2 ? ?1 12 8

13、

?

x 1x 2 + y1 y 2 = 0

? y1 ? 1 ? x1 , y 2 ? 1 ? x 2 , 代入上式得: 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0

① 又将 y ? 1 ? x代入

y 2a 2 x 2 2 2 2 2 2 , ? ( a ? b ) x ? 2 a x ? a ( 1 ? b ) ? 0 ? ? 1 ? ? ? 0 , ? x ? x ? , 1 2 a2 ? b2 a2 b2 a 2 (1 ? b 2 ) 代入①化简得 1 ? 1 ? 2 . x1 x 2 ? 2 a ? b2 a2 b2 2 2 a2 c b 1 b2 1 1 b2 2 (2) ? e 2 ? 又由(1)知 b 2 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? , 2 a2 3 2a 2 ? 1 a2 a2 3 a2 2
1 1 2 5 3 5 6 ,∴长轴 2a ∈ [ 5, 6 ]. ? ? ? ? a2 ? ? ?a? 2 2 2a ? 1 3 4 2 2 2 15.[解析]: (1)? PA? PB ? 0 ∴OAPB 的正方形 ? PA ? PB ?
2 2 ? x0 ? y0 ?8 32 2 由? 2 2 ? x0 ? ?8 ? x0 y 0 4 ?1 ? ? 4 ?8

? x0 ? ?2 2 ∴P 点坐标为( ? 2 2 ,0 )

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 PA、PB 的方程分别为 x1 x ?

y1 y ? 4, x2 x ? y2 y ? 4 ,而 PA、PB 交于 P(x0,y0)

即 x1x0+y1y0=4,x2x0+y2y0=4,∴AB 的直线方程为:x0x+y0y=4 (3)由 x x ? y y ? 4得M ( 4 ,0) 、 N (0, 4 ) 0 0

S ?MON

x0 y0 1 1 4 4 1 ? | OM | ? | ON |? | |?| |? 8 ? 2 2 x0 y0 | x0 y 0 |
y0 x2 y2 8 8 ? ?2 2 |? 2 2 ( 0 ? 0 ) ? 2 2 ? S ?MON ? 8 4 | x0 y 0 | 2 2 2 2 2 x0 ?

? | x0 y0 |? 4 2 |

当且仅当 | x 0 |?| y 0 | 时, S . ?MON min ? 2 2

2 2

2

16、解: (! )由题意得 A(1, 2 ) ,设 AB 的斜率为 k ,则 AC 的斜率为- k

? ? y ? 2 ? k ( x ? 1) 所以 ? 2 2 ? ?2 x ? y ? 4

2k 2 ? 2 2 k 代入得 x1 ? x2 ? ,又? x1 ? 1 2? k2

k 2 ? 2 2k ? 2 k 2 ? 2 2k ? 2 同理 xC ? ? xB ? k2 ? 2 k2 ? 2 y ? yC kxB ? k ? 2 ? kxC ? k ? 2 k BC ? B ? ? 2 为定值 x B ? xC x B ? xC
(1)设 BC 方程为 y ?

2x ? m

? y ? 2x ? m ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 4 ?2
得 BC ?



4 x 2 ? 2 2mx ? m 2 ? 4 ? 0
A 到 BC 的距离为 d ?

1 3. 4 ? m 2 2

m 3
5

1 1 1 1 1 2 BC ? d ? m 4 ? m 2 ? m 2 (4 ? m 2 ) ? m 2 (8 ? m 2 ) ? 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 当 m ? 8 ? m 时,即 m ? 4 时“=”成立,此时 ? ? 0 成立。
所以 S ? ?

6


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