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2012年全国高中数学联赛试题(B卷)


2012 年全国高中数学联赛试题(卷) 一. 填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分。把答案填在题中的横线上。 1. 对于集合{| ≤ ≤ },我们把 ? 称为它的长度。设集合 = {| ≤ ≤ + 1981}, = {| ? 1014 ≤ ≤ }, 且 , 都 是 集 合 = {|0 ≤ ≤ 2012} 的 子 集 , 则 集 合 ∩ 的 长 度 的 最 小 值 是 _____________. y 2. 已知 > 0, > 0,且满足 则有序数对(, ) =_____________.
2 2

? sin() + sin() = 0, ? = 12.
2 2

cos2() + 2 sin() = 1, ①

A

② ③

F1

O

F2 B

x

(1 , 1 ), (2 , 2 )两点。若△1 内切圆的面积为,且|1 ? 2 | = 4,则椭圆的离心率为 _______________. 围是_____________. ?????? ?????? ?????? ?????? 5. 在△中,若 ? = 7, ? ? ? = 6,则△面积的最大值为________. 6. 如图,在长方体 ? 1 1 1 1 中, = 4, =

3. 如图,设椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为1 , 2 ,过点2 的直线交椭圆于
3 2 4. 若关于的不等式组? + 3 ? ? 3 > 0 ( > 0)的整数解有且只有一个,则的取值范 2 ? 2 ? 1 ≤ 0

1 = 2√2, 是1的中点,是1的中点。若异面直线 与所成的角为、距离为,则 sin =_________. 7. 设()是定义在上的奇函数, 且当 ≥ 0时, () = 2。 若对任意的 ∈ [, + 2], 不等式( + ) ≥ 2()恒成立, 则实数的取值范围是_______________。 8. 一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字1,2, ? 6, 每次投掷这样两个相同的骰子,规定向上的两个面上的数字之和为这次投掷的点数。那么, 投掷 3 次所得 3 个点数之积能被 14 整除的概率是_________.(用最简分数表示) 二. 解答题:本大题共 3 小题,共 56 分。解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。 9. (本小题满分 16 分) (1)若对任意 ∈ ,都有() ≤ 0,求的取值范围; (2)若 ≥ 2,且存在 ∈ ,使得() ≤ 0,求的取值范围。 10. (本小题满分 20 分) 已知数列{ }满足:当 = 2 ? 1( ∈ ? )时, = ;当 = 2( ∈ ? )时, = .记 = 1 + 2 + 3 + ? + 2 ?1 + 2 ,证明:对任意的 ∈ ? ,有 (1)+1 = 4 + ; (2) + + ? + < 1.
1
1

已知函数() = sin ? 2 cos 2 + ? + 2, ∈ 且 ≠ 0。
1 3 1

11. (本小题满分 20 分) 已知抛物线 2 = 2( > 0),, 是抛物线上不同于顶点的两个动点,记∠ = ( ≠ 90°)。若△ = tan ,试求当取得最小值时tan 的最大值。

1

2

1



2012 年全国高中数学联赛加试试题(卷) 一、 (本题满分 40 分) 如图,圆内切于圆,切点为,圆的弦切圆于点,的 延长线交圆于点, 为圆的直径。过点作的垂线交 于点。求证:, , 三点共线。 二、 (本题满分 40 分) 给定整数 > 1,设1 , 2 , ? , 是互不相同的非负实数,记集合 = ? + ?1 ≤ ≤ ≤ ?, = ? ?1 ≤ ≤ ≤ ?. 求||的最小值。这里,||表示集合中元素的个数。
||

P N

A

C

I O

Q

M

B

使不等式| ? | < 对任意正整数都成立。

三、 (本题满分 50 分) 数列{ }满足0 > 0, = ??1 + 1( = 1,2, ? ),求证:必存在常数和( > 1, > 0),

四、 (本题满分 50 分) 已知素数满足下述条件:存在正整数, , ,使的正约数的个数等于 ,且这 个正约数 之和等于 。求的一切可能值。


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