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高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式知识巧解

教案、学案、试题、试卷、复习资料 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 疱工巧解牛 知识?巧学 一、两角和的余弦公式 1.比较 cos(α -β )与 cos(α +β ),根据 α +β 与 α -β 之间的联系:α +β =α -(-β ),则由两角差 的公式得 cos(α +β )=cos[α -(-β )]=cosα cos(-β )+sinα sin(-β )=cosα cosβ -sinα sinβ , 即 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ . 学法一得 这种以-β 代 β 的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用,同时也启发 我们要辩证地看待和角与差角.在公式 C(α -β )中,因为角 α 、β 是任意角,所以在 C(α +β )中,角 α 、 β 也是任意角. 2.用两点间的距离公式推导 C(α +β ). 图 3-1-5 如图 3-1-5,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,以 O 为顶点,以 x 轴的非负半轴为始边,作出 角 α 、-β ,使角 α 、-β 的终边分别交单位圆于点 P2、P4,再以 OP2 为始边,作角 β ,使它的终 边交单位圆于点 P3,这样就出现了 α 、β 、α +β 这样的角,设角 α 、-β 的始边交单位圆于点 P1,则 P1(1,0).设 P2(x,y),根据任意角的三角函数的定义,有 sinα =y,cosα =x,即 P2(cosα , sinα );同理,可得 P3(cos(α +β ),sin(α +β )),P4(cos(-β ),sin(-β )). 由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4,所以|P1P3|=|P2P4|. 2 2 |P1P3| =|P2P4| , 2 2 2 2 即[cos(α +β )-1] +sin (α +β )=[cos(-β )-cosα ] +[sin(-β )-sinα ] . 根据同角三角函数的基本关系,整理得 2-2cos(α +β )=2-2(cosα cosβ -sinα sinβ ), 即 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ . 3.利用向量的数量积推导 C(α +β ). 图 3-1-6 如图 3-1-6,在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆,以 Ox 为始边作角 α 、-β ,它们与单位圆的 交点分别为 A、B. 显 然 , OA =(cosα ,sinα ), OB =(cos(-β ),sin(-β )). 根 据 向 量 数 量 积 的 定 义 , 有 OA · OB = (cosα ,sinα )·(cos(-β ),sin(-β ))=cosα cos(-β )+sinα sin(-β )=cosα cosβ -sinα sinβ . 于是 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ . 教案、学案、试题、试卷、复习资料 学法一得 ①在处理问题的过程中,把有待解决或难解决的问题,通过某种转化,归结为一类已经 解决或比较容易解决的问题,最终求得原问题的解,这种思想方法叫做化归思想. ②以任意角的三角函数的定义为载体,我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角 和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键. 记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反. 二、两角和与差的正弦 1.公式的推导 sin(α -β )=cos =cos( [ ? ? -α )cosβ -sin( -α )sinβ =sinα cosβ -cosα sinβ . 2 2 ? 2 -(α -β ) ] =cos [ ( ? 2 -α )+β ] 在上面的公式中,以-β 代 β ,即可得到 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ . 2.和差公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差公式的特例.如 sin(2π -α )=sin2π cosα -cos2π sinα =0×cosα -1×sinα =-sinα . 当 α 或 β 中有一个角是 ? 的整数倍时,通常使用诱导公式较为方便;上面公式中的 α 、β 均为 2 任意角. 误区警示 公式对分配律不成立,即 sin(α ±β )≠sinα ±sinβ ,学习时一定要注意这一点. 学法一得 公式使用时不仅要会正用, 还要能够逆用, 如化简 sin(α +β )cosβ -cos(α +β )sinβ , 不 要 将 sin(α +β ) 和 cos(α +β ) 展 开 , 而 应 当 整 体 考 察 , 进 行 如 下 变 形 : sin(α +β )cosβ -cos(α +β )sinβ =sin[(α +β )-β ]=sinα ,这也体现了数学中的整体原则. 记忆要诀 记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来, 两角和与差的正弦公式的右端的两部分为 异名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相同. 三、两角和与差的正切 1.公式的推导 利用两角和的正弦、余弦公式,可以推导出两角和的正切公式: tan(α +β )= sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos? sin ? ? ,当 cosα cosβ ≠0 时,我们可以将上式的分 cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ? 子、分母同时除以 cosα cosβ , 即得用 tanα 和 tanβ 表示的公式: tan(α +β )= tan? ? tan ? ,在上面的公式中,以-β 代 β ,可得两角差的正切公式: 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ? tan(α -β )= 2.公式成立的条件 要能应用公式,首先要使公式本身有意义,即 tanα 、tanβ 存在.

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