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《创新设计》2017版高考数学(浙江版文理通用)一轮复习课件第四章 三角函数、解三角形 第6讲_图文

第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形 最新考纲 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解 决一些简单的三角形度量问题; 2.能够运用正弦 定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、 几何计算有关的实际问题. 知识梳理 1.正、余弦定理 在△ABC 中,若角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c , R 为 △ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 b 2 b2+c2-2bccos A; a a = sin B = 2 sin A b = c2+a2-2cacos B; c 公式 = sin C =2R c2= c2+a2-2cacos B 常 见 变 形 2 2 2 b + c - a (1)a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C; 2bc ; cos A= b a c 2 R c2+a2-b2 (2)sin A=2R,sin B= ,sin C=2R; 2ac cos B= ; (3)a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C ; a2+b2-c2 2ab (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin cos C= C=csin A 1 1 1 abc 1 2.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+ 2 2 2 4R 2 c)· r(r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r. 3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线 在水平视线 上方 叫仰角,目标视线在水平视线 下方 叫俯角 (如图1). (2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的 水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2). (3) 方向角:正北或正南方向线与目标方向线所 成的锐角,如南偏东30°,北偏西45°等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × ) (2)在△ABC 中,A>B 必有 sin A>sin B.( √ ) (3)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形 是钝角三角形.( √ ) ? π? (4)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为?0,2?.( × ? ? ) (5)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与 目标点之间的位置关系.( √ ) 2.(2015· 广东卷)设△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 3 a,b,c.若 a=2,c=2 3,cos A= ,且 b<c,则 b 2 =( ) A.3 B.2 2 C.2 D. 3 解析 由余弦定理 b2+c2-2bccos A=a2,得 b2-6b +8=0,解得 b=2 或 b=4,∵b<c=2 3, ∴b=2.选 C. 答案 C 3.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座 灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那么 B,C 两点间的距 离是( ) B.10 3海里 D.20 2海里 A.10 2海里 C.20 3海里 解析 如图所示, 易知, 在△ABC 中, AB=20 海里, BC ∠CAB=30° ,∠ACB=45° ,根据正弦定理得 sin 30° AB = ,解得 BC=10 2(海里). sin 45° 答案 A 4.(2014· 江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别 π 是 a,b,c,若 c =(a-b) +6,C=3,则△ABC 的面积 2 2 是( C ) A.3 解析 9 3 B. 2 3 3 C. 2 D.3 3 ∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.① π π 2 2 2 ∵C=3,∴c =a +b -2abcos 3=a2+b2-ab.② 由①②得-ab+6=0,即 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC=2absin C=2×6× 2 = 2 . sin 2A 5.(2015· 北京卷)在△ABC 中, a=4, b=5, c=6, 则 sin C = ________. 解析 由余弦定理: b2+c2-a2 25+36-16 3 7 cos A= 2bc = =4,∴sin A= 4 , 2×5×6 a2+b2-c2 16+25-36 1 cos C= 2ab = =8, 2×4×5 3 7 2×4× 4 3 7 sin 2A ∴sin C= 8 ,∴ sin C = =1. 3 7 8 答案 1 考点一 利用正、余弦定理解三角形 【例 1】(2015· 杭州高级中学月考) 设△ABC 的内角 A, B, 7 C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B=9. (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. a2+c2-b2 a2+c2-4 7 解 (1)由余弦定理得:cos B= = = , 2ac 2ac 9 14 14 2 即 a +c -4= 9 ac.∴(a+c) -2ac-4= 9 ac,∴ac=9. 2 2 ? ?a+c=6, 由? 得 ? ?ac=9, a=c=3. 7 (2)在△ABC 中,cos B= ,∴sin B= 1-cos2B= 9 4 2 a b 9 .由正弦定理得:sin A=sin B, ?7?2 1-?9? = ? ? 4 2 3× 9 π asin B 2 2 ∴sin A= b = = .又 A=C,∴0<A< , 2 3 2 1 ∴cos A= 1-sin A=3,∴sin(A-B)=sin Acos B-cos

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